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NOMBRES DE MARKOFF ET
CATÉGORIES INCLINÉES AMASSÉES
par
ALEXANDRE LASNIER
Thèse présentée au Département de mathématiques
en vue de l'obtention du grade de Philosophiœ Doctor (Ph.D.)
FACULTÉ DES SCIENCES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Sherbrooke, Québec, Canada, mai 2012

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Le 7 juin 2012
le jury a accepté la thèse de Monsieur Alexandre Lasnier
dans sa version finale.
Membres du jury
Professeur Thomas Brustle
Directeur de recherche
Département de mathématiques
Professeur Shiping Liu
Membre
Département de mathématiques
Professeure Gordana Todorov
Membre externe
Northeastern University
Professeur Ibrahim Assem
Président rapporteur
Département de mathématiques

RÉSUMÉ. On introduit une famille de modules, appelés modules
de Markoff, engendrée par un procédé itératif semblable à la muta-
tion des objecte inclinants dans une catégorie amassée. On montre
que ces modules ont une structure combinatoire similaire à celle des
mots de Christoffel. En outre, on construit une bijection entre l'en-
semble des triplets de modules de Markoff et l'ensemble des triplets
de Markoff propres. Ceci nous permet de reformuler la conjecture
d'unicité des nombres de Markoff dans un cadre algébrique.
Dans la deuxième partie, on étudie les dimensions projectives
de la restriction des foncteurs Homc(-,AT) à une sous-catégorie
contravariantement finie et rigide d'une catégorie triangulée C. On
montre que la dimension projective de Homc(-, X)\T est au plus
un si et seulement si il n'existe aucun morphisme non nul entre
objets de 7~[1] qui se factorise par X, lorsque X appartient à une
certaine sous-catégorie convenable de C. Par conséquent, on obtient
une caractérisation des objets de dimension projective infinie dans
la catégorie des foncteurs contravariants de présentation finie sur
une sous-catégorie inclinante amassée de C.