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Dénition. La fontion aratéristique (f..) d'une v.a. X est dénie
par :
ϕ(t) = E(eitX ).
Étant donné que |eitx| =1, la f.. est bien dénie.
Propriétés
Proposition. Soit ϕ(t) la f.. de la v.a. X . On a :
• ϕ(0) = 1.
• ϕ′ (0) = i EX.
• ϕ′′(0) = −EX 2.
Fontion Caratéristique
Dans le as des v.a. disrètes la fontion génératrie permet une
aratérisation simple de la loi et onstitue un outil puissant et eae
pour manipuler des opérations omplexes telles que la somme des
v.a. indépendantes, alul des moments et étude des omportements
asymptotiques de suites des v.a.
Dans le as des v.a. ontinues, on doit remplaer le onept de la
somme par elle de l'intégrale. Il existe plusieurs tehniques pour dénir une transformation de même performane appliable à des lois
de probabilité quelonques. L'outil le plus populaire est la fontion
aratéristique
1
1 2
e− 2 x eitxdx.
2
e− 2 (x−it) dx.
1
1 2
2
e− 2 (x −2itx+(it) )dx
1 2
e− 2 (x −2itx)dx
−∞
Z ∞
Exemple 2 (Loi Normale). Nous alulons la f.. de la v.a. suivant
une loi normale entrée-réduite (N (0, 1)). On a :
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
Z ∞
1
ϕ(t) = EeitX = √
2π
Nous avons alors :
t2
1
ϕ(t) = √
2π
e− 2
= √
2π
t2
e− 2
= √
2π
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= aX + b,
Proposition. Soient X et Y des v.a. indépendantes de f.. ϕX (t) et
respetivement. Alors la v.a. Z = X + Y admet la f..
ϕY (t)
ϕZ (t) = ϕX (t) ϕY (t).
Proposition. Si la f.. de la v.a. X est ϕ(t), alors la v.a. Y
où a, b ∈ N vaut eitbϕ(at).
Quelques Exemples
Z
b
1
eitb − eitb
.
eitxdx =
b−a a
it(b − a)
Exemple 1 (Loi Uniforme). Reonsidérons la v.a. X uniformément
répartie dans [a, b]. Sa fontion aratéristique vaut :
ϕ(t) = EeitX =
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n!
pk q n−k .
k!(n − k)!
Exemple 4. Soit X une v.a. binomiale de paramètres p et n. On
suppose 0 ≤ p ≤ 1 et on pose q = 1 − p. Évidemment, on peut aluler
la f.. diretement à partir de l'expression de la loi probabilité :
P r(X = k) =
Mais, sahant que la v.a. binomiale est la somme de n v.a. identiques et indépendantes de Bernoulli de paramètre p, une méthode
plus subtile onsiste à aluler la f.. de la loi de Bernoulli ; la f.. de
la v.a. sera alors, d'après la proposition sur la f.. de la somme de v.a.
indépendante, la n−ème puissane de la f.. de Bernoulli. Don :
ϕ(t) = (q + peit )n.
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Dans le as des v.a. à valeurs dans N, si la f.g. est disponible, on peut
la transformer en f.. :
Z ∞
−∞
2
e−y ×
√
2dx
√ ,
Cette dernière intégrale, suggère la hangement de variable y = x−it
2
et l'on aura :
t2
= e− 2
t2
2π
e− 2
ϕ(t) = √
Z ∞
0
λe−λx eitxdx = λ
Z ∞
0
ex(−λ+it) dx =
λ
.
λ − it
Exemple 3 (Loi Exponentielle). Pour la f.. de la loi exponentielle
de paramètre λ, nous avons :
ϕ(t) =
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Il faut noter que le alul de la f.. ne se limite pas aux v.a. admettant
une densité. Calulons à titre d'exemple la f.. d'une v.a. binomiale.
Convergene Stohastique
Proposition (Inégalité de Bienaymé-Thebyhev). Soit
v.a. d'espérane µ et de variane V . Alors, pour tout ǫ > 0 :
V
P r (|X − µ| ≥ ǫ) ≤ 2 .
ǫ
X
une
Dans la suite, nous étudions très sommairement ertaines notions
d'approximation pour une suite de v.a. Il existe plusieurs dénitions
de onvergenes pour une suite de v.a. Elles ne sont pas équivalentes
et ertaines sont plus fortes que d'autres. Les onvergenes que nous
allons onsidérer sont parmi les plus simples.
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Proposition. Soit X une v.a. à valeurs dans N. Soit G(z) sa fontion
génératrie. Alors sa fontion aratéristique vaut :
ϕ(t) = G(eit).
La formule d'inversion qui permet de onstruire la f.r. ou la densité à
partir de la f.. sort du adre que nous nous sommes xé ii†.
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† Voir M. Métivier, Notions Fondamentales de la Théorie des Probabilités, Dunod, 1972.
F (x)
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de
X
On dit que la suite Xn onverge en loi vers la v.a. X , si pour tout
a point de ontinuité de la f.r. de X :
n→∞
lim P r (|Xn − X| ≥ ǫ) = 0.
Dénitions. Soit Xn, n ∈ N une suite de v.a. et soit Xn une v.a.
quelonque.
• On dit que la suite Xn onverge en probabilité vers la v.a. X , si
pour tout ǫ > 0 :
•
lim P r(Xn ≤ a) = P r(X ≤ a),
n→∞
autrement dit, la f.r. Fn(x) de Xn onverge vers la f.r.
en tout point de ontinuité de F (x).
Nous en avons, d'ailleurs, déjà ité deux exemples portant sur la loi
binomiale. Soit Xn une suite de v.a. binomiales de paramètres λ et n.
Alors :
• Si p reste xé et que n tend vers ∞, alors P r | Xnn − p| ≥ ǫ → 0,
quel que soit ǫ > 0.
• Si n tend vers ∞ et p tend vers 0 tels que np → λ > 0, alors
k
P r(Xn = k) tend vers e−λ λk! (i.e. une distribution de Poisson).
Il est évident que es deux modes de onvergene, l'un pour Xnn et
l'autre pour Xn, sont distints : le premier onrme que Xnn s'approhe
alors que le seond montre que Xn
une loi de Poisson.
ave une quasi-ertitude vers p
suit asymptotiquement
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Théorème Central Limite
La loi des grand nombre est très importante. Elle établit en eet
un pont entre des prévisions probabilistes et des onrmations qui
frisent la quasi-ertitude. Mais pour en arriver là, un grand nombre de
répétitions d'épreuve est néessaire. Malheureusement la loi ne nous
dit rien sur la vitesse de onvergene vers la ertitude.
Le théorème entral limite a pour objetif de remédier à e problème
en multipliant l'éart entre la valeur aléatoire (la moyenne) et la valeur
ertaine approhée (l'espérane) par la raine arrée de de n.
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L'inégalité de Bienaymé-Thebyhev (pour les v.a. réelles) permet de
généraliser la loi des grands nombres pour les suites de v.a. indépendantes et identiquement distribuées (qui ne sont pas néessairement
disrètes).
Théorème (Loi faible des Grands Nombres). Soit Xn une suite de
v.a. indépendantes et identiquement distribuées, admettant haune
l'espérane µ et la variane V . Alors la suite des v.a. onstituées de
leurs moyennes arithmétiques, i.e. la suite Mn = n1 P1n Xi onverge en
probabilité vers µ.
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q
p(1 − p)).
Théorème (de Moivre-Laplae). Soit Xn, n = 1, 2, 3, ..., une suite
de v.a. binomiales de paramètres p et n ; on suppose 0 < p < 1. Alors
onverge en loi, lorsque n → ∞, vers une v.a. de loi
la suite Xn√−np
n
N (0,
Exemple (J. Istas). Deux andidats se présentent à une életion. Un
institut eetue des sondages auprès des életeurs. Lorsque l'institut
veut diviser l'erreur ommise par 10, de ombien doit-il augmenter
l'eetif des sondés ?
n
1 X
Xn.
n 1
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Solution. On peut modéliser le nombre d'életeurs sondés favorables par une v.a. de Bernoulli de paramètres p et n. Le théorème
de Moivre-Laplae nous dit que l'erreur ommise en eetuant un
sondage diminue ave la raine arrée du nombre des sondés. Diviser
l'erreur par 10 oblige à augmenter le nombre de sondés par 100.
Mn =
Théorème (Central limite). Soit Xn, n = 1, 2, 3, ..., une suite de
v.a. indépendantes et identiquement distribuées, admettant haune
l'espérane µ et la variane V = σ2 > 0. Soit Mn la valeur moyenne
de la suite :
√
n (Mn − µ) ∈ [a, b]
=
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!
Z
1
x2
b
√
exp − 2 dx.
2σ
σ 2π a
Alors la suite √n (Mn − µ) onverge en loi, lorsque n → ∞, vers une
v.a. normale entrée et de variane σ2. Nous avons don, pour tout
intervalle [a, b] de R :
lim P r
n→∞
On en déduit omme orollaire :
Crible de Galton
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