La somme des entiers positifs ou bienvenue dans le monde de la mathémagie!!! Pour nous amuser, nous pouvons additionner les 100, 1000, 10000, n premiers . Ce qui nous donne : nombres avec la formule S = n(n+1) 2 S1,100 = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050 S1,1000 = 500500 S1,10000 = 50005000 ... Le logique semble nous dire que si on somme tous les nombres jusqu’à l’infini, nous devrions obtenir un nombre infiniment grand. Ummmh.... ça fait du sens, mais voyons ce que les maths ont à dire. Prenons trois sommes infinies : S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1... (1) S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10... (2) S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10... (3) Il est très important de comprendre que ces trois sommes n’ont pas de fin. On pourrait additionner des nombres pour le restant de nos jours et on ne serait pas plus avancé qu’au début. C’est un peu comme une vis sans fin, même après 1 000 000 000 000 tours, nous ne sommes pas plus près de la fin qu’après le premier tour. Bon, une fois cela dit analyser les sommes. D’abord la premières sommes pour paraı̂tre étrange, car deux résultats semblent possibles. Voici les 2 développements possibles. S1 =(1 − 1) +(1 − 1) +(1 − 1) ... (4) S1 =0 +0 +0 ... (5) S1 =0 (6) Nous pouvons également obtenir S1 =1 +(−1 + 1) +(−1 + 1) +(−1 + 1) ... (7) S1 =1 +0 +0 +0 ... (8) S1 =1 (9) Étrange!! 2 résultats pour la même somme c’est impossible. Effectivement, cela l’est. Il faut comprendre que c’est deux développements imposent une parité à la somme. Le premier impose qu’il y est un nombre paire de termes(2 par paranthèse) alors que le deuxième exige un nombre impaire de nombres(2 par paranthèse + le premier). Comme la série est infinie et qu’elle n’a donc pas de fin, le fait de dire qu’elle est paire ou impaire n’a aucun sens mathématique. Donc, ces deux résultats sont faux. Alors quel est le bon résultat? Eh bien le voici 1 2 ∗ S1 = 1−1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1... 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1... (11) 2 ∗ S1 = 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0... (12) 2 ∗ S1 S1 =1 1 = 2 (10) (13) (14) Je sais, j’ai fait une drôle d’opération, j’ai décalé la deuxième somme avant de l’additionner à la première. On peut penser que la première somme terminera en premier et qu’il y aura un ±1 qui trainera à la fin, mais non, car les sommes sont infinies. Il est donc impossible qu’elles manquent de termes. Nous aurions pu commencer à additionner la deuxième somme à partir du millionième terme et ça n’aurait rien changer. Maintenant passons à la prochaine série. Avec la même technique on obtient 2 ∗ S2 = 1− 2 ∗ S2 = 1− 1 = 2 1 = 4 2 ∗ S2 S2 2 + 3 − 4 + 5 − 6... (15) 1 − 2 + 3 − 4 + 5... (16) 1 + 1 − 1 + 1 − 1... (17) (18) (19) Avec ce résultat, nous pouvons obtenir la valeur de la dernière somme. S3 − S2 = 1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6... (20) −(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6...) (21) S3 − S2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + 0 + 20... (22) S3 − S2 = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5...) (23) S3 − S2 = 4 ∗ S3 −1 ∗ S2 = S3 3 −1 1 −1 S3 = ∗ = 3 4 12 (24) (25) (26) Et voilà le travail. Avant de continuer à lire, il peut être bien de relire depuis le début et de juger cette démonstration. Ensuite descendre quelques pages pour voir la suite. 2 En réalité ce résultat n’est pas encore complètement accepter dans le milieu mathématique et physique. Quoique de nombreuses méthodes permettent d’obtenir le même résultat. Certaines d’entre elles repose sur des hypothèses qui semblent vraies, mais qui n’ont toujours pas de preuve formel. De plus, ce résultat est utilisé en physique pour élaborer la théorie des cordes. Cette théorie quoi qu’intéressante, est ”en contruction” depuis plus de 40 ans. Sans vouloir la dénigrer, c’est la seule branche de la physique qui utilise ce résultat et cette théorie est loin de faire l’unaminité. De plus, en multipliant la série par 3 et en décalant de 1 à chaque fois avant de faire la l’addition. Comme nous avons fait plusieurs fois (je ne ferai pas le développements), on obtient 3∗S =1+3∗S (27) 1 on voit que ce résultat est incohérent. Pour le En remplacant S par − 12 développements peut se faire de façon très rigoureuse. 3