corrigé - Université Paris Diderot

Université Paris Diderot
Logique et Langage
2015/2016 – 02 nov.
Solution 14.
((P ∧ ¬(Q → R)) → (P ∨ (Q ∧ R)))(iii,→)
✟❍
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❍
(P ∧ ¬(Q → R))(iii,∧)(P ∨ (Q ∧ R))(iii,∨)
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✟✟ ❍❍
P
(i)
(Q ∧ R)(iii,∧)
P(i) ¬(Q → R)(ii)
✟❍
✟
❍
Q(i) R(i)
(Q → R)(iii,→)
✟❍
✟
❍
Q(i) R(i)
Solution 15. Non corrigé
Solution 16.
(i) ϕ ψ (ϕ → ψ) (ψ → ϕ)
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0
1
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1
→
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∨
∧
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❍
P
∧
P
¬
✟❍
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❍
Q
R
→
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✟
❍
Q
R
version
plus
légère :
((ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ))
1
0
0
1
(ϕ ↔ ψ)
1
0
0
1
Les colonnes correspondant aux deux formules considérées sont identiques, ces formules sont
donc logiquement équivalentes.
(ii) ϕ ψ ¬ϕ ¬ψ (ϕ ∧ ψ) (¬ϕ ∧ ¬ψ) ((ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ¬ψ)) (ϕ ↔ ψ)
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0
1
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0
1
0
1
1
1
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1
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1
1
0
0
1
Les colonnes correspondant aux deux formules considérées sont identiques, ces formules sont
donc logiquement équivalentes.
(iii) ϕ ψ ¬ϕ ¬ψ (ϕ ∨ ψ) ¬(ϕ ∨ ψ) (¬ϕ ∧ ¬ψ)
0
0
1
1
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1
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1
1
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0
1
0
0
0
Les colonnes correspondant aux deux formules considérées sont identiques, ces formules sont
donc logiquement équivalentes.
Solution 17. Proposez une transcription en logique propositionnelle des phrases suivantes. Précisez
dans chaque cas ce que vous faites correspondre à chaque lettre de proposition, et quelles inférences,
s’il y en a, échappent à la formalisation.
(6)
a.
Soit Jean a réussi l’épreuve, et il est en vacances, soit il a échoué.
Jean a réussi l’épreuve
Jean a échoué à l’épreuve
Jean est en vacances
b.
R
E
V
Si Max et léa se connaissent, il faudra les inviter quand tu fêteras ton anniversaire.
Max et Léa se connaissent
Tu fête(ra)s ton anniversaire
Tu invite(ra)s Max et Léa
c.
((R ∧ V ) ∨ E)
C
A
I
(C → (A → I))) ou ((C ∧ A) → I)
Ni Max ni Paul n’ont réussi l’épreuve que Marie a préparée.
Max a réussi l’épreuve que Marie a préparé
Paul a réussi l’épreuve que Marie a préparé
d.
(¬M ∧ ¬P )
Il ne suffit pas de mélanger les ingrédients pour réussir la recette.
On mélange les ingrédients
On réussit la recette
e.
M
P
M
R
¬(M → R)
Pour arriver place de la Concorde, il suffit de prendre le pont puis de tourner à droite.
On arrive place de la Concorde
On prend le pont
On tourne à droite
A
P
D
((P ∧ D) → A)
On perd l’information qu’il faut prendre le pont et seulement ensuite tourner à droite.
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Solution 18. On note que ϕ est vraie dans trois cas : quand p,q et r son faux, quand p
est faux, et q et r vrais, et quand les trois sont vrais. Une façon d’écrire cela est la formule
suivante (on a simplifié les parenthèses).
((¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r)
Solution 19.
Montrez, en représentant chaque phrase en logique propositionnelle, et en utilisant une table de vérité,
a. que (3a) implique logiquement (3b), et
b. que (4a) et (4b) sont équivalentes.
(1)
a.
b.
Pierre et Marie sont venus, alors que Paul non.
Il est faux que Paul est venu.
(2)
a.
b.
Pour que l’entreprise redémarre, il faut changer son PDG.
Il n’est pas vrai que l’entreprise ne redémarre pas ni que son PDG a changé.
Choix le plus simple : inutile de décomposer la première proposition.
P : Pierre et Marie sont venus
P Q ¬Q P ∧ ¬Q P ∧ ¬Q → ¬Q
Q : Paul est venu
0 0
1
0
1
(1a) : P ∧ ¬Q
0
0
1
0 1
(1b) : ¬Q
1
1
1
1 0
1 1
0
0
1
Avec une décomposition plus détaillée :
P : Pierre est venu
P Q R ¬R P ∧ Q ∧ ¬R P ∧ Q ∧ ¬R → ¬R
Q : Marie est venue
0 0 0
1
0
1
R : Paul est venu
0 0 1
0
0
1
(1a) : P ∧ Q ∧ ¬R
1
0
1
0 1 0
(1a) : ¬R
0
0
1
0 1 1
1 0 0
1
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1
0
0
1
1 0 1
1 1 0
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0
0
1
1 1 1
Dans les deux cas, la colonne (1a) → (1b) est une tautologie : CQFD.
P l’entreprise redémarre (2a) Q → P
(2b) ¬(¬P ∧ Q)
Q Le PDG change
P
0
0
1
1
Q
0
1
0
1
Q→P
1
0
1
1
¬P
1
1
0
0
¬P ∧ Q ¬(¬P ∧ Q)
0
1
1
0
0
1
0
1
Les colonnes correspondant à (2a) et (2b) sont identiques : CQFD.
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Solution 20.
Soit le raisonnement suivant :
(3)
Jean vient soit en voiture, soit en train. Il n’arrive en retard que quand il prend sa voiture.
Aujourd’hui, il est arrivé à l’heure. C’est donc qu’il a pris le train.
Donnez une représentation de ce raisonnement en logique des propositions. En vous appuyant sur une
table de vérité, dites si ce raisonnement est valide ou non.
On peut représenter ce raisonnement comme un syllogisme, où le mot donc sert à séparer les
prémisses de la conclusion, ce qui donne, avec la « légende » suivante :
Jean
Jean
Jean
Jean
vient en voiture
vient en train
arrive en retard
arrive à l’heure
V
T
R
¬R
(On simplifie un peu en considérant que « Jean arrive en retard » et « Jean arrive à l’heure »
forment une paire de propositions contradictoires.)
Jean vient soit en voiture, soit en train.
Il n’arrive en retard que quand il prend sa voiture.
Aujourd’hui, il est arrivé à l’heure.
C’est donc qu’il a pris le train.
ϕ
V
0
0
0
0
1
1
1
1
T
0
0
1
1
0
0
1
1
R
0
1
0
1
0
1
0
1
ψ
ξ
(V ∨ T ) (R → V ) ¬R
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
(V ∨ T )
(R → V )
¬R
T
prémisses : π
}|
{
z
(ϕ ∧ ψ ∧ ξ)
0
0
1
0
1
0
1
0
concl.
T
0
0
1
1
0
0
1
1
(π → J)
1
1
1
1
0
1
1
1
Lecture de la table de vérité. L’un ou l’autre des commentaires suivants est suffisant pour
justifier la réponse.
• Dans toutes les situations où les prémisses sont vraies (en jaune dans la table), on
cherche à vérifier si la conclusion est vraie. Il y a une situation où ce n’est pas le cas
(en rouge), pas conséquent le syllogisme n’est pas valide.
Une autre façon de conclure est de constater :
• La formule (α → ω) (où α représente les prémisses et ω la conclusion) n’est pas une
tautologie. Par conséquent le syllogisme n’est pas valide.
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