La somme des entiers positifs ou bienvenue dans emagie!!!

La somme des entiers positifs ou bienvenue dans
le monde de la mathémagie!!!
Pour nous amuser, nous pouvons additionner les 100, 1000, 10000, n premiers
. Ce qui nous donne :
nombres avec la formule S = n(n+1)
2
S1,100 = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050
S1,1000 = 500500
S1,10000 = 50005000
...
Le logique semble nous dire que si on somme tous les nombres jusqu’à l’infini,
nous devrions obtenir un nombre infiniment grand. Ummmh.... ça fait du sens,
mais voyons ce que les maths ont à dire. Prenons trois sommes infinies :
S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1...
(1)
S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10...
(2)
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10...
(3)
Il est très important de comprendre que ces trois sommes n’ont pas de fin.
On pourrait additionner des nombres pour le restant de nos jours et on ne serait
pas plus avancé qu’au début. C’est un peu comme une vis sans fin, même après
1 000 000 000 000 tours, nous ne sommes pas plus près de la fin qu’après le
premier tour. Bon, une fois cela dit analyser les sommes. D’abord la premières
sommes pour paraı̂tre étrange, car deux résultats semblent possibles. Voici les
2 développements possibles.
S1
=(1 − 1)
+(1 − 1)
+(1 − 1)
...
(4)
S1
=0
+0
+0
...
(5)
S1
=0
(6)
Nous pouvons également obtenir
S1
=1
+(−1 + 1)
+(−1 + 1)
+(−1 + 1)
...
(7)
S1
=1
+0
+0
+0
...
(8)
S1
=1
(9)
Étrange!! 2 résultats pour la même somme c’est impossible. Effectivement,
cela l’est. Il faut comprendre que c’est deux développements imposent une parité
à la somme. Le premier impose qu’il y est un nombre paire de termes(2 par
paranthèse) alors que le deuxième exige un nombre impaire de nombres(2 par
paranthèse + le premier). Comme la série est infinie et qu’elle n’a donc pas de
fin, le fait de dire qu’elle est paire ou impaire n’a aucun sens mathématique.
Donc, ces deux résultats sont faux. Alors quel est le bon résultat? Eh bien le
voici
1
2 ∗ S1
= 1−1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1...
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1...
(11)
2 ∗ S1
= 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0...
(12)
2 ∗ S1
S1
=1
1
=
2
(10)
(13)
(14)
Je sais, j’ai fait une drôle d’opération, j’ai décalé la deuxième somme avant
de l’additionner à la première. On peut penser que la première somme terminera
en premier et qu’il y aura un ±1 qui trainera à la fin, mais non, car les sommes
sont infinies. Il est donc impossible qu’elles manquent de termes. Nous aurions
pu commencer à additionner la deuxième somme à partir du millionième terme
et ça n’aurait rien changer. Maintenant passons à la prochaine série. Avec la
même technique on obtient
2 ∗ S2
= 1−
2 ∗ S2
= 1−
1
=
2
1
=
4
2 ∗ S2
S2
2 + 3 − 4 + 5 − 6...
(15)
1 − 2 + 3 − 4 + 5...
(16)
1 + 1 − 1 + 1 − 1...
(17)
(18)
(19)
Avec ce résultat, nous pouvons obtenir la valeur de la dernière somme.
S3 − S2
= 1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6...
(20)
−(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6...)
(21)
S3 − S2
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + 0 + 20...
(22)
S3 − S2
= 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5...)
(23)
S3 − S2 = 4 ∗ S3
−1
∗ S2 = S3
3
−1 1
−1
S3 =
∗ =
3
4
12
(24)
(25)
(26)
Et voilà le travail. Avant de continuer à lire, il peut être bien de relire depuis
le début et de juger cette démonstration. Ensuite descendre quelques pages pour
voir la suite.
2
En réalité ce résultat n’est pas encore complètement accepter dans le milieu mathématique et physique. Quoique de nombreuses méthodes permettent
d’obtenir le même résultat. Certaines d’entre elles repose sur des hypothèses
qui semblent vraies, mais qui n’ont toujours pas de preuve formel. De plus, ce
résultat est utilisé en physique pour élaborer la théorie des cordes. Cette théorie
quoi qu’intéressante, est ”en contruction” depuis plus de 40 ans. Sans vouloir
la dénigrer, c’est la seule branche de la physique qui utilise ce résultat et cette
théorie est loin de faire l’unaminité. De plus, en multipliant la série par 3 et en
décalant de 1 à chaque fois avant de faire la l’addition. Comme nous avons fait
plusieurs fois (je ne ferai pas le développements), on obtient
3∗S =1+3∗S
(27)
1
on voit que ce résultat est incohérent. Pour le
En remplacant S par − 12
développements peut se faire de façon très rigoureuse.
3