Logique pour les sciences humaines Feuille d`exercices I

Logique pour les sciences humaines
Feuille d’exercices I
Seiller Thomas
[email protected]
Institut mathématique de Luminy, 163 Avenue de Luminy,
Case 907, 13288 Marseille Cedex 09, France
Exercice 1 : Tautologies et formules logiquement équivalentes
Tautologies
Montrer que les formules suivantes sont des tautologies :
1. ((A ∧ A) ⇔ A)
2. ((A ∧ (B ∨ C)) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C)))
3. ((A ∨ (B ∧ C)) ⇔ ((A ∨ B) ∧ (A ∨ C)))
4. ((A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A))
5. ¬¬A ⇔ A
6. (¬A ⇒ (A ⇒ B))
7. (((A ⇒ B) ∧ (B → C)) ⇒ (A ⇒ C))
Formules logiquement équivalentes
Montrer que les formules se trouvant sur une même ligne sont deux à deux
logiquement équivalentes :
1. ¬(A ⇒ B), (A ∧ ¬B)
2. ¬A, (¬A ⇒ A), ((A → B) ⇒ A), ((B ⇒ A) ∧ (¬B ⇒ A))
3. (A ⇒ B), (¬A ∨ B), (¬B ⇒ ¬A), ((A ∧ B) ⇔ A), ((A ∨ B) ⇔ B)
Exercice 2 : Systèmes complets de connecteurs
Les systèmes suivants sont-ils complets ? Et s’il le sont, sont-ils minimaux ?
1. {¬, ⇒, ∧}
2. {∧, ∨}
3. {⇒, ∨, ⇔}
4. {¬, ∨}
5. {¬, ⇒}
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Exercice 3 : D’autres règles de déduction
1. Montrer que si A ⇒ B est une tautologie, et que ¬B est une tautologie (on
dit aussi que B est une antilogie), alors ¬A est également une tautologie.
2. Montrer que si A ⇔ B est une tautologie, alors :
(a) Si A est une tautologie, alors B est une tautologie
(b) Si A est une antilogie, alors B est une antilogie
Exercice 4 : > (Top) et ⊥ (Bottom)
1. Montrer que la formule suivante est une tautologie :
((ϕ → ψ) → ϕ) → ϕ)
2. Montrer l’équivalence :
(ϕ → ψ) ↔ ((ϕ ∧ ψ) ∨ ¬ϕ)
3. On introduit une nouvelle constante ⊥, telle que pour toute distribution
de vérité ρ, ρ(⊥) = 0 par définition. Montrer que l’on a l’équivalence :
(ϕ → ⊥) ↔ ¬ϕ
4. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p, ¬ et ∧ à laquelle ⊥ est logiquement équivalente.
5. Trouver une formule ne s’écrivant qu’avec p, ¬ et ∨ à laquelle ⊥ est logiquement équivalente.
6. On définit un connecteur > qui est tel que pour toute distribution de vérité
ρ, ρ(>) = 1. Montrer que l’on peut définir > en n’utilisant que p, ¬ et ∧.
Exercice 5 : Barres de Scheffer
1. Montrer que {⇒, ¬} est un système complet minimal de connecteurs
2. On définit les deux connecteurs † et ‡ tels que pour toute distribution de
valeur de vérité ρ :
– ρ(F † G) = 0 si et seulement si ρ(F ) = ρ(G) = 1
– ρ(F ‡ G) = 1 si et seulement si ρ(F ) = ρ(G) = 0
Donner les tables de vérité de ces deux connecteurs.
3. Montrer qu’il existe des formules F¬ et G¬ logiquement équivalentes à ¬p
telles que :
– F¬ n’utilise que le connecteur †
– G¬ n’utilise que le connecteur ‡
4. Montrer qu’il existe des formules F⊥ et G⊥ logiquement équivalentes à ⊥
telles que :
– F⊥ n’utilise que le connecteur †
– G⊥ n’utilise que le connecteur ‡
5. Montrer qu’il existe des formules F> et G> logiquement équivalentes à >
telles que :
– F> n’utilise que le connecteur †
– G> n’utilise que le connecteur ‡
6. Montrer que {†} et {‡} sont deux systèmes complets de connecteurs.
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