L`indépendance linéaire Algèbre linéaire I --

L’indépendance linéaire
Algèbre linéaire I — MATH 1057 F
Julien Dompierre
Département de mathématiques et d’informatique
Université Laurentienne
Sudbury, 18 janvier 2011
Rappel : système homogène
Un système linéaire homogène comme


  
1 2 −3
x1
0
 3 5
9   x2  =  0 
5 9
3
x3
0
peut être mis sous la forme
 

1
x1  3  + x2 
5
d’une équation vectorielle


  
2
−3
0
5  + x3  9  =  0 
9
3
0
  
x1
0
L’équation vectorielle a la solution triviale  x2  =  0  = 0.
0
x3
Mais est-ce la seule solution ?

Indépendance linéaire (p. 65)
Définition
Un ensemble indicé de vecteurs {v1 , v2 , ..., vp } de IRn est dit
linéairement indépendant si l’équation vectorielle
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0
n’admet que la solution triviale.
Dépendance linéaire (p. 65)
Définition
Un ensemble indicé de vecteurs {v1 , v2 , ..., vp } de IRn est dit
linéairement dépendant s’il existe des poids c1 , c2 , ..., cp non
tous nuls tels que
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp = 0.
Définition
L’équation
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp = 0.
où les poids c1 , c2 , ..., cp ne sont pas tous nuls est appelée une
relation de dépendance linéaire entre les vecteurs v1 , v2 , ..., vp .
(In)dépendance linéaire – Exemple


 

−3
2
1
Exemple : Soit v1 =  3  , v2 =  5  , v3 =  9 .
9
3
5

a. Déterminez si {v1 , v2 , v3 } est linéairement indépendant.
b. Si possible, donnez une relation de dépendance linéaire entre
v1 , v2 et v3 .
(In)dépendance linéaire – Exemple
a. On doit déterminer si 0 est la seule solution de l’équation

  
 
 
−3
0
2
1







9 = 0 .
x1 3 + x2 5 + x3
0
9
3
5
On met la matrice augmentée sous forme échelonnée

 
 
1 2 −3 0
1
2
1
2 −3 0
 3 5




9 0 ∼
0 −1 18 0 ∼
0
-1
5 9
3 0
0 −1 18 0
0
0

−3 0
18 0 
0 0
x3 est une variable libre, donc il existe des solutions non triviales.
{v1 , v2 , v3 } est un ensemble de vecteurs linéairement dépendants.
(In)dépendance linéaire – Exemple
b. On cherche une solution non triviale.
échelonnée réduite.

1
0
33
 0
1 −18
0
0
0
Les solutions sont
On met sous forme

0
0 
0
x1
=
−33x3
x2
=
18x3
x3 est libre
Une solution particulière est obtenue en prenant x3 = 1 (ou
n’importe quel nombre non nul). Alors x1 = −33 et x2 = 18.
−33v1 + 18v2 + 1v3 = 0
est une relation de dépendance linéaire.
(In)dépendance linéaire et éq. matricielle Ax = 0 (p. 66)
Si les vecteurs {v1 , v2 , v3 } sont les colonnes d’une matrice A,
chaque relation de dépendance, par exemple
−33v1 + 18v2 + 1v3 = 0, correspond à une solution non triviale de
l’équation Ax = 0


  
1 2 −3
−33
0
 3 5
9   18  =  0 
0
5 9
3
1
Théorème
Les colonnes d’une matrice A sont linéairement indépendantes si et
seulement si l’équation Ax = 0 n’admet que la solution triviale.
En utilisant la contraposée, ce théorème est équivalent à
Théorème
Les colonnes d’une matrice A sont linéairement dépendantes si et
seulement si l’équation Ax = 0 admet des solutions non triviales.
Les ensembles de un ou deux vecteurs (p. 67)
Théorème
Un ensemble qui ne contient qu’un vecteur — disons v — est
linéairement indépendant si et seulement si v n’est pas le vecteur
nul.
Théorème
Un ensemble de deux vecteurs {v1 , v2 } est linéairement dépendant
si et seulement si l’un des vecteurs est un multiple scalaire de
l’autre. L’ensemble est linéairement indépendant si et seulement si
aucun des deux vecteurs n’est un multiple scalaire de l’autre.
Vecteur nul et dépendance linéaire (p. 69)
Théorème (9)
Si le vecteur nul est l’un des vecteurs d’un ensemble
S = {v1 , v2 , ..., vp } de IRn , alors l’ensemble S est linéairement
dépendant.
Démonstration.
On renumérote les vecteurs de façon à ce que v1 = 0. Alors
l’équation
1v1 + 0v2 + · · · + 0vp = 0
est une solution non nulle et montre que l’ensemble S est
linéairement dépendant.
Dépendance linéaire si p > n (p. 69)
Théorème (8)
Si un ensemble contient plus de vecteurs qu’il n’y a d’éléments
dans chaque vecteur, alors cet ensemble est linéairement
dépendant. Autrement dit, tout ensemble {v1 , v2 , ..., vp } de
vecteurs dans IRn est linéairement dépendant si p > n.
Démonstration.
Soit la matrice A = v1 · · · vp . La matrice A est de taille
n × p et l’équation matricielle Ax = 0 correspond à un système de
n équations à p inconnues. Vu que p > n, il y a plus de variables
que d’équations et donccertainement une variable
 libre.
1
0
0 ∗ ∗


A≈ 0
1
0 ∗ ∗ 
0
0
1 ∗ ∗
L’équation Ax = 0 possède donc une solution non triviale et les
colonnes de A sont linéairement dépendantes.
Caractérisation des ensembles linéaires dépendants (p. 68)
Théorème (7)
Un ensemble indicé S = {v1 , v2 , ..., vp } de deux vecteurs ou plus
est linéairement dépendant si et seulement si au moins l’un des
vecteurs de S est une combinaison linéaire des autres.
En fait, si S est linéairement dépendant et si v1 6= 0, alors un vj
(avec j > 1) est une combinaison linéaire des vecteurs précédents,
v1 , v2 , ..., vj−1 .
Preuve théorème 7 (p. 70)
Partie I : Si dépendance linéaire, alors combinaision linéaire.
Supposons que l’ensemble {v1 , v2 , . . . , vm } est linéairement
dépendant. Alors, il existe des scalaires c1 , c2 , . . . , cm non tous nuls
tels que
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cm vm = 0.
Supposons que c1 =
6 0. L’équation précédente peut être réécrite
comme
−cm
−c2
v2 + · · · +
vm .
v1 =
c1
c1
Et donc v1 est une combinaison linéaire des vecteurs
v2 , . . . , vm .
Preuve théorème 7 (p. 70)
Partie II : Si combinaison linéaire, alors dépendance linéaire.
Inversement, supposons que v1 est une combinaison linéaire des
vecteurs v2 , . . . , vm . Alors, il existe des scalaires d2 , . . . , dm tels que
v1 = d2 v2 + · · · + dm vm .
L’équation précédente peut être réécrite comme
1v1 + (−d2 )v2 + · · · + (−dm )vm = 0.
Et donc l’ensemble {v1 , v2 , . . . , vm } est linéairement dépendant, ce
qui complète la preuve.