SATELLITES ET PLANETES Les référentiels d’études N Deuxième loi de Kepler (1609) Dans le référentiel héliocentrique, le rayon vecteur de chaque planète, qui relie le centre du Soleil à son centre, balaye des aires égales pendant des durées égales. étoile lointaine Terre S référentiel héliocentrique Soleil N Dans le cas de trajectoires circulaires, les distances parcourues sur l'orbite sont égales et le mouvement est uniforme. étoile lointaine référentiel Terre géocentrique S étoile lointaine Le référentiel héliocentrique est un solide imaginaire ayant pour centre le centre du Soleil et dont l'orientation reste fixe par rapport à l'ensemble des étoiles lointaines (étoiles situées aux confins de l'Univers). Le référentiel héliocentrique est le Soleil privé de sa rotation propre. Ce référentiel, considéré galiléen, convient pour l'étude du mouvement des planètes autour du Soleil. Le référentiel géocentrique est un solide imaginaire ayant pour centre le centre de la Terre et dont l'orientation reste fixe par rapport à l'ensemble des étoiles lointaines. Le référentiel géocentrique est la Terre privée de sa rotation propre. Ce référentiel, considéré galiléen sur des durées faibles devant 1 an, convient pour l'étude du mouvement des satellites terrestres. Les trois lois de Kepler planète a Mouvement elliptique O Mouvement Circulaire Ces lois empiriques décrivent les mouvements des centres des neuf planètes du système solaire dans le référentiel héliocentrique. Par ordre de distance croissante au Soleil, on trouve : Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune, Pluton. Moyen mnémotechnique : « Me Voici, Toute Mignonne, Je Suis Une Nouvelle Planète ». Première loi de Kepler (1609) Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque planète décrit, dans le sens direct, une trajectoire elliptique dont le Soleil occupe un des foyers. Dans le cas particulier où l'ellipse peut être assimilée à un cercle, les deux foyers sont confondus avec le centre du cercle. CLASSEUR Terminale S Troisième loi de Kepler (1619) Dans le référentiel héliocentrique, le carré de la période de révolution T de chaque planète (durée mise pour décrire sa trajectoire complète autour du Soleil) est proportionnel au cube du demi-grand axe a de son orbite elliptique : T2 = cte a3 De manière générale, ces trois lois restent valables pour tous les satellites d'un même corps, par exemple, les satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique. Dans la troisième loi de Kepler, la valeur de la constante dépend de l'astre autour duquel s'effectue le mouvement. La loi de la gravitation universelle Dans le cas de corps A et B ponctuels ou à répartition sphérique de masse, la force d'interaction gravitationnelle F A/B exercée par A sur B a pour expression vectorielle : GmAmB F A/B = – u AB d2 mA et mB masses en kilogramme (kg) d distance en–11mètre (m) G = 6,67.10 SI constante de gravitaion F A/B F B/A A F B/A = – F A/B B d u BA u AB r grand axe Soleil O SYNTHESE u AB est le vecteur unitaire issu de A (qui crée la force) et orienté vers B (qui la subit). La plupart des astres sont à répartition sphérique de masse ou séparés par des distances très grandes devant leurs dimensions propres. Du point de vue des interactions gravitationnelles, on peut les assimiler à des objets ponctuels, toute leur masse se concentrant en leur centre d'inertie. De même, la force F exercée par un astre, de masse M et de rayon R, sur un satellite satellite, de masse m, évoluant sur une orbite astre F circulaire de rayon r et d'altitude z (r = R + z), a R u pour expression : GMm z r F =– 2 u r GMm =– u (R + z)2 Le vecteur unitaire est orienté de l'astre vers le satellite. Agence de CHARLEVILLE MEZIERES SATELLITES ET PLANETES Satellites ou planètes en orbites circulaires Le mouvement d'une planète ou d'un satellite, réduit à son centre d'inertie, est souvent considéré circulaire uniforme dans le référentiel « centrique » lié au corps autour duquel il gravite. Dans la suite, les résultats pour les satellites se généralisent aux planètes. SYNTHESE La valeur v de la vitesse du satellite d'altitude z vaut donc : GM GM v= = (1) r R+z La valeur v de la vitesse du centre d'inertie d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre ne dépend que de son altitude z. Elle est d'autant plus petite que l'altitude est élevée. • Accélération du mouvement circulaire uniforme A une altitude donnée, tous les satellites d'un même astre ont même vitesse. Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v, le vecteur accélération aM (t) du point M à l'instant t possède les caractéristiques : – origine : la position du point vM M à l'instant t ; M – direction : radiale (celle du rayon aM r vecteur OM à l'instant t) ; O – sens : centripète (vers le centre O du cercle trajectoire) ; v2 – valeur : a = r Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v, le vecteur accélération aM (t) du point M à l'instant t est radial et centripète, de valeur v2 a= . r La période de révolution T d'un satellite est la durée qu'il met pour décrire son orbite complète. L'accélération du point M, perpendiculaire au vecteur vitesse et dans le plan de la trajectoire, est dite normale. Un point M a un mouvement circulaire uniforme de centre O si : – la position initiale du point M ne coïncide pas avec O; – le vecteur vitesse initiale du point M, non nul, est orthogonal au rayon vecteur OM ; – la résultante des forces qui s'exercent sur M est radiale et ne dépend que de r (force centrale). • Vitesse des satellites en orbite circulaire On considère un satellite, de masse m et d'altitude z, en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v autour d'un astre, de masse M et de rayon R, dans le référentiel « centrique » correspondant à celui-ci. Si les forces exercées par les autres astres sont négligeables, le satellite est soumis uniquement à la force F exercée par l'astre de masse M. D'après la deuxième loi de Newton, il vient dans le référentiel « centrique » considéré galiléen : GMm GM F = – 2 u = m aG , soit aG = – 2 u r r Le mouvement circulaire uniforme est une solution de l'équation obtenue par la deuxième loi de Newton si l'accélération est radiale et centripète : – v2 GM v2 GM u = – 2 u , soit = 2 r r r r CLASSEUR Terminale S • Période des satellites en orbite circulaire Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon r, la valeur v de la vitesse s'obtient en divisant le périmètre de l'orbite par la période T du satellite : 2r 2r GM v= , soit d’après (1) : = (2) T T r La période T du satellite d'altitude z vaut donc : r3 (R + r)3 T = 2 = 2 GM GM La période T d'un satellite en orbite circulaire autour d'un astre ne dépend que de son altitude z. Elle est d'autant plus grande que l'altitude est élevée. Après élévation de (2) au carré, on obtient : T2 T2 42 = = = cte r3 (R + z)3 GM On retrouve la troisième loi de Kepler dans le cas particulier de l'orbite circulaire. La constante ne dépend que de l'astre autour duquel s'effectue le mouvement, par le biais de sa masse. • Les satellites géostationnaires Un satellite géostationnaire est immobile dans le référentiel terrestre. Dans le référentiel géocentrique, la période de révolution d'un satellite géostationnaire est égale à la période de rotation de la Terre sur elle-même, appelée jour sidéral, de durée 23 h 56 min. De tels satellites ont une altitude d'environ 36.103 km. Leur orbite, située dans le plan équatorial et parcourue dans le sens direct, est unique. Situés en permanence à la verticale d'un même point du globe, il est facile de pointer des antennes dans leur direction. Agence de CHARLEVILLE MEZIERES SATELLITES ET PLANETES SYNTHESE METHODE Appliquer la troisième loi de Kepler aux satellites Dans le cas de satellites en orbites circulaires à l'altitude z, la troisième loi de Kepler établit une relation entre la période T du satellite et le rayon r = R + z de son orbite (R rayon de l'astre autour duquel il gravite) : T2 T2 42 = = r3 (R + z)3 GM Données : – Masse de la Terre : M = 5,98.1024 kg ; – Rayon de la Terre : R = 6,37.103 km ; – Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10–11 SI. • Calcul de la période T connaissant l'altitude z 42 (R + z)3 T2 = , soit T = 2 GM (R + z)3 GM Exemple : z = 13,6.103 km. Après avoir converti les km en m : (6,37.106 + 13,6.106)3 T= = 2,81.104 s. 6,67.10–11 × 5,98.1024 On peut exprimer cette période en heures et en minutes : 2,81.104 = 7,80 h et 0,80 h = 0,80 × 60 = 48 min 3 600 d’où : T = 7h 48 min. • Calcul de l'altitude z connaissant la période T 2 1/3 GMT2 GMT (R + z)3 = 2 2 , soit : z = 4 – R 4 Exemple : T = 7 h 48 min. Après avoir converti les km en m et les h en s : z= 6,67.10–11 × 5,98.1024 × (7 × 3 600 + 48 × 60)2 1/3 –R 42 z = 1,36.107m II est conseillé de s'entraîner à effectuer ces longs calculs avec la calculatrice. CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES