Analyse - Dérivabilité

⋇ Dérivabilité ⋇
Définitions
Définition – Dérivée en un point
Soient f : I ⟶ ℝ une application et a ∈ I. On dit que la fonction f est dérivable en a si la fonction 𝜏a, appelée taux
d’accroissement de f en a définie sur I \ {a} par :
τ𝑎 (x) =
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
possède une limite finie en a. Cette limite s’appelle nombre dérivé de f en a et se note f’(a) ou
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑎)
Interprétation géométrique
La tangente au graphe de f au point (a,f(a)) est la droite passant par (a,f(a)) et
dont un vecteur directeur est (1,f’(a)) (coefficient directeur f’(a))
Une équation cartésienne de cette tangente est donc
y = f ′ (a)(x − a) + f(a)
Si la courbe admet un point anguleux, la fonction n’est pas dérivable (existence de
2 demi-tangentes de coefficients directeur différents)
Si la courbe admet en un point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées, la
fonction n’est pas dérivable en ce point
Définition – Dérivée à droite et à gauche en un point
Soient f : I ⟶ ℝ une application et a ∈ 𝐼 .̇
On dit que f est dérivable à gauche en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à gauche en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à gauche de f en a et se note f’g(a).
On dit que f est dérivable à droite en a si le taux d’accroissement de f en a admet une limite finie à droite en a. Cette limite
s’appelle nombre dérivée à droite de f en a et se note f’d(a).
La fonction f est dérivable en a ssi f est dérivable à droite et à gauche en a et f’ d(a) = f’g(a)
Dans ce cas f’(a) = f’d(a) = f’g(a)
Proposition
Si f : I ⟶ ℝ est une fonction dérivable en a ∈ I alors f est continue en a
* La continuité est donc une condition de dérivabilité : si non continue, f non dérivable
Proposition – Dérivabilité sur un intervalle
Soit f : I ⟶ ℝ une application. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. L’application x ⟼ f’(x) notée
f’ est appelée fonction dérivée de f ou plus simplement dérivée de f.
* Pour étudier la dérivabilité d'une fonction en un point a, on ne cherche pas la limite de sa fonction dérivée en a car cette
dernière peut exister en ce point sans pour autant avoir de limite en ce point. Passer à la limite peut être licite à condition de
savoir que f' est continue en a. (exemple x²cos(1/x))
Calculer une limite grâce à la dérivée
Si f est dérivable en a alors on sait que la fonction
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𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
a une limite finie en a qui est f’(a)
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Opérations et dérivées usuelles
Opérations sur les dérivées
(f+g)’(a)=f’(a) + g’(a)
(f.g)(a) = f’(a).g(a) + f(a).g’(a)
1 ′
( ) (a) =
g
f ′
( ) (a) =
−g′(a)
g²(a)
(g(a) ≠ 0)
f′(a)g(a)−f(a)g′(a)
g
g²(a)
(g(a) ≠ 0)
(gof)’(a) = g’(f(a))f’(a)
(f −1 )’ =
1
f′of−1
(on retrouve la formule en dérivant f o f-1 = Id)
Dérivées simples
fonction
constante
xn, x ∈ ℝ, n ∈ ℕ
sin x, x ∈ ℝ
cos x, x ∈ ℝ
tan x, x ∈ ℝ, x≠𝜋/2+k𝜋, k ∈ℤ
exp x, x ∈ ℝ
ln x, x ∈ ]0, +∞[
xa, a ∈ ℝ , x ∈ ]0, +∞[
sinh x, x ∈ ℝ
cosh x, x ∈ ℝ
tanh x, x ∈ ℝ
arcsin x, x ∈ ]−1,1[
dérivée
0
nxn-1
cos x
- sin x
1+tan²x
exp x
1/x
axa-1
cosh x
sinh x
1 – tanh² = 1/cosh²
1
√1 − x²
1
−
√1 − x²
arccos x, x ∈ ]−1,1[
1
1 + x²
1
arctan x, x ∈ ℝ
argsh x, x ∈ ℝ
√1 + x²
1
argch x, x ∈ ]1, +∞[
√x² − 1
1
1 − x²
argth x, x ∈ ]−1,1[
Dérivées de fonctions composées
fonction
√f
dérivée
f′
ef
2√f
f ′ . ef
fa
af a−1 . f′
ln f
f′
f
log a f
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f′
f. ln b
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Etude globale des fonctions dérivables
Définition – Extremum local
Soit f : I→ℝ et a ∈ I mais n’est pas une borne de I
On dit que a admet un maximum (resp. minimum) local en a si f est majorée (resp. minorée ) par f(a) au voisinage de a
Théorème – Extremum local
Soit f définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en est pas une borne. Si la fonction f présente un extremum local en a
et si f est dérivable en a, alors nécessairement f’(a)=0.
* réciproque fausse (exemple x↦x3) car f’ doit s’annuler ET changer de signe
* Sur la représentation graphique, la tangente au graphe doit être horizontale en un tel point.
Théorème de Rolle
Etant donné deux réels a et b tels que a < b ainsi qu’une fonction f continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifiant f(a)=f(b),
il existe alors c ∈ ]a,b[ tel que f’(c)=0.
Graphiquement cela signifie que l’une (au moins) des
tangentes au graphe de la fonction f doit être
horizontale
Attention c n’est pas forcément unique
Théorème des accroissements finis
Soit (a,b) ∈ ℝ², a<b . Soit f : [a,b]→ℝ une fonction continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[.
On a les propriétés suivantes :
* égalités des accroissements finis :
il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(b)-f(a) = (b-a)f’(c)
* inégalités des accroissements finis :
si en outre il existe des réels m et M tels que pour tout t ∈ [a,b], on ait m ≤ f’(t) ≤ M alors m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)
En particulier si, pour tout t ∈ ]a,b[, |f’(t)| ≤ M, alors |f(b) - f(a)| ≤ M(b - a)
On a donc la majoration |f(b)-f(a)|≤ supt∈]a,b[ |f’(t)|(b-a)
Graphiquement cela signifie l’existence d’une
tangente parallèle à la corde joignant les points
(a,f(a)) et (b,f(b))
Corollaire – Dérivation et fonctions lipschitzienne
Soit f : I→ℝ une application. Si |f’| est majorée par k réel positif sur I, alors f est k-lipschitzienne sur I
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Constance, monotonie et dérivabilité
Théorème – Dérivée et fonction constante
Soient I un intervalle non vide et f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable dans I. f’=0 ssi f est constante
Théorème – Dérivée et variations des fonctions
Soient I un intervalle non vide et f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable.
* f’(t) ≥ 0 (resp. f’(t) ≤ 0) ssi la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur I.
* Si pour tout t ∈ I, on a f’(t) > 0 (resp. f’(t) < 0) alors la fonction f est strictement croissante (resp. strictement décroissante)
sur I. (réciproque est fausse, par exemple x3 strictement croissante et la dérivée s’annule en 0)
Théorème – Stricte monotonie et dérivabilité
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Si f’ est de signe constant sur [a, b] et si elle ne
s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement monotone sur [a, b].
Limite de la dérivée
Théorème – Limite de la dérivée
̅ en a alors x ⟼ f(x)−f(a) admet aussi une limite l
Soient f : I ⟶ ℝ une fonction dérivable sur I\{a}. Si f’ admet une limite l ∈ ℝ
x−a
en a. En particulier, si l est fini, f est dérivable en a et f’ continue en a.
Corollaire
Soit f : [a, b] ⟶ ℝ continue sur [a, b] et de classe 𝒞1 sur ]a, b]. Si f’ admet une limite finie en a, alors f est de classe 𝒞1 sur
[a, b].
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Dérivées successives
Dérivées d’ordre supérieur
Pour une fonction n-fois dérivable, n ∈ ℕ, on note f, f’, f ", f(3), …., f(k),…f(n) les dérivées successives dites dérivées k-ième de f
Par convention, f(0) = f.
Définition – Fonctions de classe 𝒞n
Soient f : I ⟶ ℝ et n ∈ ℕ. On dit que f est de classe 𝒞n si f est n fois dérivable sur I et si f(n) est continue sur I.
On dit que f est de classe 𝒞∞ si f est indéfiniment dérivable sur I.
On note 𝒞n (I, ℝ) ou (I) (resp. 𝒞∞ (I, ℝ) ou 𝒞∞ (I)) l’ensemble des fonctions de classe 𝒞n (resp. 𝒞∞) sur I.
Formule de Leibniz
n
(fg)(n) (x) = ∑nk=0 ( ) f (k) (x)g (n−k) (x)
k
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dérivée
n-ième
d’un
produit
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