d p F Σ =

Bac S 2017 Liban
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EXERCICE III : INTERFÉRENCES AVEC DES ATOMES FROIDS (5 points)
1. Chute de l’atome avec le modèle de Newton
1.1. Appliquons la 2ème loi de Newton au système {atome} dans le référentiel lié
au gravimètre, considéré galiléen pendant la durée de l’étude : ΣFEXT =
j
O
dp
.
dt
Comme la masse du système ne change pas, on a ΣFEXT = m.a
i
L
Le système étant en chute libre, il n’est soumis qu’à son poids P = m.g
Donc m.g = m.a ⇔ a = g
(
)
On utilise un repère O , i , j où O est la position initiale du système.
F
double fente
ax = 0
ay = −g
Ainsi a = 
Par définition a =
v 0 x = 0
v x = C1
v x = 0
dv
; en primitivant, on obtient : v 
or v 0 
donc v 
dt
v y = −g .t + C2
v 0 y = 0
v y = −g .t
La composante de v sur l’axe des abscisses est nulle tandis que celle sur l’axe des ordonnées est non
nulle donc le vecteur vitesse est bien vertical.
Il reste maintenant à retrouver l’expression de vF proposée :
v x = 0
v y = −g .tF
Au point F (au niveau de la double fente) : v F 
 x = C3
dOG

Par définition v =
; en primitivant, on obtient : OG 
1
2
dt
 y = − 2 .g .t + C4
x = 0
 x0 = 0

donc OG 
or OG0 
1
2
y 0 = 0
 y = − 2 .g .t
On en déduit qu’au point F, y F = −
1
.g .tF2 = L
2
donc tF =
1
.g .t F2 par ailleurs yF = – L
2
2.L
g
v x = 0

En injectant cette expression dans celle de v : v F 
2.L
2.L.g 2
v
=
−
g
.
=
−
= − 2.L.g
y

g
g

2
2
Par définition, v F = v F = v Fx
+ v Fy
= 0 + 2.L.g = 2.L.g
Autre méthode : C’est aussi de la mécanique de Newton. Il est plus simple d’utiliser la conservation de
l’énergie mécanique lors d’une chute libre. On choisit comme référence EPP = 0 au point O.
Em ( O ) = Em ( F ) donc Ec ( O ) + E pp ( O ) = Ec ( F ) + E pp ( F )
0+0 =
1
.m.v F2 − m.g .L donc v F = 2.g .L
2
1.2. Dans le cadre de la mécanique de Newton, chaque atome passe par une des deux fentes et donne
un impact sur l’écran correspondant à ce passage. La situation proposée ici ressemble plus à celle
représentée à droite ci-dessous.
D’après le site https://toutestquantique.fr/
D’après la vidéo réalisée par le Synchroton Soleil
Voir la vidéo : https://youtu.be/JlsPC2BW_UI
https://youtu.be/N968DgSVLkg?t=4m23s
2. Le modèle de de Broglie
2.1. Le phénomène d’interférences est caractéristique des ondes : cette expérience prouve le caractère
ondulatoire de la matière (onde de matière).
2.2. Par définition de la quantité de mouvement : p = m . vF
kg.m.s −1
kg
m.s−1
2.3. La relation de de Broglie relie l’aspect particulaire et l’aspect ondulatoire de la matière : p =
Donc λth =
λth =
h
λ
h
h
=
p m.v F
6 , 63 × 10−34
= 1,6×10–8 m comme indiqué.
−26
3 ,35 × 10 × 1, 2
2.4. L’interfrange est la plus distance entre deux franges de même nature. Pour plus de précision, on
mesure plusieurs interfranges. Soit de centre à centre de zones sombres (2i), soit de centre à centre de
zones claires (3i).
2i ⇔ 1, 6 cm 
1× 1, 6
= 0 , 22 mm
i =
1 mm ⇔ 3,6 cm  3 , 6 × 2
i
i
ou
3i ⇔ 2, 4 cm 
1× 2, 4
= 0 , 22 mm
i =
1 mm ⇔ 3,6 cm  3 , 6 × 3
2.5. Seule la relation i =
λ .D
λ .D
d
i
i
i
est homogène : on en conclut que c’est elle qui convient.
m.m
⇔ m donc relation homogène
d
m
λ 2 .d
m2 .m
i=
donne m ⇔
⇔ m2 donc relation non homogène
D
m
d .D
m.m
i = 2 donne m ⇔ 2 ⇔ sans unité donc relation non homogène
λ
m
Démonstration : i =
donne m ⇔
2.6. On en déduit λexp =
i .d
D
alors λexp =
0 , 22 × 10−3 × 6 × 10−6
= 1, 2 × 10 −8 m ≈ 1× 10 −8 m
113 × 10−3
(1
CS en toute rigueur)
2.7. On constate donc que λexp < λth ( 1, 2 × 10 −8 m < 1, 6 × 10−8 m ).
2.8.1. Vu que la gravitation continue de s’exercer sur les atomes, alors leur vitesse continue d’augmenter
après les fentes et donc leur quantité de mouvement p = m . v augmente également.
2.8.2. Vu que p augmente, la longueur d’onde de matière donnée par la relation de de Broglie diminue
car λ =
h
avec h = Cte.
p
2.8.3. On aurait donc dû comparer λexp =
i .d
qui correspond aux interférences des ondes de matière sur
D
l’écran avec la longueur d’onde de matière qui arrive sur l’écran et pas sur les fentes.
NON DEMANDÉ :
Par analogie, on applique la relation v F = 2.L.g pour la chute libre jusqu’à l’écran : v E = 2.( L + D ).g
La
longueur
λ=
h
h
h
=
=
p m.v E m. 2.( L + D ).g
AN : λ =
d’onde
de
de
Broglie
de
l’onde
6 , 63 × 10 −34
3 ,35 × 10
−26
−3
× 2 × ( 76 + 113 ) × 10 × 9 ,8
de
matière
qui
arrive
sur
l’écran
est :
= 1,0 × 10 −8 m
Ce résultat est plus proche du résultat expérimental que le résultat précédent.
Compétences exigibles ou attendues :
En noir : officiel (Au B.O.)
En italique : officieux (au regard des sujets de bac depuis 2013)
□
Extraire et exploiter des informations sur les ondes de matière et sur la dualité onde-particule.
□
Choisir un référentiel d’étude.
□
Connaître et exploiter les trois lois de Newton ; les mettre en œuvre pour étudier des mouvements
dans des champs de pesanteur et électrostatique uniformes.
□
Exploiter les équations horaires du mouvement ou l’équation de la trajectoire pour répondre à un
problème donné (ex : portée d’un tir, durée d’une chute, vitesse en un point …).
□
Savoir que le phénomène d’interférences est caractéristique des ondes.
□
Définir la quantité de mouvement d’un point matériel.
□
Connaître et utiliser la relation de de Broglie : λ =
h
p