Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Chapitre 7 : FONCTIONS
TRIGONOMETRIQUES
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TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires
November 16, 2016
TS6, 2016-17, lycée Les Eaux Claires
Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
Dans ce chapitre
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Quelques définitions
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Quelques définitions
1.1) Fonctions paires et impaires
Définition
Soit f une fonction dont l’ensemble de définition est symétrique
par rapport au nombre 0 : si le nombre x appartient à Df alors
le nombre (−x ) appartient aussi à Df
• On dit que la fonction f est paire si,
pour tout nombre x de Df , f (−x ) = f (x )
• On dit que la fonction f est impaire si,
pour tout nombre x de Df , f (−x ) = −f (x )
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Quelques définitions
Propriétés
• La courbe représentative d’une fonction f paire est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées
• La courbe représentative d’une fonction f impaire est
symétrique par rapport à l’origine du repère
à illustrer
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1) Quelques définitions
Exemples
• La fonction carré est paire
• Les fonctions cube et inverse sont impaires
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Quelques définitions
1.2) Fonctions périodiques
Définition
Soit f une fonction définie sur R
On dit que la fonction f est périodique de période T ou que
la fonction f est T - périodique si, pour tout nombre x de Df ,
f (x + T ) = f (x )
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
1) Quelques définitions
Propriété
Pour obtenir la courbe représentative d’une fonction f périodique
de période T :
• on commence par tracer cette courbe sur un intervalle de
taille T
• puis on complète en utilisant une translation de vecteur
→
−
T× i
à illustrer
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Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
2) Le cercle trigonométrique : rappels
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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2) Le cercle trigonométrique : rappels
Rappel : repérage sur le cercle
trigonométrique
Tout nombre x réel peut être placé
sur le cercle trigonométrique (par
enroulement)
Soit M le point image du nombre x
Par définition :
cos(x ) est l’abscisse du point M
et sin(x ) est l’ordonnée du point M
Le point M a donc pour coordonnées
(cos(x ), sin(x ))
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2) Le cercle trigonométrique : rappels
Petit exercice
Placer sur le cercle trigonométrique les nombres suivants :
a=
5π
6
19π
2
89π
g =−
4
d=
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b=−
3π
4
77π
3
317π
h=−
3
e=
c=
17π
3
f =−
145π
2
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2) Le cercle trigonométrique : rappels
Propriétés vues en 1S
Quelques souvenirs ?
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3) La fonction cosinus
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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3) La fonction cosinus
Propriétés
• cos(x ) est l’abscisse du point M(x ) où M(x ) est le point
image du nombre x sur le cercle trigonométrique
• La fonction cosinus est définie sur R
• Pour tout x réel, cos(−x ) = cos(x )
(à illustrer)
La fonction cosinus est donc paire
Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à
l’axe des ordonnées.
• Pour tout x réel, cos(x + 2π) = cos(x )
La fonction cosinus est donc 2π-périodique.
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3) La fonction cosinus
Sur l’intervalle [0; 2π]
• Rappel des valeurs à connaître :
(à compléter)
• Le maximum est atteint pour x = 0 et pour x = 2π
• Le minimum est atteint pour x = π
• cos(x ) = 0 pour x = π2 et pour x = 3π
2
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3) La fonction cosinus
Tableau de variations sur [0; 2π]
x
0
π
1
1
cos(x )
−1
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2π
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3) La fonction cosinus
Sur R
On utilise la périodicité de la fonction cosinus pour tracer sa
courbe représentative.
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4) La fonction sinus
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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4) La fonction sinus
Propriétés
• sin(x ) est l’ordonnée du point M(x ) où M(x ) est le point
image du nombre x sur le cercle trigonométrique
• La fonction sinus est définie sur R
• Pour tout x réel, sin(−x ) = −sin(x )
(à illustrer)
La fonction sinus est donc impaire
Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à
l’oroigine su repère.
• Pour tout x réel, sin(x + 2π) = sin(x )
La fonction sinus est donc 2π-périodique.
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4) La fonction sinus
Sur l’intervalle [0; 2π]
• Rappel des valeurs à connaître :
(à compléter)
• Le maximum est atteint pour x = π2
• Le minimum est atteint pour x = 3π
2
• sin(x ) = 0 pour x = 0, pour x = π et pour x = 2π
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4) La fonction sinus
Tableau de variations sur [0; 2π]
x
0
π
2
3π
2
1
0
sin(x )
0
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2π
−1
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4) La fonction sinus
Sur R
On utilise la périodicité de la fonction sinus pour tracer sa courbe
représentative.
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5) Dérivées et limites
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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5) Dérivées et limites
Continuité et dérivabilité
Théorème
Les fonctions cosinus et sinus sont continues (le prochain
chapitre portera sur la continuité) et dérivables sur R
Pour tout x réel :
1) cos0 (x ) = − sin(x )
2) sin0 (x ) = cos(x )
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5) Dérivées et limites
En particulier
• Pour une fonction f d’expression : f (x ) = cos(ax + b)
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5) Dérivées et limites
En particulier
• Pour une fonction f d’expression : f (x ) = cos(ax + b)
On reconnait une fonction de la forme f (x ) = u(ax + b)
avec u(x ) = cos(x ) et u 0 (x ) = −sin(x )
Donc f 0 (x ) = a × u 0 (ax + b)
On obtient ici : f 0 (x ) = −a × sin(ax + b)
• Pour une fonction g d’expression : g(x ) = sin(ax + b)
On obtient de même : g 0 (x ) = a × u 0 (ax + b)
Et finalement : g 0 (x ) = a × cos(ax + b)
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5) Dérivées et limites
Limites en l’infini
Théorème
Les fonctions cosinus et sinus
• n’ont pas de limite en +∞
• n’ont pas de limite en −∞
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5) Dérivées et limites
Une limite à connaître
Théorème
lim
x →0
sin(x )
x
=1
à démontrer
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6) Equations trigonométriques
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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6) Equations trigonométriques
Deux équivalences de réference
On utilise les deux équivalences suivantes :
Soient a et b deux nombres réels
Théorème
cos(a) = cos(b)
sin(a) = sin(b)
⇔
⇔
(avec k entier relatif)
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a = b +2kπ
a = b+2kπ
ou
ou
a = −b +2kπ
a = π−b+2kπ
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6) Equations trigonométriques
Première équivalence
cos(a) = cos(b)
⇔
les points M(a) et M(b) ont la même abscisse
⇔ M(a) et M(b) sont confondus ou sont symétriques par
rapport à l’axe des abscisses
⇔ a = b + 2kπ
à illustrer
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ou
a = −b + 2kπ
Chapitre 7 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES
6) Equations trigonométriques
Seconde équivalence
sin(a) = sin(b)
⇔
les points M(a) et M(b) ont la même ordonnée
⇔ M(a) et M(b) sont confondus ou sont symétriques par
rapport à l’axe des ordonnées
⇔ a = b + 2kπ
à illustrer
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ou
a = π − b + 2kπ
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6) Equations trigonométriques
Exemples
• 1) Résoudre dans [0 ; 4π] l’équation : cos(x ) = 12
• 2) Montrer que cos(x − π2 ) = sin(x )
Résoudre dans R l’équation cos(x ) = sin(x )
• 3) Résoudre dans R l’équation cos(2x ) = −sin(x )
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7) Inéquations trigonométriques
Plan du cours
1) Quelques définitions
2) Le cercle trigonométrique : rappels
3) La fonction cosinus
4) La fonction sinus
5) Dérivées et limites
6) Equations trigonométriques
7) Inéquations trigonométriques
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7) Inéquations trigonométriques
Méthode 1 : résolution (graphique) avec le
cercle trigonométrique
Inéquation de la forme : cos(x ) > k
• la valeur k est placée sur l’axe des abscisses (sur lequel on lit
le cosinus d’un nombre) et on conserve ici l’intervalle [k; 1]
• On cherche les points du cercle dont l’abscisse appartient à
l’intervalle [k; 1]
• L’ensemble solution correspond aux nombres associés à l’arc
de cercle sélectionné
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7) Inéquations trigonométriques
Exemple
Résoudre l’inéquation :
• dans [0; 2π]
• dans [−π; 4π]
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cos(x ) ≥ −0, 5
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7) Inéquations trigonométriques
Sur l’intervalle [0; 2π]
• Les points sélectionnés
(avec une abscisse plus
grande que −0, 5) sont
coloriés en bleu
• On parcourt ensuite
l’intervalle [0; 2π] en se
déplaçant sur le cercle
trigonométrique
h
i h
i
4π
• S = 0; 2π
3 ∪ 3 ; 2π
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7) Inéquations trigonométriques
Sur l’intervalle [−π; 4π]
• Les points sélectionnés
(avec une abscisse plus
grande que −0, 5)
restent les mêmes
• On parcourt ensuite
l’intervalle [−π; 4π]
h
i
• S = − 2π
; 2π
∪
3
3
h
i h
4π 8π
3 ; 3
∪
10π
3 ; 4π
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i
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7) Inéquations trigonométriques
Méthode 2 : résolution avec la courbe
représentative de la fonction cosinus
Inéquation de la forme : cos(x ) > k
la valeur k est placée sur l’axe des ordonnées (l’axe des images sur
lequel on lit le cosinus d’un nombre)
Les nombres solution de l’inéquation cos(x ) > k sont les nombres
dont l’image est plus grande que k.
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7) Inéquations trigonométriques
Exemple
Résoudre l’inéquation :
• dans [0; 2π]
• dans [−π; 4π]
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cos(x ) ≥ −0, 5
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7) Inéquations trigonométriques
Sur l’intervalle [0; 2π]
• La droite d’équation y = −0, 5 a été tracée en rouge
• Les solutions sont en bleu sur l’axe des abscisses
h
i h
i
4π
• S = 0; 2π
∪
;
2π
3
3
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7) Inéquations trigonométriques
Sur l’intervalle [−π; 4π]
• La courbe a été tracée sur l’intervalle [−π; 4π]
• Les solutions sont en bleu sur l’axe des abscisses
i h
i h
i
h
2π
4π 8π
10π
• S = − 2π
;
∪
;
∪
;
4π
3
3
3
3
3
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7) Inéquations trigonométriques
Autres inéquations
• On résout de la même manière les inéquations de la forme :
• cos(x ) < k
• sin(x ) > k
• sin(x ) < k
• Lire avec attention les pages 82 et 83 du livre
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