TD6 : Couples aléatoires Université Paris Dauphine

Université Paris Dauphine
Probabilités discrètes
A.M.Boussion
DE MI2E 1
2012-2013
TD6 : Couples aléatoires
Exercice 1
Une urne contient cinq boules de couleurs différentes. On en tire trois une à une avec remise.
Déterminer la loi de X, nombre de couleurs apparues.
Exercice 2
Dire si chacune des fonctions F suivantes peut être la fonction de répartition d’une v.a. X, et si
oui donner la loi de X :
1. ∀x ∈ R F (x) = 0
2. ∀x ∈ R F (x) = 0 si x < π et F (x) = 1 sinon
3. ∀x ∈ R F (x) = 0 si x < 0, F (x) =
1
3
si 0 ≤ x < 1, F (x) = 1 si x ≥ 1
Exercice 3
Une urne contient n boules blanches et deux boules noires. On tire les boules une à une sans
remise. Déterminer
X la loi de X, rang d’apparition de la première boule noire.
Vérifier que
P (X = i) = 1
i∈X(Ω)
Exercice 4
Un atelier fonctionne avec deux équipes d’ouvriers, une du matin et l’autre du soir. Chaque jour,
on enregistre le nombre d’ouvriers absents, et on note X le nombre d’absences dans l’équipe de
jour, et Y le nombre d’absences dans l’équipe de nuit.
La loi de (X, Y ) est donnée par le tableau suivant :
1. Déterminer la constante c et donner les lois marginales de X et Y .
2. Donner la loi de X si le tirage se fait sans remise (on suppose alors k ≤ n).
3. Déduire de la deuxième question que pour 1 ≤ k ≤ n :
n
X
k−1
Ci−1
= Cnk (c’est la formule d’itération de Pascal que l’on retrouve ainsi)
i=k
Exercice 5
On dessine sur des cartes les différentes parties de l’ensemble {1, 2, ..., n}, puis on tire au hasard
l’une de ces cartes. X est la variable aléatoire égale au cardinal de la partie figurant sur la carte
tirée. Donner la loi de X, son espérance et sa variance.
Exercice 6
Un jeu consiste à miser 2 euros et à tirer 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. On reçoit alors a euros
pour chaque roi obtenu. On note X le nombre de rois obtenus, et G le gain algébrique du joueur.
1. Exprimer G en fonction de X et de a.
2. Si le tirage se fait avec remise, donner la loi de X et son espérance.
Le jeu est dit favorable au joueur si l’espérance du gain est positive.
Pour quelles valeurs de a le jeu est-il favorable au joueur ?
1
3. Reprendre la même question si le tirage se fait sans remise.
4. Si a = 3, 20 euros, quelle différence y a-t-il entre ces deux jeux ?
Exercice 7
Soit X une v.a. suivant la loi hypergéométrique H(N, n, p) (N et n entiers non nuls, 0 < p < 1).
n
X
Montrer qu’en écrivant
P (X = k) = 1, on retrouve l’égalité de Van der Monde.
k=0
Calculer E(X) et var(X).
Exercice 8
Un avion est muni de réacteurs dont chacun a une probabilité de tomber en panne égale à (1 − p)
(0 < p < 1), les pannes des différents réacteurs étant indépendantes. Pour fonctionner, l’avion
doit avoir au moins la moitié de ses réacteurs en état de marche. Déterminer selon la valeur de
p si un quadriréacteur est préférable à un biréacteur.
Exercice 9
Calculer E(
1
):
X +1
1. si X suit la loi binômiale B(n, p).
2. si X suit la loi de Poisson P(λ).
Exercice 10
Un tireur à l’arc dispose de n flèches (n ≥ 1). Pour chaque tir la probabilité qu’il atteigne la cible
est égale à p (0 < p < 1), et ses tirs sont indépendants. Il s’arrête dès qu’il a atteint la cible ou
lorsqu’il n’a plus de flèches.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de flèches utilisées.
1. Déterminer la loi de X.
Vérifier que les pk = P (X = k) déterminés définissent bien une loi de probabilité.
2. Combien le tireur utilise-t-il de flèches en moyenne ?
Exercice 11
Un rat de laboratoire est placé dans une cage comportant 4 portes, derrière lesquelles se trouve
un morceau de fromage. Lorsqu’il essaie de franchir ces portes, il reçoit une décharge électrique,
sauf pour l’une des portes qui est la seule à s’ouvrir.
Soit X le nombre d’essais effectués par le rat pour trouver la bonne porte.
Donner la loi de X et son espérance dans les cas suivants :
1. le rat n’a pas de mémoire : il renouvelle ses essais sans tenir compte de ses échecs précédents.
2. le rat a seulement une mémoire immédiate : en cas de nouvelle tentative, il ne tient compte
que de l’échec qui la précède immédiatement.
3. le rat a une bonne mémoire : il laisse systématiquement de côté les portes où il a eu un
échec.
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