THESE_AMINE.pdf

No d’ordre : 2348
THÈSE
présentée à
L’UNIVERSITÉ MOHAMMED V-AGDAL
FACULTÉ DES SCIENCES RABAT
pour l’obtention du
DIPLÔME DE DOCTORAT D’ÉTAT EN
MATHÉMATIQUES
par
Saı̂da AMINE
CONTRIBUTION À L ANALYSE
STOCHASTIQUE ET À LA VIABILITÉ
Soutenue devant le jury composé de :
Président : A. ZOGLAT Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat
Examinateurs :
M. EL KADIRI Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat
M. KABIL Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia
R. MORCHADI Professeur Habilité à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia
S. SAJID Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia
A. ZINE EL ABIDINE Professeur Habilité à la Faculté des Sciences de Rabat
Avant-Propos
Cette thèse est composéee de deux parties. Une partie a été effectuée au Département
de Mathématiques de la Faculté des Sciences de Rabat. L’autre partie a été effectuée au
Laboratoire de Probabilité de la Faculté des Sciences de Paris VI, France.
Je saisis l’occasion de l’achèvement de ce travail pour exprimer ma gratitude à Monsieur Mohammed El KADIRI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour ses
conseils, ses encouragements constants et ses qualités humaines auxquelles j’étais très
sensible.
Je tiens à exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur Ali Suleymen USTUNEL, Professeur à l’Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Paris, pour les conseils
efficaces et les encouragements constants qu’il m’a prodigués tout au long de ce travail
ainsi que pour la confiance qu’il m’a témoignée.
J’adresse mes vifs remerciements à Monsieur Abdelhak ZOGLAT, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat qui me fait l’honneur de présider le jury.
Mes remerciements s’adressent également à Monsieur Abdelali ZINE EL ABIDINE,
Professeur Habilité à la Faculté des Sciences de Rabat, qui a accepté de faire partie du
jury de cette thèse.
Monsieur Said SAJID, Professeur à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, m’a encouragé dans ma recherche. Son intérêt pour mon travail est une source de
force et de motivation pour moi. Notre collaboration est le fruit de nos discussions. Je le
remercie d’être un rapporteur de cette thèse.
Je suis redevable à Monsieur Radouan MORCHADI, Professeur Habilité à la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour son aide, ses conseils, son soutien
constant et nos discussions qui ont abouti à un début de collaboration.
J’exprime ma profonde reconnaissance à Monsieur Mustapha KABIL, Professeur à la
Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour le soutien et les encouragements
constants qu’il m’a prodigués. Je le remercie d’être un rapporteur de ma thèse.
Mes remerciements vont également à Madame Marta SANZ SOLE Professeur à l’université de Barcelone, pour son soutien et son amitié.
J’exprime mes remerciements à mes collègues du Département de Mathématiques de
la Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia. Plus particulièrement, les Professeurs, ALLALI, CHAIRA, HARFAOUI, MOUMIDA, NOUR EL ABIDINE et TAIK. Le
travail en leur compagnie est un réel plaisir.
Enfin, je tiens à remercier toutes mes amies et surtout Aicha pour tout son soutien.
2
Je dédie cette thèse à
mes très chers parents et à toute ma famille.
3
ANNÉE 2007
Titre de la thèse :
CONTRIBUTIONS À L’ANALYSE STOCHASTIQUE ET À LA VIABILITÉ.
Prénom, Nom : Saida AMINE
Résumé :
Cette thèse porte sur le calcul des variations stochastiques et la viabilité. Elle est composée de quatre chapitres. Dans les deux premiers chapitres, on utilise les techniques du
calcul de Malliavin pour démontrer les résultats obtenus.
Dans le premier chapitre, à l’aide d’une classe de distributions sur l’espace de Wiener
abstrait, on démontre deux types de formules : une version stochastique du théorème de
Stokes, puis une formule d’Ito pour un processus à deux paramètres et à trajectoires non
monotones.
Dans le second chapitre, on définit la loi d’une distribution et l’indépendance de deux
distributions. Ensuite, on énonce et démontre des versions de la loi des grands nombres
et le théorème de la limite centrale pour les distributions.
En ce qui concerne le troisième chapitre, on s’intéresse aux fonctions caractéristiques
des lois quantiques. Pour tout opérateur auto-adjoint positif et de trace unité, on définit
la fonction caractéristique à l’aide du système de Weyl. On montre que cette fonction
se prolonge aux opérateurs de Hilbert-Schmidt de l’espace Fock d’un espace de Wiener
complexe. A l’aide de la C¨* algèbre engendrée par le système de Weyl on démontre
l’analogue du théorème de Bochner.
Enfin, pour le quatrième chapitre on démontre un résultat sur la viabilité des solutions d’une équation différentielle multivoque avec contrainte sur l’état. En imposant une
nouvelle condition de tangence, on assure en l’absence de la convexité du second membre,
la convergence des solutions approchées.
Mots-clefs : Calcul de Malliavin, formule d’Ito, loi des grands nombres, théorème de
la limite central, viabilité.
4
Table des matières
1 Introduction.
6
2 Calcul stochastique non adapté à plusieurs paramètres.
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Notations et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formule de Stokes de type Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Formule d’Ito pour un processus anticipatif à deux paramètres à trajectoire
non monotone et formule de changement de variable stochastique . . . .
3 Loi des grands nombres et théorème de la limite centrale
tributions sur l’espace de Wiener.
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Notations et préléminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
. 17
. 18
. 20
. 21
pour les dis37
. . . . . . . . 38
. . . . . . . . 38
. . . . . . . . 39
4 Fonctions caractéristiques des opérateurs de Fock.
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Le triplet < F ockH > centré sur le Fock . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Opérateur de champ et système de Weyl-Segal . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Noyaux et symboles de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Analyse differentielle sur les espaces gaussiens complexes . . . . . .
4.3 Fonction caractéristique et distribution caractéristique en probabilité quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Représentation d’états quasi-libres du F ock à l’aide d’opérateurs de densité.
4.4.1 Application: retour à la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Solutions viables d’une inclusion différentielle du
contrainte.
5.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Préliminaires et énoncé du résultat principal . . . . .
5.3 Existence de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Approximation de solutions. . . . . . . . . . .
5.3.2 Convergence des solutions approchées. . . . .
5
44
45
45
45
46
47
48
51
52
54
second ordre avec
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58
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59
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63
Chapitre 1
Introduction.
6
Cette thèse porte sur l’analyse stochastique et les équations différentielles multivoques
avec contrainte sur l’état. Elle est composée de 3 parties:
Dans la première partie de ce travail, on démontre des résultats de certains problèmes de
probabilité en dimension infinie, en utilisant les techniques du calcul de Malliavin.
Pour fournir une preuve probabiliste du théorème d’Hormander, P. Malliavin [16] a
développé en 1976, le calcul des variations stochastiques, qui est depuis connu par le calcul
de Malliavin.
Dans sa forme générale, ce calcul est fortement complexe d’idées qui combinent profondément des résultats de la probabilité et celle de l’analyse fonctionnelle [30]. Depuis sa
conception, ce calcul a subi des extensions et des simplifications considérables. Il présente
aujourd’hui, un outil puissant pour prouver une variété de résultats.
Le premier résultat de cette partie concerne le calcul stochastique anticipatif. La propriété
essentielle de ce calcul est qu’il implique des intégrales stochastiques où les integrands ne
sont pas adaptés (c’est à dire anticipatifs). Il existe plusieurs approches de définitions de
ces intégrales [24, 22, 27]. Ici, nous nous concentrons sur l’intégrale de Ramer-Skorohod
introduite par Ramer et Skorohod [24, 27]. Nualart et Zakai ont défini l’intégrale de
Ramer-Shorohod sur un espace mesurable séparable (T,B,µ) où µ est une mesure sans
atome [20].
Plus récemment, Nualart et Pardoux [21] ont développé un calcul stochastique dans
le cas où T = [0,1] muni de la σ-algèbre borélienne et de la mesure de Lebesgue.
Jolis et Sanz [14] ont généralisé le calcul stochastique anticipatif au cas où T = [0,1]n .
Dans le premier résultat sur les processus stochastiques anticipatifs on établit une formule
de Stokes stochastique. En effet soit (Ω,H,µ) l’espace de Wiener classique sur lRd , sur
lequel on définit l’intégrale stochastique de Skorohod, les espaces des fonctions tests Φ,
Φ(H+∞ ) et leurs duaux espaces des distributions Φ0 ,Φ0 (H−∞ ) introduits par Korezlioglu
et Ustunel [15]. Soit D un domaine de lRd de bord régulier. Après avoir défini l’intégrale de
Skorohod sur le bord ∂D de D, on démontre la formule de Stokes stochastique suivante:
Théorème 1 (Formule de Stokes-Skorohod)
Soit ξ : Ω −→ Λ1 (D) un champ aléatoire p.s continu alors:
Z
Z
∗
(ξ(x),n(x))lRd δS W (x) − ∂D
ξ
(1.0.1)
divξ(x)δW (x) =
D
∂D
dans Φ0 , où
∂ = grad ◦ ∇ : Φ −→ Φ(H∞ ) ⊗ lRd ;
∂ ∗ : Φ0 (H−∞ ) ⊗ lRd −→ Φ0
et
Z
˙
< ∂D ϕ,ξ >= E( (grad∇ϕ(x),ξ(x))
lRd dx),
(1.0.2)
D
< , > représente la dualité entre Φ0 (H−∞ ) ⊗ lRd et Φ(H∞ ) ⊗ lRd , δ l’intégrale de Skorohod, δS l’intégrale de Skorohod sur le bord de D et Λ1 (D) est l’espace des 1- formes
différentielles sur D.
Ensuite on déduit une formule de Green stochastique.
Quant au deuxième résultat, on considère T = [0,1]2 et Xs,t un processus anticipatif à
deux paramètres et on démontre une formule d’Ito le long de t constante pour
7
F (Xν(s,t) ) où ν : [0,1]2 −→ [0,1]2 est une application non nécessairement monotone et F
une fonction réelle de classe C 2 . On obtient:
Théorème 2 Soit
Z
Z
Xs,t = X0 +
ξ˙α dα,
K̇α δWα +
Rs,t
Rs,t
Si K ∈ ID4,2 (H), ξ ∈ ID4,1 (H), X0 ∈ ID4,1 , et F ∈ Cb2 , alors la formule(2.4.15, chap.2) est
vraie et tous ses termes sont des éléments de L2 . IDp,q (H) désignant l’espace de Sobolev
de Meyer-Watanabe.
En utilisant l’inégalité de Holder on obtient:
Théorème 3 Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et s’il existe p > 4
tel que
Z
Z
p
˙ K̇α (s)|p dsdα < ∞,
E
|K̇α | dα + E
|∇
[0 ,1]2
[0 ,1]2 ×[0 ,1]2
alors la formule (2.4.15,chap.2) est vraie si F ∈ C 2 .
Si on suppose maintenant que F est de classe C 4 , on obtient par itération de la formule
du théorème précédent, une formule où les integrands ne dépendent plus du rectangle
Rs,t = [0,s] × [0,t] [3]:
Théorème 4 (Formule d’Ito)
Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et si F ∈ C 4 tel que
F 0 (X0,0 ) = F 00 (X0,0 ) = 0, alors on a
F (Xs,t ) − F (X0,0 ) = A + B + C, a.s
(1.0.3)
où
hZ
K̇(x,y)
Z
A=
Rx,t
Rs,t
hZ
K̇(x,y)
Z
+
1
+
2
B=
+
Rs,t
Z
(Xx,v )
Z
i
˙
∇K̇α (u,v)δWα dudv δW (x,y)
Rx,v
hZ
K̇(x,y)
Rs,t
2
K̇ (u,v)F
(3)
i
(Xx,v )dudv δW (x,y),
Rx,t
Z
K̇(x,y)
Rs,t
Z
K̇(u,v)F
(3)
Rx,t
Rs,t
Z
i
K̇(u,v,)F (Xx,v )δW (u,v) δW (x,y)
00
K̇(u,v)F
(3)
Z
(Xx,v )δW (u,v)
Rx,t
Z
K̇(x,y)
Rx,t
K̇(u,v)F
(4)
˙ K̇r (x,y)δWr dxdy
∇
Rx,t
Z
(Xx,v )
˙ K̇α (u,v)δWα dudv
∇
Rx,v
Z
˙ K̇r (x,y)δWr dxdy
∇
Rx,t
8
1
+
2
Z
Z
K̇(x,y)
Rs,t
2
K̇ (u,v)F
(4)
(Xx,v )dudv
Z
Rx,t
˙ K̇r (x,y)δWr dxdy,
∇
Rx,t
et
1
C=
2
1
+
2
Z
Z
hZ
K̇ (x,y)
2
Rs,t
K̇(u,v,)F
hZ
K̇ (x,y)
K̇(u,v)F
(4)
Z
(Xx,v )
Rx,t
1
+
4
Z
i
(Xx,v )δW (u,v) dxdy
Rx,t
2
Rs,t
(3)
i
˙ K̇r (u,v)δWr dudv dxdy
∇
Rx,v
hZ
K̇ (x,y)
2
Rs,t
i
K̇ 2 (u,v)F (4) (Xx,v )dudv dxdy.
Rx,t
Cette formule présente moins de termes que celles trouvées par Jolis-Sanz[14] et Thieullen [28] et permet de déduire une formule de changement de variable stochastique non
adaptée. Enfin, en considérant un espace de Wiener abstrait (W,H,µ) et l’espace des distributions de Meyer-Watanabe ID0 , et aprés avoir défini une notion d’indépendance et une
notion de loi pour les distributions, on démontre grâce au calcul de Malliavin la loi des
grands nombres et le théorème de la limite centrale pour ces distributions [1, 2].
Théorème 5 (Loi des grands nombres)
Soit (Tn ) une suite de distributions bornées, équidistribuées et fortement indépendantes
dans IDq,−k , alors
Pn
0
i=1 Ti ID
−→ E(T1 )
n
Théorème 6 (Théorème de la limite centrale)
Soit (Tn ) une suite de distributions équidistribuées centrées et fortement indépendantes
dans IDq,−k ,(q ≥ 2) alors:
n
1 X
Loi
√
(I + L)−k/2 Ti −→ N (0,σ)
n i
(1.0.4)
où σ = var((I + L)−k/2 T1 ) < ∞
Dans la deuxième partie de cette thèse on s’intéresse à certains problèmes relevant
de la mécanique quantique. En effet, la plupart des physiciens pensent que l’axiomatique
de Kolmogorov en probabilité est insuffisante pour décrire certains aspects du monde
réel, alors ils ont recours à l’axiomatique de Von-neumann. Comme la mécanique quantique est une théorie essentiellement probabiliste, on assiste depuis quelques années à un
développement de travaux sur le calcul stochastique non commutatif [17, 25, 13],... qui
présentent une version très attirante du calcul d’Ito pour des processus d’opérateurs et
répond à l’attente des physiciens.
Les probabilités classiques sont alors remplacées par les probabilités quantiques.
9
Le passage du language probabiliste classique au language probabiliste quantique se
fait comme suit :
Language probabiliste classique
language probabiliste quantique
Ω(espace de probabilité)
H (espace de Hilbert)
A (tribu)
A (sous espace fermé de H)
B(événement)
IB ( projecteur)=projB
A⊂B
IA .IB = IB .IA = IA
∅(événement impossible)
projecteur nul
Ω(événement certain)
IH (projecteur identité)
∩
∧(l’intersection de deux sous-espaces fermés)
∪
∨(sous-espace fermé engendré par la réunion)
c
A (événement non A)
IA⊥ = Id − IA
Cependant, l’ensemble des opérateurs semble une algèbre incohérente avec certaines
opérations probabilistes (classiques!), elle est alors remplacée par l’algèbre d’opérateurs
bornées stable pour l’opération de passage à l’adjoint ∗. Les C ∗ algèbres jouent le rôle des
algèbres des fonctions continues souvent utilisées dans la théorie de la mesure tandis que
les algèbres de Von-neumann jouent le rôle des tribus en probabilité quantique.
Une loi de probabilité quantique, appelée état par les physiciens, est alors définie comme
un opérateur positif de trace égale à 1 sur un espace de Hilbert H. Par analogie avec
la transformée de Fourier d’une mesure µ sur lR2 en probabilité classique, à toute loi
de probabilité quantique ρ sur lR2 , on associe la fonction caractéristique F définie par:
F (r,s) = T r(ρWr,s ) = E[ei(rP +sQ) ] où P et Q désignent le couple canonique sur lR2 , très
connu par les physiciens et Wr,s le système de Weyl associé.
En dimension infinie, le système de Weyl sur un espace de Hilbert complexe H sera
remplacé par les opérateurs de création a+ et d’annihilation a− sur F ock(H). A toute loi
de probabilité quantique B sur H, la fonction caractéristique s’écrit alors :
Bc (z) = F (z) = T r(Be−a
+ (z̄)a− (z)
)
où z̄ est le conjugué de z ∈ H.
En dimension finie, Pool [23] a démontré une sorte de théorème de Planchrel, suivant lequel
la bijection ρ → F s’étend à un isomorphisme entre les opérateurs de Hilbert-Schmidt de
L2 (lR) et L2 (lR2 ). Le premier résultat de cette partie consiste à étendre cet isomorphisme
aux opérateurs de Hilbert-Schmidt de F ock. Ensuite on démontre l’extension du théorème
de Bochner à la dimension infinie pour toute loi de probabilité quantique sur F ock(H).
Théorème 7 la transformation B → Bc restreinte à V ect(|eu >< ev |) se prolonge par
continuité en une isométrie bijective
N
B ∈ LHS (F ock(H)) → Bc ∈ L2γ ,(Ω).
Où N = I 0 ◦ S ◦ ν, ν est l’application noyau, I 0 l’isométrie de B. Lascar et S la
transformation de F ock(H̄ × H) définie par f (z̄,z 0 ) → f (z 0 , − z̄). Autrement dit N est la
composée de trois isométries bijectives:
ν
S
I0
LHS (F ock) → F ock(H̄XH) → F ock(H̄XH) → L2γ ,(Ω). De plus le noyau B̃ et le symbole
10
B(z̄,z 0 ) s’expriment en fonction de Bc
Z
0
0
z̄z0
e−z̄.w̄+z .w Bc (w̄,w)dγ 0 (w̄,w)
B̃(z̄,z ) = e
0
Z
0
e−z̄.w̄+z .w Bc (w̄,w)dγ 0 (w̄,w).
B(z̄,z ) =
(1.0.5)
(1.0.6)
On dit que Bc est la distribution caractéristique de B.
On appelle état quasi-libre associé à un opérateur positif auto-adjoint A > IdH la
forme linéaire définie sur H par:
ϕ(z,z̄) = ωA (e−a
+ (z̄)a− (z)
) = exp((A − Id)z̄.z/2)
Le deuxième résultat de cette partie donne une condition suffisante pour qu’un état quasilibre sur la C.C.R algèbre engendrée par le système de Weyl soit représenté par une loi
quantique de F ock(H).
Théorème 8 Soit w = wA un état quasi-libre sur la C ∗ -algèbre W engendrée par le
système de Weyl. Alors, wA est representable par un opérateur de densité B de F ock si
A − Id est un opérateur à trace de H. Dans ce cas, le symbole de Wick de B est
B(z̄,z 0 ) = [det
A + 1 −1
] exp(−2z̄(A + 1)−1 z 0 ).
2
La troisième partie s’intéresse à la viabilité des solutions d’une équation différentielle
(déterministe) multivoque avec contrainte sur l’état.
En effet, le concept de la viabilité a été introduit par Nagumo [19]. Il s’agit d’établir une
condition suffisante pour qu’une équation différentielle admette une trajectoire viable.
Cette condition est que la fonction doit demeurer dans le cône contingent à l’espace des
états. Ce résultat a été étendu au cas multivoque par Haddad [9] pour des multifonctions à valeurs convexes compactes. Ici, on s’intéresse à l’existence de solutions viables en
l’absence de la convexité du second membre pour une équation différentielle du second
ordre
ẍ(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + F (x(t),ẋ(t))
(x(0),ẋ(0)) = (x0 ,v0 )
(1.0.7)
x(t) ∈ K.
sous la condition tangentielle suivante
Pour tout (t,x,y) ∈ I × K × U , il existe w ∈ F (x,y) tel que
Z t+h
1
h2
lim inf
dK (x + hy + w +
f (τ,x,y)dτ ) = 0,
h→0+ h2
2
t
où F est une multi-fonction définie de K × U semi-continue supérieurement, cycliquement
monotone à valeurs compactes dans lRn , U un ouvert de lRn , K fermé de lRn et f une
fonction de Carathéodory.
D’où le théorème [4]
Théorème 9 Il existe T > 0 et x(.) : [0,T ] → lRn absolument continue ainsi que sa
dérivée ẋ(.) solutions de (1.0.7)
11
Ce résultat pourra sans doute s’étendre ( question ouverte!) au cas de la dimension infinie
c’est à dire K et U des parties d’un espace de Hilbert et voir par conséquent sa version
stochastique.... Certains auteurs se sont intéressés à la viabilité au cas stochastique [6, 7]...
Cette thèse est divisée en 5 chapitres.
Le premier chapitre est une introduction générale et une présentation des résultats.
Dans le chapitre 2, on établit deux résultats.
Le premier démontre une formule de Stokes stochastique de type Skorohod (théorème2.3.1,
chap2) puis permet de déduire une formule de Green stochastique.
Quant au deuxième résultat, il porte sur les processus stochastiques anticipatifs à plusieurs paramètres et à trajectoire non monotone. En effet, on montre une formule d’Ito
(théorème 2.4.1, théorème 2.4.2, théorème 2.4.3, chap2) puis une formule de changement
de variable stochastique (proposition2.4.2). Enfin, on applique la formule trouvée à l’exponentielle du brownien pour retrouver le résultat de Cairoli et Walsh [8].
Au chapitre 3, on démontre la loi des grands nombres (théorème 3.3.1, chap3) puis
le théorème de la limite centrale (théorème 3.3.3, chap3) pour les distributions de Meyer
Watanabe.
Au chapitre 4, on étudie les fonctions caractéristiques d’une loi quantique en dimension infinie et les états quasi-libres sur la C.C.R algèbre engendrée par le système de
Weyl. On montre que la fonction caractéristique d’une loi quantique admet une extension
aux opérateurs de Hilbert Schmidt de F ock (théorème 4.3.1, chap4) puis on démontre
l’analogue du théorème de Bochner pour des lois de probabilités quantiques en dimension
infinie (théorème 4.4.1, chap4). Enfin, on retrouve par notre méthode les résultats de la
dimension finie.
Dans le chapitre 5, on montre l’existence de solutions viables pour une classe d’inclusions
différentielles du second ordre non convexe du type (1.0.7)( théorème 5.2.1, chap5).
12
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15
Chapitre 2
Calcul stochastique non adapté à
plusieurs paramètres.
16
Résumé
A l’aide d’une nouvelle classe de distributions sur l’espace de Wiener et le calcul
stochastique non adapté, nous définissons une intégrale de Skorohod sur le bord ∂D d’un
domaine très régulier de lRd , puis nous établissons une formule de Stokes-Skorohod pour
un champ stochastique régulier. Enfin, nous déduisons une formule de Green stochastique
de type Skorohod.
D’autre part à l’aide de la même classe de distributions, nous démontrons une formule
d’Ito pour un processus stochastique anticipatif à deux paramètres à trajectoires non
monotones et une fonction de classe C 4 . On en déduit ensuite une formule de changement
de variable stochastique.
2.1
Introduction
Dans l’étude d’un processus à deux paramètres il n’y a pas pas de notion d’adaptation
par rapport à la filtration du brownien. En effet on peut choisir plusieurs filtrations pour
représenter l’évolution du processus et pour chaque filtration la notion d’adaptation correspondante [3, 21]. Comme la définition de l’intégrale de Skorohod est indépendante des
paramètres [24, 27] il est donc plus convenable de considérer des processus non adaptés
lorsqu ’on travaille avec des processus à plusieurs paramètres.
Dans le cas adapté, Cairoli-Walsh et Wong-Zakai [3, 21]) ont developpé un calcul stochastique pour un processus à deux paramètres et ils ont défini une intégrale stochastique
surfacique. Ensuite ils ont établi une sorte de formule de Green stochastique ([11] aussi).
Le premier paragraphe de ce chapitre consiste à définir une intégrale stochastique surfacique pour un processus non adapté et établir une formule de Stokes puis une formule de
Green stochastique. Cette intégrale sera définie au sens des distributions.
En géométrie différentielle aléatoire les intégrales stochastiques non monotones jouent
un rôle très important [1], dans le second paragraphe de ce chapitre on démontrera une
formule d’Ito pour un processus stochastique non adapté à trajectoires non monotones.
On en déduira ensuite une formule de changement de variable stochastique.
Jolis et Sanz[6] ont établi une formule d’ Ito de type Skorohod pour un processus à
deux paramètres en utilisant la formule de Taylor et une subdivision de [0,1]2 . Hajek[5]
a démontré une formule de type Stratonovich pour un processus à deux paramètres en
utilisant la formule de Taylor et une subdivision of [0 ,1]2 . Thieullen [18] a utilisé une
régularisation du drap brownien par convolution pour établir une formule d’Ito de type
Stratonovitch et enfin de type Skorohod. Dans ce travail nous allons établir une formule
d’Ito de type Skorohod plus générale. En effet les processus sont non adaptés et à trajectoires non monotones. Notre méthode est inspirée de celle utilisée par [19] pour un
processus anticipatif à un paramètre et basée sur la formule fondamentale suivante du
calcul différentiel:
Z s
d
< F (Xν(u,t) ),ϕ > du,
< F (Xν(s,t) ),ϕ >=< F (Xν(0,t) ),ϕ > +
0 du
17
où ϕ est une fonction test, Xs,t un processus anticipatif indexé par [0,1]2 , ν est une
fonction définie sur [0,1]2 de classe C 1 , F une fonction définie sur lR de classe C 4 , et
< , > représente le crochet de dualité. Par conséquent on doit calculer la densité de
Lebesgue de l’application suivante:
s ∈ [0,1] 7−→< F (Xν(s,t) ),ϕ > ,
pour tout t fixé dans [0,1]. Cependant la formule fondamentale du calcul différentiel n’est
pas suffisante pour calculer cette densité. On doit en fait considérer des fonctions test assez régulières. Ceci nous amène à utiliser une nouvelle classe de fonctions test construite
à l’aide d’une nouvelle norme de Sobolev sur l’espace de Wiener classique. La propriété
fondamentale de cette classe de fonctions test est que leurs dérivées sont de classe C ∞
presque sûrement par rapport à leurs variables [8]. De plus cette nouvelle classe est contenue dans la classe des fonctions test de Meyer.
2.2
Notations et préliminaires
Soit Ω l’espace de Wiener classique C([0,1],lRd ) de dual Ω∗ . H est son espace de
Cameroun-Martin , c’est à dire, l’ensemble des fonctions absolument continues sur [0,1] à
valeurs dans lRd et de densités de carrés integrable par rapport à la mesure de Lebesgue
sur [0,1]; µ est la mesure de Wiener classique sur Ω. Soit X un espace de Hilbert séparable,
les fonctions régulières sur (Ω,H,µ) à valeurs dans X sont de la forme:
F (w) = p(< h1 ,w > ,..., < hn ,w >)x, où p ∈ Cb∞ (lRn ), hi ∈ Ω∗ et x ∈ X. Pour une
fonction régulière F (w) sur Ω à valeurs dans X on définit la dérivée
∇F (w) =
n
X
∂i p(< h1 ,w > ,..., < hn ,w >)hi ⊗ x.
(2.2.1)
i=1
Ce qui induit une application de Ω ⊗ X dans Ω ⊗ H ⊗ X et par recurrence on définit ∇k ,
k ∈ IN. L’espace de Sobolev IDp,k (X) pour p > 1, k ∈ IN est le complété des fonctions
régulières à valeurs dans X pour la norme
k F kp,k =
k
X
k ∇i F kLp (µ,X⊗H ⊗i ) .
(2.2.2)
i=1
La dérivée ∇ : IDp,k (X) −→ IDp,k−1 (H ⊗ X) est la fermeture de ∇ sous la norme (2.2.2).
ID(X) est la limite projective des espaces IDp,k (X), p ∈ (1,∞),k ∈ ZZ et son dual sera noté
ID0 (X).
Si X = lR, on note tout simplement IDp,k , ID, ID0 à la place de IDp,k (X), ID(X), ID0 (X).
On sait que l’ adjoint de ∇ coincide avec l’intégrale de Skorohod sur ID2,1 (H), que l’on
note par δ et on a la formule d’intégration par parties suivante [4]:
E(F δu) = E(< ∇F,u >H ),
(2.2.3)
pour tout F ∈ ID2,1 , où < , >H représente le produit scalaire dans H.
Soit D un domaine dans lRd , dont le bord ∂D est très régulier on note par n(x) la normale
18
unitaire à ∂D en tout point x. Soit ξ(x,ω) un champ de vecteur défini sur Ω × D, et p.s
continu par rapport à x. Nous cherchons à donner un sens à
Z
d
d
δS (ξ,n) = δ∂D (ξ,n) =
(ξ(x),n(x))lRd δS W (x),
(2.2.4)
∂D
où (,)lRd est le produit scalaire dans lRd . Pour cela il est convenable d’étendre la formule
d’intégration par parties au bord ∂D de D, c’est à dire définir l’ expression (2.2.4) comme
une application linéaire satisfaisant:
˙ ,(ξ,n) d >L2 (∂D) ).
E(F δ∂D (ξ,n)) = E(< ∇F
lR
Or cette expression n’a de sens que si la restriction de ∇F à ∂D est bien définie c’est à
dire il faut que ∇F (x) soit continue p.s par rapport à x. Cette dernière condition n’est pas
satisfaite par les fonctions test de Meyer, c’est pour cela qu’on va considérer des fonctions
test plus régulières [8].
En effet, soit A un opérateur auto adjoint elliptique positif de domaine dense dans H
et dont l’inverse est borné. On suppose de plus qu’il existe α0 , tel que k A−α0 k< 1. On
note H∞ = ∩n domAn , α →< Aα h,h >H est croissante et Hα est le complété de H∞ pour
la norme
< Aα h,h >H = |h|2α , α ≥ 0.
Le dual de Hα est H−α , on obtient ainsi une famille filtrante d’espaces de Hilbert (Hα ,α ∈
lR) où Hα s’injecte continûment dans Hβ pour tout α > β. On munit H∞ de la topologie
limite projective. Soit h ∈ H∞ , pour tout α ∈ lR on définit l’opérateur Γ(Aα ) par
1
1
Γ(Aα )[exp(δh − |h|2 )] = exp(δAα h − |Aα h|2α ),
2
2
où |h|2 =< h,h >H . Pour p > 1, k ∈ ZZ, α ∈ lR on note par IDαp,k (X) le complété des
polynômes définis sur Ω à valeurs dans X sous la norme suivante:
k
α
α =k (I + L) 2 Γ(A 2 )φ kLp (X) ,
k φ kIDp,k
(2.2.5)
où φ = p(δh1 , . . . ,δhn )x; hi ∈ H∞ , i = 1,...,n, p est un polynôme sur lRn et L est l’opérateur
d’ Ornstein-Uhlenbeck. On note:
i) IDα (X) l’intersection de tous les espaces IDαp,k (X), p > 1, k ∈ ZZ muni de la topologie
limite projective.
ii) Φ(X) est la limite projective des espaces {IDα (X),α ∈ lR}.
Si X = lR, Φ est la nouvelle classe des fonctions test dont le dual est noté Φ0 . Korezlioglu
et Ustunel [8] ont montré que ID0 ,→ Φ0 est une injection continue et que pour toute
fonction φ ∈ Φ, ∇k φ ∈ IDα (Hα⊗k ) pour tout α ∈ lR et ∇k φ(x1 , . . . ,xk ) est une fonction
C ∞ par rapport à ses variables dans lRd . Cette propriété de la continuité de la dérivée nous
permettra de définir l’intégrale surfacique de Skorohod et de démontrer une formule d’Ito.
Avant de terminer ces préléminaires rappelons le théorème du degré dont on aura besoin
pour établir la formule d’Ito ([16] chapter III). Soit ν une fonction propre et régulière de
lRn dans lRn et f (x) une fonction régulière définie sur lRn à valeurs dans lR, alors on a:
Z
Z
◦
Jν (x)f (ν(x))dx = d (ν)
f (x)dx,
(2.2.6)
lRn
lRn
19
où
X
d◦ (ν) = d◦ ν(y) =
signJν (x),
(2.2.7)
x:ν(x)=y
et Jν (x) est le jacobien de ν en x.
2.3
Formule de Stokes de type Skorohod
Soit D un domaine de lRd , de bord trés régulier, H = L2 (lRd ) et A un opérateur
satisfaisant les conditions de [8]. Grâce à la régularité de la nouvelle classe des fonctions
test on a la définition suivante:
Définition 2.3.1 Soit u = {u(t,ω),t ∈ lRd , ω ∈ Ω} un processus p.s continu, la distribution de Skorohod de u (ou intégrale surfacique de Skorohod) sur ∂D est l’unique élément
de Φ0 noté δS (u,n) tel que
Z
˙
ϕ ∈ Φ −→< ϕ,δS (u,n) >Φ×Φ0 = E[
∇ϕ(x)(u(x),n(x))
(2.3.8)
lRd dx].
∂D
Théorème 2.3.1 ( Formule de Stokes-Skorohod)
Soit ξ : Ω −→ Λ1 (D) un champ aléatoire p.s continu alors:
Z
Z
∗
divξ(x)δW (x) =
(ξ(x),n(x))lRd δS W (x) − ∂D
ξ
D
dans
Φ0 ,
(2.3.9)
∂D
où ∂ = grad ◦ ∇ : Φ −→ Φ(H∞ ) ⊗ lRd ; ∂ ∗ : Φ0 (H−∞ ) ⊗ lRd −→ Φ0 et
Z
˙
< ∂D ϕ, ξ >= E( (grad∇ϕ(x),ξ(x))
lRd dx),
(2.3.10)
D
< , > représente la dualité entre Φ0 (H−∞ ) ⊗ lRd et Φ(H∞ ) ⊗ lRd et Λ1 (D) est l’espace des
1- formes différentielles sur D.
Preuve 2.3.1 Soit x ∈ D, on suppose que ξ(x,ω) et divξ(x,ω) ∈ Φ(H∞ ) pour tout x. On
note
Z
δD ξ = ξ(ω,x)δW (x) = δ(1D ξ)
D
Comme δ est continue de Φ(H∞ ) dans Φ on a pour tout ϕ ∈ Φ
Z
Z
Z
˙
< ϕ, divξ(x)δW (x) >Φ×Φ0 = E[ϕ divξ(x)δW (x)] = E[ ∇ϕ(x)divξ(x)dx]
D
D
D
Z
Z
˙
˙
= E[ div(∇ϕ(x)ξ(x))dx − (grad∇ϕ(x),
ξ(x))dx]
D
D
Z
=E
∗
˙
∇ϕ(x)(ξ(x),n(x))
d dx− < ∂D ξ,ϕ >Φ×Φ0
l
R
∂D
20
∗
=< ϕ,δS (ξ,n) >Φ×Φ0 − < ∂D
ξ,ϕ >Φ×Φ0 ,
donc
Z
∗
divξ(x)δW (x) = δS (ξ,n) − ∂D
ξ
Φ0 .
dans
(2.3.11)
D
Corollaire 2.3.1 (Formule de Green) Si ξ est un champ aléatoire sur D de la forme
ξ = gradη alors
∗
δD (4η) + ∂D
(gradη) = δS (gradη,n)
dans
Φ0 .
(2.3.12)
Preuve 2.3.2 Résulte du th 2.3.1.
2.4
Formule d’Ito pour un processus anticipatif à deux
paramètres à trajectoire non monotone et formule de changement de variable stochastique
Dans ce paragraphe Ω désigne l’espace de Wiener classique C([0 ,1]2 , lR), H son espace
de Cameron-Martin c’est à dire l’espace des fonctions absolument continues sur [0 ,1]2 à
valeurs dans lR dont les densités sont de carrés intégrables par rapport à la mesure de
Lebesgue sur [0 ,1]2 . Soit Xz un processus anticipatif sur Ω indexé par [0 ,1]2 , et défini par:
Z
δ(1Rz .K̇) = Xz =
K̇α δWα ,
Rz
où K est une v.a à valeurs dans H dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue
sur [0 , 1]2 est notée K̇α et Rz = [0,z] est un rectangle. On suppose que K ∈ Φ(H). Soit
ν : [0 , 1]2 −→ [0 ,1]2 une fonction C 1 non nécessairement monotone on note
ν(s,t) = (ν1 (s,t), ν2 (s,t)).
Lemme 2.4.1 Soit F une fonction de classe Cb2 F : lR −→ lR, alors pour tout ϕ ∈ Φ
l’application suivante s 7−→< F (Xν(s,t) ),ϕ > est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue sur [0 , 1], pour tout t fixé dans [0 , 1].
Pour toute fonction f définie sur lR2 on a:
Z
Z
f (x,y)dxdy −
Rν(si+1 ,1)
= 1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
+1
{ν10 (si ,1)≥0}
⊗1
{ν20 (si ,1)<0}
hZ
ν1 (si+1 ,1)
Z
ν1 (si ,1)
hZ
ν2 (si+1 ,1)
Z
f (x,y)dxdy+
o
o
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
f (x,y)dxdy
(2.4.13)
Rν(si ,1)
Z
f (x,y)dxdy+
0
0
21
ν1 (si ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
f (x,y)dxdy
ν2 (si ,1)
ν1 (si ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
f (x,y)dxdy
ν2 (si ,1)
i
i
+1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
+1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)<0}
hZ
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
0
hZ
Z
f (x,y)dxdy+
ν2 (si ,1)
f (x,y)dxdy
ν1 (si ,1)
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
0
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si ,1)
Z
f (x,y)dxdy+
ν2 (si ,1)
i
0
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si ,1)
ν1 (si ,1)
i
f (x,y)dxdy ,
0
où 0 = s1 < s2 < ... < sm = 1 est une partition de [0,1] et supi (si+1 − si ) tend vers
zero.
Remarque 2.4.1 i) La dernière décomposition s’écrit aussi
Z
ν1 (si+1 ,1)
ν2 (si+1 ,1)
Z
Z
ν1 (si ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
f (x,y)dxdy +
ν1 (si ,1)
f (x,y)dxdy.
o
o
ν2 (si ,1)
ii) Comme la dérivée de Sobolev et l’opérateur de divergence commutent on a:
Z
0
˙
∇[F (Xz )](α) = F (Xz ) K̇α 1Rz (α) +
˙ K̇r (α)δWr .
∇
Rz
Preuve
2.4.1 Si ϕ ∈ Φ par
formule
D de Taylor on a
E
D
E laP
m−1
F (Xν(1,1) ) − F (Xν(0,1) ),ϕ = i=1 F (Xν(si+1 ,1) ) − F (Xν(si ,1) ),ϕ
E
D
E
Pm−1 D 00
P
1
2
0
F
(X
)(X
−
X
),ϕ
+
= m−1
F
(
X̄
)(X
−
X
)
,ϕ
,
i
ν(si+1 ,1)
ν(si ,1)
ν(si ,1)
ν(si+1 ,1)
ν(si ,1)
i=1
i=1
2
où X̄i appartient au segment d’extrémités Xν(si+1 ,1) et Xν(si ,1) et < , > est le crochet de la
dualité entre Φ0 et Φ.
Étape I: Calcul de
m−1
XD
F 0 (Xν(si ,1) )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) ),ϕ
E
i=1
Grâce à la formule d’intégration par parties (2.2.3) et la remarque précédente on a:
D
E
F 0 (Xν(si ,1) )Xν(si+1 ,1) ,ϕ = E ϕF 0 (Xν(si ,1) )Xν(si+1 ,1)
"Z
Z
2
0
˙
=E
K̇α ∇ϕ(α)F (Xν(s ,1) )dα +
K̇α ϕF 00 (Xν(s ,1) )1[o , ν(s ,1)] (α)dα
i
i
Rν(si+1 ,1)
i
Rν(si+1 ,1)
Z
00
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )
Z
+
Rν(si+1 ,1)
#
˙ K̇r (α)δWr dα
∇
Rν(si ,1)
Alors
m−1
XD
E m−1
i
X h
F 0 (Xν(si ,1) )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) ),ϕ =
E ϕF 0 (Xν(si ,1) )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) )
i=1
i=1
=
m−1
X
i=1
E
hZ
0
˙
K̇α ∇ϕ(α)F
(Xν(si ,1) )dα −
Rν(si+1 ,1)
Z
Rν(si ,1)
22
0
˙
K̇α ∇ϕ(α)F
(Xν(si ,1) )dα
Z
2
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )1[o , ν(s ,1) ] (α)dα −
+
i
Rν(si+1 ,1)
Z
Z
00
Z
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )
Rν(si+1 ,1)
Rν(si ,1)
i
Z
˙ K̇r (α)δWr dα−
∇
Z
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )
00
+
2
K̇α ϕF 00 (Xν(si ,1) )1[o , ν(s ,1) ] (α)dα
Rν(si ,1)
i
˙
∇K̇r(α)δWr dα .
00
Rν(si ,1)
Rν(si ,1)
En utilisant la remarque(2.4.1, i) on obtient
m−1
X
E
hZ
0
˙
K̇α ∇ϕ(α)F
(Xν(si ,1) )dα −
Z
Rν(si+1 ,1)
i=1
m−1
X
=
ν1 (si+1 ,1)
Z
ν2 (si+1 ,1)
[E
ν1 (si ,1)
ν1 (si ,1)
Z
Z
o
si+1
=E
ν2 (si+1 ,1)
si
Z
o
si+1
+E
ν1 (si ,1)
Z
dy{
si
0
˙
K̇(x,y)∇ϕ(x,y)F
(Xν(si ,1) )dxdy]
ν2 (si ,1)
ν2 (si+1 ,1)
Z
dx{
0
˙
K̇(x,y)∇ϕ(x,y)F
(Xν(si ,1) )dxdy
o
+E
Z
i
Rν(si ,1)
Z
i=1
0
˙
K̇α ∇ϕ(α)F
(Xν(si ,1) )dα
0
∂
0
˙
K̇(ν1 (x,1),y)∇ϕ(ν
ν1 (x,1)dy}
1 (x,1),y)F (Xν(si ,1) )
∂x
∂
0
˙
K̇(x,ν2 (y,1))∇ϕ(x,ν
ν2 (y,1)dx}.
2 (y,1))F (Xν(si ,1) )
∂y
Grâce au théorème de la convergence dominée quand supi (si+1 − si ) tend vers zero cette
expression a pour limite
Z 1 (Z ν2 (s,1)
∂
0
˙
K̇(ν1 (s,1),y)∇ϕ(ν
E
ν1 (s,1)dy
1 (s,1),y)F (Xν(s,1) )
∂s
0
0
Z
ν1 (s,1)
+
0
)
∂
0
˙
K̇(x,ν2 (s,1))∇ϕ(x,ν
ν2 (s,1)dx ds
2 (s,1),)F (Xν(s,1) )
∂s
que l’on notera par (I.1).
De même la limite de l’expression
m−1
X
i=1
E
Z
Rν(si+1 ,1)
Z
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )1[o,ν(si ,1) ] (α)dα−
2
00
2
K̇α ϕF 00 (Xν(si ,1) )1[0,ν(si ,1) ] (α)dα ,
Rν(si ,1)
23
quand supi (si+1 − si ) tend vers zero est
E
1
hZ
0
1{ν10 (s,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (s,1)<0}
ν2 (s,1)
Z
+
ν1 (s,1)
nZ
K̇ 2 (x,ν2 (s,1))ϕF 00 (Xν(s,1) )
0
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) )
0
1
Z
1{ν10 (s,1)<0} ⊗ 1{ν20 (s,1)<0}
+
0
ν1 (s,1)
Z
+
ν2 (s,1)
nZ
0
0
1
Z
+
0
1{ν10 (s,1)<0} ⊗ 1{ν20 (s,1)≥0}
ν1 (s,1)
Z
ν2 (s,1)
nZ
0
∂
ν1 (s,1)dy
∂s
o
∂
ν2 (s,1)dx ds
∂s
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) )
0
∂
ν1 (s,1)dy
∂s
o i
∂
K̇ (x,ν2 (s,1))ϕF (Xν(s,1) ) ν2 (s,1)dx ds ,
∂s
00
2
+
o
∂
ν1 (s,1)dy ds
∂s
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) )
K̇ 2 (x,ν2 (s,1))ϕF 00 (Xν(s,1) )
∂
ν2 (s,1)dx
∂s
que l’on notera (I.2).
De même la limite de
m−1
X
E
hZ
Z
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )
Rν(si+1 ,1)
i=1
Z
−
˙
∇K̇r (α)δWr dα
00
Rν(si ,1)
Z
K̇α ϕF (Xν(si ,1) )
i
˙
∇K̇r(α)δWr dα
00
Rν(si ,1)
Rν(si ,1)
est
E
1
hZ
0
Z
+
0
nZ
ν2 (s,1)
Z
K̇(ν1 (s,1),y)ϕF (Xν(s,1) )
˙ K̇r(ν1 (s,1),y)δWr ∂ ν1 (s,1)dy
∇
∂s
Rν(s,1)
00
0
ν1 (s,1)
Z
K̇(x,ν2 (s,1))ϕF (Xν(s,1) )
00
o i
˙ K̇r(x,ν2 (s,1))δWr ∂ ν2 (s,1)dx ds
∇
∂s
Rν(s,1)
24
que l’on notera
(I.3).
E
Pm−1 D 0
D’où i=1 F (Xν(si ,1) )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) ),ϕ
tend vers (I.1) + (I.2) + (I.3) quand
supi (si+1 − si ) tend vers zero.
m−1
1X
< F 00 (X̄i )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) )2 ,ϕ >
Étape II: Calcul de
2 i=1
On a
Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) =
1
{ν10 (si ,1)≥0}
ν1 (si+1 ,1)
hZ
⊗1
{ν20 (si ,1)≥0}
+1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
+1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)<0}
ν1 (si ,1)
Z
ν2 (si+1 ,1)
Z
K̇(α)δWα +
ν1 (si ,1)
+1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗1{ν20 (si ,1)<0}
ν2 (si+1 ,1)
Z
ν1 (si+1 ,1)
hZ
o
ν2 (si+1 ,1)
Z
Z
ν2 (si ,1)
ν1 (si ,1)
ν2 (si+1 ,1)
Z
K̇(α)δWα +
ν1 (si ,1)
0
ν1 (si+1 ,1)
hZ
0
ν2 (si+1 ,1)
Z
Z
ν2 (si ,1)
ν1 (si+1 ,1)
Z
ν1 (si ,1)
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
Z
ν2 (si ,1)
i
K̇(α)δWα
i
ν2 (si ,1)
0
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si ,1)
i
K̇(α)δWα p.s.
K̇(α)δWα +
0
K̇(α)δWα
ν2 (si ,1)
K̇(α)δWα +
0
hZ
K̇(α)δWα
o
ν1 (si ,1)
0
Grâce à la formule d’intégration par parties on a pour tout ϕ ∈ Φ,
1
2
m−1
XD
Z
00
F (X̄i )1
{ν10 (si ,1)≥0}
i=1
m−1
1X =
E
2 i=1
Z
ν1 (si+1 ,1)
"
˙ F 00 (X̄i )ϕ
∇
Z
m−1
00
Z
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
Z
0
ν1 (si ,1)
#
K̇(α)δWα (s)ds
0
1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (si ,1)≥0} K̇(α)δWα ∇F 00 (X̄i )
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
+F (X̄i )∇ ϕ
,ϕ
o
1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (si ,1)≥0} K̇s
0
ν1 (si ,1)
1X D
=
ϕ
2 i=1
K̇(α)δWα
ν1 (si ,1)
E
ν2 (si+1 ,1)
Z
ν1 (si ,1)
!2
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
⊗1
{ν20 (si ,1)≥0}
! Z
K̇(α)δWα ,
0
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
25
i
0
E
K̇(s)ds .
Or Xz est un processus p.s continu lorsque K ∈ Φ(H) et par application de la remarque
(2.4.1,ii)à la dérivée de Sobolev qui est p.s continue on voit que le seul terme n’ayant pas
de limite nulle est [6]
"Z
#
m−1
ν1 (si+1 ,1) Z ν2 (si+1 ,1)
1X
2
E
1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (si ,1)≥0} F 00 (X̄i )ϕK̇s ds ;
2 i=1
ν1 (si ,1)
0
et cette limite est
1
E
2
Z
0
1
Z
1{ν10 (s,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (s,1)≥0}
Les mêmes calculs nous donne
Z
D
00
F (X̄i )1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
ν2 (s,1)
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) )
0
! Z
ν1 (si+1 ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
∂
ν1 (s,1)dsdy.
∂s
K̇(α)δWα
ν1 (si ,1)
!
ν1 (si ,1)Z ν2 (si+1 ,1)
K̇(α)δWα
o
0
E
,ϕ = 0
ν2 (si ,1)
pour tout i = 1...m.
De plus tous les crochets des produits mixtes de (Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) )2 sont nuls.
Alors la limite de
m−1
E
1 X D 00
2
F (X̄i )(Xν(si+1 ,1) − Xν(si ,1) ) ,ϕ
2 i=1
est égale à la limite de
Z ν1 (si ,1) Z ν2 (si+1 ,1)
m−1
h Z ν1 (si+1 ,1) Z ν2 (si+1 ,1) 2
i
1X
2
00
E1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
K̇s ϕF (X̄i )ds+
K̇s ϕF 00 (X̄i )ds
2 i=1
ν1 (si ,1)
o
0
ν2 (si ,1)
+E1{ν10 (si ,1)≥0} ⊗1{ν20 (si ,1)<0}
+E1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)≥0}
+E1{ν10 (si ,1)<0} ⊗1{ν20 (si ,1)<0}
hZ
ν1 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
hZ
ν1 (si+1 ,1)
0
hZ
Z
ν2 (si+1 ,1)
Z
K̇s ϕF (X̄i )ds+
2
00
0
Z
ν1 (si ,1)
Z
ν2 (si+1 ,1)
Z
K̇s ϕF (X̄i )ds+
2
00
ν2 (si ,1)
ν1 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
Z
K̇s2 ϕF 00 (X̄i )ds+
0
Z
1
(Z
0
Z
0
ν1 (s,1)
ν2 (s,1)
ν1 (si+1 ,1)
0
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) )
0
∂
ν1 (s,1)dy
∂s
)
∂
K̇ 2 (x,ν2 (s,1))ϕF 00 (Xν(s,1) ) ν2 (s,1)dx ds.
∂s
26
ν2 (si+1 ,1)
i
K̇s ϕF (X̄i )ds
2
00
ν2 (si ,1)
qui vaut
1
E
2
Z
0
ν2 (si ,1)
ν1 (si+1 ,1)
ν1 (si ,1)
Z
ν2 (si ,1)
i
2
K̇s ϕF 00 (X̄i )ds
0
Z
ν2 (si+1 ,1)
ν2 (si ,1)
i
2
K̇s ϕF 00 (X̄i )ds ,
Cette limite sera notée (II.1).
D’où pour tout ϕ ∈ Φ on a
< F (Xν(1,1) ) − F (Xν(0,1) ),ϕ >
=E
1
hZ
nZ
0
Z
ν2 (s,1)
0
ν1 (s,1)
+
∂
0
˙
ν1 (s,1)dy
K̇(ν1 (s,1),y)∇ϕ(ν
1 (s,1),y)F (Xν(s,1) )
∂s
0
˙
K̇(x,ν2 (s,1))∇ϕ(x,ν
2 (s,1))F (Xν(s,1) )
0
1
Z
+
0
1{ν10 (s,1)≥0} ⊗ 1{ν20 (s,1)<0} + 1{ν10 (s,1)<0} ⊗ 1{ν20 (s,1)≥0} + 1{ν10 (s,1)<0} ⊗ 1{ν20 (s,1)<0}
ν1 (s,1)
nZ
Z ν2 (s,1)
o
∂
∂
2
00
K̇ (x,ν2 (s,1))ϕF (Xν(s,1) ) ν2 (s,1)dx+
K̇ (ν1 (s,1),y)ϕF (Xν(s,1) ) ν1 (s,1)dy ds
∂s
∂s
0
00
2
0
1
Z
0
Z
ν2 (s,1)
nZ
+
Z
K̇(ν1 (s,1),y)ϕF (Xν(s,1) )
ν1 (s,1)
00
!
Z
˙ K̇r(x,ν2 (s,1))δWr
∇
K̇(x,ν2 (s,1))ϕF (Xν(s,1) )
0
Rν(s,1)
Z 1(Z
0
˙ K̇r(ν1 (s,1),y)δWr ∂ ν1 (s,1)dy
∇
∂s
Rν(s,1)
00
0
+
1
+
2
o
∂
ν2 (s,1)dx ds
∂s
o
∂
ν2 (s,1)dx ds
∂s
)
Z ν1 (s,1)
∂
∂
K̇ 2 (ν1 (s,1),y)ϕF 00 (Xν(s,1) ) ν1 (s,1)dy+
K̇ 2 (x,ν2 (s,1))ϕF 00 (Xν(s,1) ) ν2 (s,1)dx ds.
∂s
∂s
0
ν2 (s,1)
0
Il résulte que la densité de Lebesgue de s 7−→< F (Xν(s,t) ),ϕ > pour ϕ ∈ Φ, est
E
hn Z
ν2 (u,t)
0
˙
K̇(ν1 (u,t),y)∇ϕ(ν
1 (u,t),y)F (Xν(u,t) )
0
Z
+
ν1 (u,t)
0
˙
K̇(x,ν2 (u,t))∇ϕ(x,ν
2 (u,t))F (Xν(u,t) )
0
∂
ν1 (u,t)dy
∂u
o
∂
ν2 (u,t)dx
∂u
0
0
0
0
0
0
+ 1{ν1 (u,t)≥0} ⊗ 1{ν2 (u,t)<0} + 1{ν1 (u,t)<0} ⊗ 1{ν2 (u,t)<0} + 1{ν1 (u,t)<0} ⊗ 1{ν2 (u,t)≥0}
27
nZ
ν2 (u,t)
Z ν1 (u,t)
o
∂
∂
2
00
K̇ (ν1 (u,t),y)ϕF (Xν(u,t) ) ν1 (u,t)dy+
K̇ (x,ν2 (u,t))ϕF (Xν(u,t) ) ν2 (u,t)dx
∂u
∂u
0
00
2
0
nZ
+
ν2 (u,t)
Z
K̇(ν1 (u,t),y)ϕF (Xν(u,t) )
0
Rν(u,t)
ν1 (u,t)
Z
Z
K̇(x,ν2 (u,t))ϕF (Xν(u,t) )
+
Rν(u,t)
ν2 (u,t)
Z
˙ K̇r(x,ν2 (u,t))δWr
∇
00
0
1n
+
2
˙ K̇r(ν1 (u,t),y)δWr
∇
00
∂
o
ν2 (u,t)dx
∂u
Z ν1 (u,t)
oi
∂
∂
K̇ (ν1 (u,t),y)ϕF (Xν(u,t) ) ν1 (u,t)dy+
K̇ 2 (x,ν2 (u,t))ϕF 00 (Xν(u,t) ) ν2 (u,t)dx .
∂u
∂u
0
00
2
0
∂
ν1 (u,t)dy
∂u
Pour alléger les notations dans la proposition suivante on pose
F 0 (Xν(a,b) )sign
∂
ν1 (a,b),
∂a
F 0 (Xν(a,b) )sign
∂
ν2 (a,b),
∂a
X
S(F 0 ,ν1 ,x) =
ν1−1 (x)∩[0 , s]×{t}
X
S(F 0 ,ν2 ,y) =
ν2−1 (y)∩[0 , s]×{t}
Σ(F ,ν1 ,x) =
ν (a,b)<0}
∂a 1
ν (a,b)≥0}
∂a 2
+ 1{ ∂
ν (a,b)<0}
∂a 1
⊗ 1{ ∂
ν (a,b)<0}
∂a 2
ν (a,b)<0}
∂a 2
F 00 (Xν(a,b) ) 1{ ∂
X
ν (a,b)≥0}
∂a 1
ν2−1 (y)∩[0
⊗ 1{ ∂
, s]×{t}
⊗ 1{ ∂
Σ(F 00 ,ν2 ,y) =
00
ν (a,b)≥0}
∂a 1
ν1−1 (x)∩[0
+1{ ∂
F (Xν(a,b) ) 1{ ∂
X
00
sign
∂
ν1 (a,b),
∂a
⊗ 1{ ∂
ν (a,b)<0}
∂a 2
, s]×{t}
∂
+1{ ∂ ν1 (a,b)<0} ⊗ 1{ ∂ ν2 (a,b)≥0} + 1{ ∂ ν1 (a,b)<0} ⊗ 1{ ∂ ν2 (a,b)<0} ) sign ν2 (a,b),
∂a
∂a
∂a
∂a
∂a
˙ K̇r ,ν1 ,x) =
S(F ,∇
00
X
Z
00
F (Xν(a,b) )
ν1−1 (x)∩[0 , s]×{t}
28
˙ K̇r (x,y)δWr sign ∂ ν1 (a,b),
∇
∂a
Rν(a,b)
X
˙ K̇r ,ν2 ,y) =
S(F ,∇
00
Z
00
F (Xν(a,b) )
ν2−1 (y)∩[0 , s]×{t}
S(F 00 ,ν1 ,x) =
X
∂
˙ K̇r (x,y)
∇
δWr sign ν2 (a,b),
∂a
Rν(a,b)
F 00 (Xν(a,b) )sign
ν1−1 (x)∩[0 , s]×{t}
et
S(F 00 ,ν2 ,y) =
X
F 00 (Xν(a,b) )sign
ν2−1 (y)∩[0 , s]×{t}
∂
ν1 (a,b)
∂a
∂
ν2 (a,b).
∂a
Par le théorème du degré et la formule du calcul différentiel
Z s
d
< F (Xν(s,t) ),ϕ >=< F (Xν(0,t) ),ϕ > +
< F (Xν(u,t) ),ϕ > du,
0 du
d
dans laquelle du
< F (Xν(u,t) ),ϕ > du, sera remplacée par les limites calculées précédement
on a:
Proposition 2.4.1 Soit F ∈ C 2 (lR), K ∈ Φ(H) et ν : [0,1]2 −→ [0,1]2 une fonction C 1
telle que pour tout t fixé [23]
Z 1
(card{u\ν1 (u,t) = x})2 dx < ∞
0
et
Z
1
(card{u\ν2 (u,t) = y})2 dy < ∞.
0
Alors pour tout s ∈ [0 , 1], on a
J1 = F (Xν(s,t) ) − F (Xν(0,t) )
1
Z
1
Z
=
0
0
Z
1
Z
+
0
Z
1
0
Z
+
0
0
1
(2.4.14)
n
o
K̇(x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 {x})∩[0 , t] (y)S(F 0 ,ν1 ,x) + 1(ν1 ◦ν2−1 {y})∩[0 , s] (x)S(F 0 ,ν2 ,y) δW (x,y)
1
n
o
K̇ 2 (x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 (x))∩[0 , t] (y)Σ(F 00 ,ν1 ,x) + 1(ν1 ◦ν2−1 (y))∩[0 , s] (x)Σ(F 00 ,ν2 ,y) dxdy
n
o
00 ˙
˙ K̇r ,ν1 ,x)+1
−1
K̇(x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 (x))∩[0 , t] (y)S(F 00 ,∇
(x)S(F
,
∇
K̇
,ν
,y)
dxdy
r 2
(ν1 ◦ν2 (y))∩[0 , s]
Z Z
n
o
1 1 1 2
00
00
+
K̇ (x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 (x))∩[0 , t] (y)S(F ,ν1 ,x) + 1(ν1 ◦ν2−1 (y))∩[0,s] (x)S(F ,ν2 ,y) dxdy p.s
20 0
et où δ et ∇ sont considérés localement.
29
Preuve 2.4.2 Grâce à la propriété de localisation de δ et ∇[12], il suffit de montrer la
proposition pour F bornée ainsi que sa première et seconde dérivées. Lorsque F est C 2 ,
pour tout k ∈ IN on note: Ωk = {ω : supz |Xz (ω)| ≤ k}. Comme K ∈ Φ(H), Xz est
continu p.s [6],donc Ωk ↑ Ω p.s. On peut donc appliquer la proposition à tout processus:
Kk (z,ω) = K(z,ω)1Ωk (ω) puisque F est bornée sur [−k , k].
Comme ϕ ∈ Φ et F ∈ Cb2 (lR), et par la formule du calcul différentiel
Z s
d
< F (Xν(s,t) ),ϕ >=< F (Xν(0,t) ),ϕ > +
< F (Xν(u,t) ),ϕ > ,
0 du
et le théorème du degré appliqué à
u ∈ [0 , s] 7−→ ν1 (u,t) = x
pour tout t ∈ [0 , 1], on obtient
"Z Z
s
E
0

Z

=E
1
Z
1
0
Z
0
0
#

X
˙
1ν2 ◦ν1−1 (x)∩[0, t] (y)K̇(x,y)∇ϕ(x,y)[
F 0 (Xν(a,b) )sign
ν1−1 (x)∩[0, s]×{t}

1
=<
∂
0
˙
K̇(ν1 (u,t),y)∇ϕ(ν
ν1 (u,t)dydu
1 (u,t),y)F (Xν(u,t) )
∂u
1
Z
0
0
ν2 (u,t)
1ν2 ◦ν1−1 (x)∩[0, t] (y)K̇(x,y) 
∂
ν1 (a,b)]dxdy 
∂a

X
F 0 (Xν(a,b) )sign
ν1−1 (x)∩[0, s]×{t}
∂
ν1 (a,b) δW (x,y),ϕ > .
∂a
Le calcul des autres termes de la proposition se fait de la même manière.
Supposons
Z
Xs,t =
K̇α δWα
Rs,t
que devient
Z
Xν(s,t) =
K̇α δWα ?
Rν(s,t)
En appliquant la proposition précédente à F = Id on a la formule de changement de
variable suivante:
Proposition 2.4.2 ( formule de changement de variable stochastique de type Skorohod)
Soit
Z
Xs,t =
K̇α δWα
Rs,t
et ν comme dans la proposition précédente alors on a:
Z
K̇(x,y)δW (x,y) = Xν(0,t)
Xν(s,t) =
Rν(s,t)
30
Z tZ
s
n
K̇(x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 {x}) (y)
+
0
0
X
X
∂
ν1 (a,t)+1(ν1 ◦ν2−1 {y} (x)
∂a
−1
sign
ν1−1 (x)∩[0 , s]
sign
ν2 (y)∩[0 , s]
o
∂
ν2 (a,t) δW (x,y)
∂a
On suppose maintenant que:
Z
Xz = X0 +
Z
K̇α δWα +
Rz
ξ˙α dα,
Rz
par les mêmes calculs on obtient:
Proposition 2.4.3 Soit K ∈ Φ(H), ξ ∈ Φ(H), X0 ∈ Φ, F ∈ C 2 (lR) et
ν : [0 , 1]2 −→ [0 , 1]2 une fonction de classe C 1 tel que pour tout t fixé [23]
Z 1
(card{u\ν1 (u,t) = x})2 dx < ∞
0
et
Z
1
(card{u\ν2 (u,t) = y})2 dy < ∞.
0
Alors pour tout s ∈ [0 , 1], on a:
F (Xν(s,t) ) − F (Xν(0,t) )
1Z
Z
= J1 +
0
Z
1
Z
1
+
0
Z
0
1
Z
+
0
0
1
0
(2.4.15)
n
o
1
˙
ξ(x,y)
1(ν2 ◦ν1−1 {x})∩[0 , t] (y)S(F 0 ,ν1 ,x) + 1(ν1 ◦ν2−1 {y})∩[0 , s] (x)S(F 0 ,ν2 ,y) dxdy
n
o
00
00
˙
−1
−1
K̇ ∇X0 (x,y) 1(ν2 ◦ν1 {x})∩[0 , t] (y)S(F ,ν1 ,x)+1(ν1 ◦ν2 {y})∩[0 , s] (x)S(F ,ν2 ,y) dxdy
n
o
00 ˙ ˙
˙ ξ˙r ,ν1 ,x)+1
−1
K̇(x,y) 1(ν2 ◦ν1−1 (x))∩[0 , t] (y)S(F 00 ,∇
(x)S(F
,
∇
ξ
,ν
,y)
dxdy p.s.
r
2
(ν1 ◦ν2 (y))∩[0 , s]
Remarque 2.4.2 Si ν = Id dans (2.4.15) on a grâce aux inégalités dans les espaces Lp
pour l’intégrale de Skorohod [6]
Z Z
2
Z
s t
˙ K̇r (x,y)δWr )dxdy E
K̇(x,y)F 00 (X(x,t) )(
∇
0 0
R(x,y)
Z
≤c E
0
1
Z
0
1
4
|K̇(x,y)| dxdy E
Z
0
31
1
Z
0
1
Z
(
!
˙ K̇r (x,y)δWr )4 dxdy
∇
R(x,y)
h
i
≤ c0 k K k4ID4,0 (H) k K kID44,1 + k K k4ID4,2 (H) ,
où c et c0 sont des constantes indépendantes de X.
D’où le théorème suivant:
Théorème 2.4.1 Soient K ∈ ID4,2 (H), ξ ∈ ID4,1 (H), X0 ∈ ID4,1 , et F ∈ Cb2 , alors la
formule(2.4.15) est encore vraie et tous ses termes sont des éléments de L2 .
Preuve 2.4.3 On procède par approximation. On peut approcher K, ξ, X0 par des
éléments très réguliers. La formule (2.4.15) est alors satisfaite et tous ses termes sont
dans L2 donc le passage à la limite ne pose aucun problème. D’où le résultat.
En utilisant les propriétés de localisation de la divergence et la dérivée de Sobolev [6]
on obtient encore
Théorème 2.4.2 Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent et s’il existe
p > 4 tel que
Z
Z
p
˙ K̇α (s)|p dsdα < ∞,
E
|K̇α | dα + E
|∇
[0 ,1]2
[0 ,1]2 ×[0 ,1]2
alors la formule(2.4.15) est encore vraie si F ∈ C 2 .
Remarque 2.4.3 1)Soit Xs,t = Ws,t la formule ci dessus le long de t = constante nous
donne la formule obtenue par [3]
Z sZ t
Z
t s 00
0
F (Wx,t )δW (x,y) +
F (Wx,t )dx
F (Ws,t ) − F (0) =
2 0
0
0
Z
=
0
où
Rt
0
s
t
F (Wx,t )δx W (x,t) +
2
0
Z
s
F 00 (Wx,t )dx a.s,
0
δW (x,y) = δx W (x,t).
2) Soit (Fs,t )s,t≥0 une famille filtrante croissante de σ-sous-algèbres de F sur Ω (Fs,t ⊂
Fu,v si s ≤ u et t ≤ v) tel que F0,0 contient tous les ensembles négligeables de F. Soit Xs,t
un processus tel que
X0,t = Xs,0 = X0,0 et défini par
Z sZ t
Z sZ t
Xs,t =
K̇α δWα +
ξ˙α dα,
0
0
0
0
où K et ξ satisfont les hypothèses du théorème 2.4.2, on a
Z sZ t
Z sZ t
0
0
˙
F (Xs,t ) − F (X0,0 ) =
K̇(x,y)F (Xx,t )δW (x,y) +
ξ(x,y)F
(Xx,t )dxdy
0
0
0
32
0
Z sZ
t
Z
K̇(x,y)F (Xx,t )
+
0
˙ K̇r (x,y)δWr + ∇
˙ ξ˙r (x,y)dr dxdy
∇
00
0
Rx,t
Z sZ
1
+
2
0
t
K̇ 2 (x,y)F 00 (Xx,t )dxdy a.s.
0
˙
Si K̇(x,y) et ξ(x,y)
sont des processus adaptés par rapport à Fs,t on obtient la formule
d’Ito de [2] c’est à dire.;
Z sZ t
F (Xs,t ) − F (X0,0 ) =
K̇(x,y)F 0 (Xx,t )δW (x,y)
0
1
+
2
Z sZ
0
t
Z sZ
00
2
K̇ (x,y)F (Xx,t )dxdy +
0
0
0
t
0
˙
ξ(x,y)F
(Xx,t )dxdy a.s.
0
Par itération de la formule du théorème 2.4.2 lorsque F ∈ C 4 , on obtient la formule
d’Ito suivante où les integrands ne dépendent plus du rectangle.
Théorème 2.4.3 (Formule d’Ito) Sous les mêmes hypothèses qu’au théorème précédent
et si F ∈ C 4 tel que F 0 (X0,0 ) = F 00 (X0,0 ) = 0, alors on a
F (Xs,t ) − F (X0,0 ) = A + B + C,a.s
(2.4.16)
où
Z
hZ
K̇(x,y)
A=
Rs,t
Z
1
+
2
Z
B=
Z
Rs,t
Z
(Xx,v )
hZ
K̇(x,y)
Rs,t
2
K̇ (u,v)F
Rx,t
(3)
i
(Xx,v ) dudv δW (x,y),
Rx,t
K̇(u,v,)F
(3)
Z
(Xx,v )δW (u,v)
Rx,t
Z
K̇(x,y)
i
˙ K̇α (u,v)δWα dudv δW (x,y)
∇
Rx,v
Z
K̇(x,y)
Rs,t
+
K̇(u,v)F
(3)
Rx,t
Rs,t
Z
Rx,t
hZ
K̇(x,y)
+
i
K̇(u,v,)F 00 (Xx,v )δW (u,v) δW (x,y)
K̇(u,v)F
(4)
˙
∇K̇r (x,y)δWr dxdy
Rx,t
Z
(Xx,v )
Z
˙
∇K̇α (u,v)δWα dudv
Rx,v
˙ K̇r (x,y)δWr dxdy
∇
Rx,t
33
1
+
2
Z
Z
K̇(x,y)
Rs,t
2
K̇ (u,v)F
(4)
(Xx,v )dudv
Z
Rx,t
˙ K̇r (x,y)δWr dxdy,
∇
Rx,t
et
1
C=
2
1
+
2
Z
Z
hZ
K̇ (x,y)
2
Rs,t
K̇(u,v)F
(3)
Rx,t
hZ
K̇ (x,y)
2
K̇(u,v)F
(4)
Z
(Xx,v )
Rx,t
Rs,t
1
+
4
Z
i
(Xx,v )δW (u,v) dxdy
i
˙ K̇r (u,v)δWr dudv dxdy
∇
Rx,v
hZ
K̇ (x,y)
2
Rs,t
i
K̇ 2 (u,v)F (4) (Xx,v )dudv dxdy.
Rx,t
Preuve 2.4.4 En appliquant le théorème précédent à F 0 (Xx,t ) et F 00 (Xx,t ) dans la formule 2.4.15 on obtient la formule demandée.
RtRs
Remarque 2.4.4 Si Xs,t = 0 0 K̇α δWα , où K satisfait les hypothèses du théorème
2.4.2, on a
Z sZ t
Exp(Xs,t ) = Exp(δs,t K) = 1 +
K̇(x,y)Exp(δx,t K)δW (x,y)
0
Z sZ
+
0
t
Z
K̇(x,y)exp(δx,t K)
0
˙ K̇r (s)δWr dxdy+ 1
∇
2
Rx,t
0
Z sZ
0
t
K̇ 2 (x,y)exp(δx,t K)dxdy p.s.
0
En particulier
Z
Exp(Ws,t ) = 1 +
0
s
t
Exp(Wx,y )δx W (x,t) +
2
où on peut itérer δx W (x,t) le long de x.
34
Z
s
Exp(Wx,t )dx p.s.
0
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36
Chapitre 3
Loi des grands nombres et théorème
de la limite centrale pour les
distributions sur l’espace de Wiener.
37
Résumé
Dans ce travail on définit une notion d’indépendance pour les distributions de S.Watanabe
et on montre la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale pour ces distributions. On définit également une notion de pseudo- convergence et on donnera une
version du théorème de la limite centrale pour cette classe.
3.1
Introduction
En probabilité, la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale jouent un
rôle très important. Dans ce chapitre on va étendre ces théorèmes aux distributions sur
l’espace de Wiener. Soit Tn une suite de distributions de Meyer-Watanabe, sous quelles
conditions et dans quel sens:
Pn
i Ti
converge?
(3.1.1)
n
n
1 X
√
Ti converge?
(3.1.2)
n i
P
Pour prouver une convergence de √1n ni Ti , on va utiliser une nouvelle classe de distributions [2, 3, 5] plus grande que la classe de distributions de Meyer-Watanabe Dans
cette classe, toute distribution de Meyer-Watanabé admet une décomposition en chaos de
Wiener:
P
T = ni In (Tn ) où In représente l’intégrale multiple de Wiener et Tn est un élément de
l’espace de Cameroun-Martin. Toute distribution de Meyer-Watanabé peut être considérée
comme une v.a dans cette nouvelle classe de distribution, ce qui nous permet de donner
une définition de l’indépendance de deux distributions à l’aide des chaos de Wiener [2].
Dans le théorème 3.3.1, on obtient une convergence faible de (3.1.1) et à l’aide de la
nouvelle classe de distributions [2, 3, 5] on montre que la convergence de (3.1.1) a lieu
dans un certain L2 . Ensuite en considérant les chaos de Wiener dans la décomposition
des suites on établit une pseudo-convergence en loi de (3.1.2)
3.2
Notations et préléminaires
Soit (C,H,µ) l’espace de Wiener classique où C = C([0,1],lRd ) d ≥ 1, H est l’espace
de Cameroun-Martin et µ la mesure de Wiener classique sur C. Pour tout k ∈ ZZ, p > 1
et X un espace de Hilbert séparable, IDp,k (X) désigne le complété des polynômes sur C à
valeurs dans X pour la norme de Sobolev:
k
k φ kIDp,k(X) =k (I + L) 2 φ kLp (µ,X) ,
(3.2.3)
où L est le générateur du processus d’O.U à valeurs dans C. ID(X) est la limite projective
des espaces de Sobolev IDp,k (X). ID(X) est appelé l’espace des fonctions test de Watanabe
et son dual ID0 est appelé espace des distributions de Meyer-Watanabe.
Si X = lR, on note tout simplement IDp,k , ID, ID0 etc...∇ représente le gradient stochastique de ID0 dans ID0 (H) et sa restriction à ID est une application linéaire continue dans
38
ID(H). L’adjoint de ∇ sera noté δ et sur chaque IDp,k (H) il induit une application linéaire
continue à valeurs dans IDp,k−1 [8]. On rappelle que [8]:
Théorème 3.2.1 Si 1 < p < ∞ et k ∈ lR , l’opérateur d’O.U L a une extension unique
en opérateur borné L : IDp,k (X) −→ IDp,k−2 (X). De plus l’opérateur A = (I + L)−k/2 est
une isométrie de IDq,−k dans Lq ([8]).
Soit T = [0,1], f ∈ L̂2 (T p ) et g ∈ L̂2 (T q ) représentent des noyaux intégrales symétriques
de carrés intégrables sur T p et T q . Si m < min(p,q) on note f ⊗m g le noyau dans
L2 (T p+q−2m ) défini par :
Z
f ⊗m g(t1 ,...,tp−m ,s1 ,....,sq−m ) =
f (t1 ,...,tp−m ,σ1 ...σm )g(s1 ,....,sq−m ,σ1 ...σm )dσ1 ...dσm
Tm
3.3
Théorème de la limite centrale
Meyer et Yan [5], Korezlioglu et Ustunel [2] ont montré que toute distribution de Meyer
Watanabe admet une décomposition en chaos de Wiener:
∞
X
1
In (an )
T =
n!
n=0
où an ∈ L̂2 ([0,1]n ) et la somme converge faiblement dans un certain espace de distribution Φ0 . Ustunel et Zakai [7] ont montré que deux variables aléatoires F et G dans ID2,0
admettant les décompositions en chaos suivantes:
F =
∞
X
1
In (fn )
n!
n=0
G=
∞
X
1
In (gn )
n!
n=0
et
sont indépendantes si fn ⊗1 gn = 0 p.s par rapport à la mesure de lebesgue sur [0,1]m+n−2
Ceci nous conduit à la définition suivante :
Définition 3.3.1PSoient T et S deux distributions
dans ID0 dont les décompositions en
P∞
∞
chaos sont : T =
n=0 In (an ) et S =
n=0 In (bn ). On dit que T et S sont fortement
indépendantes si pour tout m,n ≥ 1:
an ⊗1 bn = 0 p.p sur [0,1]m+n−2
Remarque 3.3.1 T et S sont fortement indépendantes si et seulement si leurs projections πn (T ) = In (an ) et πn (S) = Im (bn ) sont des variables aléatoires indépendantes pour
tout m,n ≥ 1.
Lemme 3.3.1 L’opérateur L préserve l’indépendance forte.
P∞
P∞
Preuve 3.3.1 En effet si T = P
I
(a
)
et
S
=
n
n
n (bn ) tel que pour tout m,n
n=0
n=0 IP
∞
an ⊗1 bm = 1
p.s alors LT
=
nI
(a
)
et
L(S)
=
nIn (Ln ). Or L est continu
n n
n=0
P∞
P∞
de IDq,r dans IDq,r−2 donc
n=0 In (nan ) et
n=0 In (nbn ) sont faiblement convergentes
dans IDq,r−2 . De plus nan ⊗1 mbm = 0 p.s dans [0,1]m+n−2 ∀m,n, alors LT et LS sont
fortement indépendantes.
39
Lemme 3.3.2 Si T et S sont fortement indépendantes dans IDq,−k alors les variables
(I + L)−k/2 T et (I + L)−k/2 S sont indépendantes dans Lq .
P∞
P∞
2
n
Preuve 3.3.2 Si T =
n=0 In (an ) et S =
n=0 In (bn ) où an ∈ L̂ ([0,1] ) et bn ∈
L̂2 ([0,1]n ) alors,
−k/2
X = (I + L)
(T ) =
∞
X
(1 + n)−k/2 In (an ) ∈ Lq
n=0
−k/2
Y = (I + L)
(S) =
∞
X
(1 + n)−k/2 In (bn ) ∈ Lq .
n=0
−k/2
m+n−2
Comme(1 + n)P
an ⊗1 (1 + m)−k/2 bm = 0 p.p
PNsur [0,1] −k/2 pour tout m,n ≤ N , alors
N
−k/2
les v.a TN = n=0 (1 + n)
In (an ) et SN = n=0 (1 + n)
In (bn ) sont indépendantes
dans ID2,0 . TN et SN convergent en probabilité respectivement vers X et Y et la convergence
en probabilité préserve l’indépendance alors
E(expi(αX + βY )) = lim E(expi(αTN + βSN ))
N →∞
= lim E(expi(αTN ))E(expi(βSN ))
N →∞
= E(expi(αX))E(expi(βY ))
d’où l’indépendance de X et Y .
Définition 3.3.2 On dit que deux distributions T et S dans IDq,−k ont la même loi ( ou
équidistribuées) si les v.a (I + L)−k/2 T et (I + L)−k/2 S ont la même loi.
Théorème 3.3.1 (Loi des grands nombres) Soit (Tn ) une suite de distributions bornées
équidistribuées et fortement indépendantes dans IDq,−k , alors
Pn
0
i=1 Ti ID
−→ E(T1 )
n
Preuve 3.3.3 D’après le lemme 3.3.2, les v.a (I + L)−k/2 Tn sont indépendantes dans
Lq . Par la loi des grands nombres classiques on:
Pn
i=1 Ti p.p
−→ E((I + L)−k/2 T1 )
(3.3.4)
n
De plus
supi k Ti kIDq,−k = supi k (I + L)−k/2 Ti kLq < ∞
donc
(3.3.5)
n
1X
(I + L)−k/2 Ti −→E((I + L)−k/2 T1 )
n i=1
et par conséquent la convergence a lieu dans ID0 .
40
(3.3.6)
Remarque 3.3.2 Soient (Hα ,α ∈ lR) une famille d’espaces de Hilbert et (Wα ,Hα ,µα )
les espaces de Wiener associés dont Hα est l’espace de Cameroun-Martin , H0 = H et
H∞ = ∩α Hα muni de sa topologie limite projective. Le dual de H∞ peut être identifié à
(α)
H−∞ et on a les injections continues suivantes: H∞ ,→ Hα ,→ H−∞ . On note par ID2,0 le
complété des polynôms réels définis sur Wα pour la norme
k φ kID(α) =
2,0
∞
X
n! k φn k2Hα⊗n
(3.3.7)
n=0
P
⊗n
oùφ = E(φ) + ∞
n=0 In (φn ) et φn ∈ H∞ . H.Korezlioglu et A.S.Ustunel ont construit une
nouvelle classe de distributions sur des espaces de Wiener abstrait, plus grande que la
classe des distributions de Meyer-Watanabe [2]. Cette nouvelle classe est notée Φ0 . Dans
[2] ils ont montré que
(−α)
Φ0 ' ∪ID2,0
(3.3.8)
et que ID0 ,→ Φ0 est une injection continue. Il s’ensuit que toute distribution de MeyerWatanabe peut être interprétée comme une variable aléatoire sur (Wα ,Hα ,µα ) .
D’où le corollaire suivant:
Corollaire 3.3.1 Soit (Tn ) une suite de distributions bornées et équidistribuées et fortement indépendantes dans IDq,−k , alors
Pn
2
i=1 Ti L (−α)
−→ E −α (T1 )
n
pour un certain α.
Théorème 3.3.2 (Théorème de la limite centrale) Soit (Tn ) une suite de distributions
équidistribuées centrées et fortement indépendantes dans IDq,−k ,(q ≥ 2) alors:
n
1 X
Loi
√
(I + L)−k/2 Ti −→ N (0,σ),
n i
(3.3.9)
où σ = var((I + L)−k/2 T1 ) < ∞
Preuve 3.3.4 Le théorème de la limite centrale classique appliqué aux v.a (I + L)−k/2 Ti
nous donne le résultat
Proposition 3.3.1 ( Le théorème de la limite centrale pour les chaos de Wiener)
Soit (Tn ) une suite de distributions centrées, fortement indépendantes et telle que (Πk (Tn ))n
soient équidistribuées pour tout n. Alors
n
1 X
Loi
√
Πk Ti −→ N (0,σk )
n i=1
(3.3.10)
pour tout k fixé.
Preuve 3.3.5 Comme les v.a (Tn ) sont fortement indépendantes et d’après la remarque
3.3.1 les v.a (Πk Tn )n sont aussi indépendantes d’où le résultat par application du théorème
de la limite centrale à ces chaos [?].
41
Définition 3.3.3 Soit (Tn )n une suite de distributions de Meyer-Watanabe on dit que
(Tn )n converge en pseudo-loi si (Πk (Tn ))n converge en loi pour tout k.
Théorème 3.3.3 Soit (Tn )n une suite de distributions fortement indépendantes,centrées,
P
et tel que (Πk (Tn ))n soient équidistribuées pour tout k et tout n, alors √1n ni=1 Ti converge
en pseudo-loi vers une pseudo-gaussienne.
Preuve 3.3.6 Le résultat découle de la proposition 3.3.1.
42
Bibliographie
[1] L.Breiman, Probability Addisson-Wesley Series in Statistics, (1968).
[2] H.Korezlioglu et A.S.Ustunel, New class of distributions on Wiener
spaces, Stochastic Analysis and Related Topics II, p.106-121. Lectures Notes
in Math., 1444, Springer, (1990).
[3] Ju.G. Kondratev, Nuclear spaces of entire functions in probability
problems of infinite-imensional analysis. Soviet Math. Dokl.,22, p.588-592,
(1980).
[4] P.Malliavin,Stochastic calculus of variations and hypoelliptic operators.
Procedings of International Conf. on Stochastic Differential Equations,
Kyoto, 1976,p.195-263, Wiley, New York (1978).
[5] P.A.Meyer et J.A.Yan, A propos des distributions sur l’espace de Wiener.
Sem.de Probabilités,XXI, p.8-26, Lecture Notes in Math., 1247, Springer,
(1980).
[6] H.Sugita, Sobolev spaces of Wiener functionals an Malliavin’s calculus.
J.Math.Kyoto.Univ.,25,1,p.31-48, (1985).
[7] A.S.Ustunel et M.Zakai, Caractérisation géométrique de l’indépendance
forte sur l’espace de Wiener.C.R.Acad.Sci.Paris,306, sérieI,p.487-489,
(1988).
[8] S. Watanabe, Lectures on stochastic differential equations and Malliavin
calculus. Tata Institute of Fundamental Research. Bombay (1984).
43
Chapitre 4
Fonctions caractéristiques des
opérateurs de Fock.
44
Résumé
Soit (Ω,H,γ 0 ) un espace de Wiener complexe muni d’une conjugaison : z ∈ H → z̄.
Dans ce travail, à l’aide du système de Weyl défini sur l’espace F ockH, on définit la
fonction caractéristique associée à tout opérateur de Fock H de trace égale à 1. Ensuite,
on montre que l’on peut prolonger cette définition à tout opérateur de Hilbert-Schmidt de
Fock H et que la correspondence K ∈ LH.S (F ockH) → Kc ∈ L2 (Ω) est une isométrie.
Kc désignant la fonction caractéristique associée à K. Enfin, on applique ceci pour caractériser les états quasi-libres représentés par une loi quantique.
4.1
Introduction
Soit F ockH l’espace de Fock symétrique d’un espace de Hilbert complexe et soit {W (f ),f ∈
H} le système de Weyl correspondant. La fonction caractéristique de tout opérateur B à
trace de Fock H est définie par:
f ∈ H −→ T r[BW (f )].
Dans le cas particulier de la dimension finie on travaille avec le couple canonique (P,Q)
et la fonction précédente s’écrit à des normalisations près sous la forme
u + iv ∈ IC n → Bc (u + iv) = T r[Bei(uP +vQ) ].
[7]. Et dans ce cas particulier, la transformation caractéristique B → Bc peut être prolongée aux opérateurs de Hilbert Schmidt puis par dualité à des opérateurs plus généraux
de F ockH, (H = IC n ); mais les arguments utilisés de l’analyse harmonique sur lR2n et de
la théorie des distributions de L. Schwartz ... sont inapplicables en dimension quelconque.
Notre but est de prolonger la fonction caractéristique à la dimension infinie. Pour cela
on va faire comme T. Ségal, qui pour appliquer les méthodes probabilistes en théorie des
champs de Boson, a abandonné le couple canonique (P,Q) de la mécanique, et l’a remplacé
par les opérateurs d’annihilation et de création. Autrement dit on remplace la fonction
caractéristique définie précédemment, par la fonction suivante qui s’en déduit par une
normalisation
∗
z ∈ H → Bc (z̄,z) = T r[Be−z̄a eza ].
L’indice c rappelle qu’il s’agit de la fonction caractéristique normale intervenant en electrodynamique quantique. On utilisera comme techniques une partie de l’analyse différentielle
gaussienne développée en 1972-1977 [13]et qui n’a pas encore été utilisée en analyse stochastique. Au paragraphe 4.5 on applique les résultats de cet article aux états quasi-libres
étudiés par Manuceau et Verbeure [15]. Enfin on retrouve par une autre méthode les
résultats connus en dimension finie.
4.2
4.2.1
Notations et rappels
Le triplet < F ockH > centré sur le Fock
Afin d’éviter de compliquer les notations avec des chapeaux au dessus pour désigner des
complétions hilbertiennes de produits tensoriels Sk (U ) = U k , ou avec des indices ”hilb”
45
au dessous pour désigner des sommes hilbertiennes on décide de réserver les lettres H et
K pour désigner des espaces de Hilbert. On travaille non pas avec les opérateurs linéaires
de F ock, mais avec les applications linéaires d’un triplet centré sur le F ock. Soit donc un
espace de Hilbert complexe H muni d’une conjugaison z 7→ z̄. Son produit scalaire z̄.z 0 =
(z,z 0 ) étant sesquilinéaire, on introduit la forme bilinéaire associé z.z 0 = (z̄.z 0 ) =< z,z 0 >.
Soit U un sous espace dense de H union d’une famille filtrante croissante (Uα ) de sous
espaces de dimensions finies, tous stables par conjugaison. Nous avons donc U ⊂ H ⊂ U ∗ ,
où la dualité entre U...U ∗ dual algébrique prolonge la forme bilinéaire symétrique z.z 0 .
0
0
Pour tout k ≥ 0, notant (t,t0 )k le produit scalaire de Sk (H),
√ et < t,t >k = (t̄,t )k la forme
bilinéaire symétrique correspondante sur Sk (H) × Sk (H). √
k!Sk (H) est l’espace hilbertien
complexe déduit de Sk (H), en multipliant sa norme par k!, nous avons donc comme
dans le cas particulier où k = 1
√
Sk (U ) ⊂ k!Sk (H) ⊂ P olk (U ).
La dualité entre Sk (U ) et son dual algébrique P olk (U ) prolonge
donc la forme bilinéaire
√
k! < t,t0 >k sur l’espace central. Identifions alors tout t ∈ k!Sk (H) au Polynôme
suivant
√
k
k
sur U : z →< z ,t >k = (z̄ ,t)k et identifions Sk (U ) à son image dans k!Sk (H) par
l’application identique . En faisant la somme algébrique on obtient donc le triplet:
S(U ) ⊂ F ockH ⊂ P ol(U )
Dans ce triplet noté < F ockH >, la dualité entre S(U ) P
et P ol(U ) est donc pondérée
par k! et elle prolonge la forme bilinéaire symétrique t.t =
k! < tk ,t0k >k sur F ockH.
Mais lorsqu’on calcule la valeur en un point de U d’un Polynôme (ou d’une série formelle convergente) les poids k! disparaissent. Introduisons par exemple pour tout z ∈ H
l’exponentielle
0
ez
0
z ∈ H → exp(z,z ) =
∞
X
(z.z 0 )k /k!.
0
On voit que tout F =
P
Fk de F ock(H) peut être identifié à la fonction analytique
z ∈ H → F (z) =< ez ,F > .
4.2.2
Opérateur de champ et système de Weyl-Segal
On note AP P L = L(S(U ),P ol(U )) l’espace de toutes les applications linéaires de
< F ockH >. Il contient le sous espace OP L = L(S(U ),F ock(H)) des opérateurs linéaires
de Fock de domaine S(U ), OP LR = End(S(U )) désigne l’espace des opérateurs réguliers
et OP LRT = End(P ol(U )) l’espace des applications transposées. Pour tout u ∈ U , les
annihilateurs et les créateurs
a(u) : F −→ 5u F =
∂F
∂u
et
a+ (u) : F (z) −→ u.zF (z)
46
forment deux sous ensembles de OP LR ∩ OP LRT où tous les éléments commutent
dans chaque ensemble. De plus pour u et v ∈ U
[a(u),+a+ (v)] = u.vId,
a(u)∗ = a+ (ū).
et
Pour tout f fixé ∈ U on introduit les éléments suivants de OP LRT :
a(f ) : F −→ F (z + u)
a+ (f )F :−→ ef.z F (z)
et
2
+
Puis en posant pour tout u ∈ U,W (u) = e−|u| /2 eia (u) eia(u) . On vérifie qu’ils induisent des
opérateurs unitaires de F ock(H) et que pour tout f ∈ S(H), t−1 (W (tu) − Id)f tend vers
ϕ(u)f où ϕ(u) = a(u) + a+ (ū). C’est alors que I-Segal utilise la notation suivante pour les
opérateurs de Weyl W (u) = exp[i(a(u) + a(u)∗ )], qui vérifie la relation de commutation:
W (u)W (v) = eiImū.v W (u + v).
4.2.3
Noyaux et symboles de Wick
Wick avait observé que les séries de perturbation en théorie des champs se calculent
mieux en ordonnant les produits d’opérateurs de F ock, en plaçant systématiquement les
créateurs à gauche des annihilateurs. D’où des sommes formelles de termes du type
Tk.l = a(u1 )∗ ......a(uk )∗ a(v1 )......a(v2 )
avec uj et vj ∈ U . D’où:
Tk,l = a+ (ā1 )a+ (ū2 )...a+ (ūk )a(v1 )...a(vl ).
P
Wick travaille sur les sommes B = k,l Tk,l comme si chaque Tk,l était un monôme
dans U en les variables z̄ et z 0 de la forme suivante:
Tk,l (z̄,z 0 ) = z̄.ū1 z̄.ū2 ...z̄.ūk z 0 .v1 ...z 0 .vl
Dans les premières pages de son livre Brezin suppose U = H et il définit une classe un
peu
d’opérateurs B de Fock, pour lesquels il peut définir la somme B(z̄,z 0 ) =
P plus générale
0
k, Tk,l (z̄,z ) , qu’il appelle la forme normale de B. Krée et Raczka dans [11] ont associé
à tout élément B de l’ensemble AP P L la série formelle suivante:
0
B(z̄,z 0 ) = e−z̄.z B̃(z̄,z 0 ),
appelée le symbole de B. En introduisant les topologies faibles, on obtient deux homéomorphismes:
P ol(Ū × U )
ν=appl.noyau
←−
AP P L
ν=appl.noyau
σ=appl.Symb
−→
σ=appl.Symb
P ol(Ū U )
B̃(z̄,z 0 )
←−
B
−→
B(z̄,z 0 ).
Où, on a noté par Ū l’anti-espace de U , c’est à dire, l’espace vectoriel admettant le
même groupe commutatif sous-jacent que U mais dont le produit par les scalaires est
(λ,z) ∈ IC × U → λ̄.z.
L’application σ réalise un isomorphisme entre les deux triplets suivants :
AP P Lcyl ⊂ σ −1 (F ock(H̄ × H)) ⊂
AP P L
'↓
'↓
↓σ
S(Ū × U ) ⊂ F ock(H̄ × H)
⊂ P ol(Ū × U )
47
où AP P Lcyl désigne l’espace des applications linéaires s’écrivant comme sommes finies
de Tk,l . Dans le cas particulier où B ∈ OP L a un domaine contenant les exponentielles
on a:
0
B̃(z̄,z 0 ) = (Bez )(z).
Dans le cas général, le domaine de B est engendré par les sommes z 0n : z → (z.z 0 )n . Plus
précisément, B̃ s’écrit comme une somme double
X
B̃(z,z 0 ) =
B̃ m,n (z,z 0 )
n,n
où Bm,n ∈ (Sm (U ) × Sn (U ))∗ défini par
B̃ m,n (z,z 0 ) = (Bz 0n )m (z)/n!.
(4.2.1)
Donc en sommant par rapport à m ces relations on obtient:
0n
Bz = n!
∞
X
B̃ m,n (.,z 0 ).
(4.2.2)
m=0
Rappelons que l’application B → B̃(z̄,z 0 ) réalise un isomorphisme de triplets
AP P Ltest ⊂ LHS (F ockH)
'↓
'↓
S(Ū × U ) ⊂ F ock(H̄ × H)
⊂
AP P L
↓
⊂ P ol(Ū × U )
où AP P Ltest désigne le sous espace des opérateurs B ∈ AP P L dont le noyau B̃ est
un Polynôme cylindrique et LHS (F ockH) désigne des opérateurs d’Hilbert-Schmidt de
F ock(H). Rappelons aussi la formule donnant le symbole du produit de deux applications
linéaires B et E appartenant à des classes composables [10, 14].
∞
X
1 k
Dz0 B(z̄,z 0 ).Dz̄k E(z̄,z 0 ).
(B ◦ E)(z̄,z ) =
k!
k=0
0
4.2.4
Analyse differentielle sur les espaces gaussiens complexes
On présente d’abord quelques idées directrices dans le cas le plus simple des espaces
gaussiens réels. Le travail de Bargman suggérait l’existence d’une analyse différentielle
au sens des distributions sur tout espace gaussien car il analysait un modèle de dimension
finie n de champs avec les méthodes de la théorie des distributions de Schwartz sur (lRn ,dx)
et la théorie des symboles et de noyaux. La transformation de Bargmann A en dimension
n a pour noyau intégral :
√
A(z,q) = π −n/4 exp(−(z 2 + |q|2 )/2 + 2z.q)
P 2
P
où z 2 =
zj , et z.q =
zj qj . Un point de départ de l’analyse différentielle gaussienne
réelle a consisté à utiliser et à compléter les travaux de T. Dwyer, I. Segal, Berezin, L.
48
Gross, M. Visik ... de façon à créer une théorie des E.D.P. en dimension quelconque compatible avec cette problématique quantique. Pour ce faire la transformation de Bargmann
A a été écrite comme le produit de deux isometries Is et I −1 :
I −1
Is
L2 (Rn ,dq) → L2 (IRn ,γ) → F ock(IC n )
avec γ(dq) = (2π)−n/4 exp(− kqk2 /2)dq et :
√
Is
g → π n/4 g(q/ 2) exp(− kqk2 /4).
La transformation Is n’a plus de sens en dimension infinie mais I −1 garde un sens et
s’écrit de la manière suivante (après décomplexification) pour tout espace gaussien (H ⊃
U....Ω,γ)
Z
2
I −1 ˆ
2
f ∈ L (Ω) → f (z) =
f (q)eq.z−z /2 dγ(q) ∈ F ockH.
Ω
I
−1
permet de réaliser les correspondances suivantes:
coté L2 (Ω) coté F ockH
∇
D
T
δ=∇
DT
N = δ∇
N = DT D
Considérons maintenant IC n identifié à son dual et muni de la gaussienne complexe:
¯ ∧ dz avec z = (z1 ,....zn ) et dz = dz1 ∧ ..... ∧ dzn . L’espace
γ 0 = (2iπ)−n (exp − |z|2 )dz
n
vectoriel P (IC ) engendré par les monômes z̄ α z β =z̄α1 1 .....z̄ αnn z1β1 .....znβn est dense dans
L2 (IC n ,γ 0 ). Notons que F ock(IC n ) se plonge isométriquement dans l’ espace L2 et on a
Z
n
∀f et g ∈ F ock(IC )
f (z)g(z)dγ 0 (z̄,z) = (f,g).
IC n
Reprenons la donnée U ⊂ H de la partie 4.2.1 et notons U r l’espace vectoriel réel
sousj acentàl0 espacevectorielcomplexeU.L0 injectionsuivanteétantlR−linéaire
α
z ∈ U r → (z̄,z) ∈ U = Ū × U
¯
et Imα engendre l’espace complexe U , celui ci peut être considéré comme le complexifié
¯
de U r . Rappelons que pour le triplet
S(Ū × U ) ⊂ F ock(Ū × U ) ⊂ P ol(Ū × U )
il faut remplacer l’opérateur N nombre de particules et l’opérateur D de dérivation des
séries formelles auxquels on est habitué par deux opérateurs. En effet, on a un opérateur
N1 (resp N2 ) de nombre de particules pour les séries formelles f (z̄) (respf (z 0 )), une
dérivation D1 par rapport à z̄ et une dérivation D2 par rapport à z pour les séries f (z̄,z 0 ).
Pour simplifier le langage les spécialistes d’analyse complexe et les physiciens utilisent
souvent la notation simplifiée U à la place de U r . Soit U ⊂ H , un espace vectoriel
probabilisé gaussien complexe avec conjugaison que l’on note (H ⊃ U... Ω,γ 0 ). La mesure
de probabilité a pour transformée de Laplace
Z
ez̄.w+z.w̄ dγ 0 (w̄,w) = exp(z̄.z), ∀z ∈ U.
Ω
49
Comme pour les espaces vectoriels probabilisés gaussiens réels, on suppose la donnée d’une
famille filtrante croissante de sous espaces (Uα ) de dimensions finies stables par la conjugaison, et de réunion U . Donc γ 0 est aussi définie par la famille (γα0 ) de ses images par
les surjections canoniques sα de Ω sur Ωα = Ω/(Uα⊥ ). L’espace P (Ω) des polynômes cylindriques complexes sur Ω est défini comme l’image de l’application
uk v l ∈ S(Ū × U ) → (u.w̄)k (v.w)l ∈ IC Ω .
L’espace P (Ω)∗ des distributions cylindriques complexes sur Ω (ou plus précisément sur
Ωr ) est défini comme le dual algébrique de P (Ω) . Par exemple dans [13], on obtient encore
une transformation de Laplace:
f ∈ P (Ω)∗ → Lf ∈ S(Ū × U ∗ ) = P ôl(Ū × U ).
Dans le cas particulier de mesures cylindriques f = (fα ) telles que le fα décroissent
exponentiellement, Lf est une série convergente dont la somme est donnée par la transformation de Laplace usuelle
Z
(Lf )(z̄,z) =
ez̄.w+z.w̄ df (w̄,w).
Ω
Comme P (Ω) est dense dans
L2γ 0 (Ω)
on obtient le triplet suivant:
P (Ω) ⊂ L2γ 0 (Ω) ⊂ P (Ω)∗ .
Ce triplet complexe est construit comme en 4.2.1. Plus précisément le produit scalaire
¯
f .g de L2 (Ω) étant sesquilinéaire, on note f.g la forme bilinéaire correspondante qui se
prolonge par dualité naturelle P (Ω)...P (Ω)∗ .
Théorème 4.2.1 (L’iscomorphisme I’ de triplets de B. Lascar et la formule correspondance pour I 0−1 )
La transformation suivante définie de P (Ω) et à valeurs à priori les fonctions en Ū × U
Z
0
I 0−1
−z̄.z
f → F (z̄.z) = e
ez̄.w+z .w̄ f (w̄,w)dγ 0
Ω
réalise un isomorphisme de triplets
P (Ω) ⊂
L2γ 0 (Ω)
'↓
'↓
S(Ū × U ) ⊂ F ock(H̄ × H)
On appelle I 0−1 la transformation chaotique
isométrie bien connue celle de décomposition en
correspondances suivantes:
coté L2 (Ω)
eα.w̄+β.w−α.β
¯ et ∇
∇
−
δ et δ
N1 et N2
coté Fock ( H̄ × H )
0
eα.z̄+β.z
D1 et D2
D1∗ et D∗2
N1 et N2
50
⊂
P (Ω)
↓ I 0−1
⊂ P ol(Ū × U )
complexe. Elle induit l’inverse d’une
chaos [8]. Notons que I 0−1 réalise les
Plus précisément, on définit les opérateurs linéaires figurant dans la colonne de gauche,
par transport de structure des opérateurs linéaires de la colonne de droite. Pour tout couple
(k,l) d’entiers supérieur ou égaux à 0, et 1 < p < ∞, on introduit l’espace W p,k,l (Ω) des
classes f ∈ Lpγ 0 (Ω) telles que la dérivée distribution ∇i ∇j f ∈ Lpγ 0 (Ω,Si (H̄) ⊗ Sj (H)) pour
i ≤ k, et pout j ≤ l. En raisonnant exactement comme dans le cas réel on a les espaces
de Sobolev:
W 2,k,l (Ω) = F ∈ L2 (Ω),(1 + N1 )k (1 + N2 )l F ∈ L2 (Ω) .
Comme dans le cas réel, ce résultat se prolonge par dualité pour tout couple (k,l) d’entiers
négatifs.
4.3
Fonction caractéristique et distribution caractéristique
en probabilité quantique.
Dans cette partie soit (H ⊃ U...Ω,γ 0 ) un espace de probabilté gaussien complexe muni
d’une conjugaison et notons LN (F ockH) l’espace des opérateurs à trace de F ockH.
Définition 4.3.1 La fonction caractéristique de tout opérateur B ∈ LN (Fock H) est
définie par
z ∈ H → T r(BW (z)),
et s’écrit à l’aide du système de Weyl:
+
T r(BW (z)) = e−z̄.z/2 T r[Beia (z̄)eia(z) ].
(4.3.3)
On est ainsi amené à introduire la fonction suivante sur H appelée fonction caractéristique
normale de B
+
H ∈ z → Bc (z) = T r[Be−a (z̄)ea(z) ].
(4.3.4)
Commençons par étudier le cas simple où B est cylindrique basé sur un sous espace
Uα de U de dimension finie:
Pour tout (u,v) ∈ U × U , B = |eu >< ev | désigne l’opérateur à trace f → (ev ,f )eu ).
On note V ect(|eu >< ev |) le sous espace de LN (F ock(H)) engendré par ces opérateurs.
D’après la définition de Bc on a pour tout z ∈ H
+
+
Bc (z) = T r(e−a (z̄)ea(z) ) = (ev ,e−a (z̄)ea(z) eu ) = exp(v̄.u − v̄.z̄ + u.z).
Comme Bc est cylindrique on peut lui associer la variable aléatoire cylindrique suivante
sur Ω que l’on note
(Bc )D = BcD : w ∈ Ω → BcD (w) = exp(v̄.u − v̄.ω̄ + u.ω).
Théorème 4.3.1 la transformation B → BcD restreinte à V ect(|eu >< ev |) se prolonge
par continuité en une isométrie bijective
N
B ∈ LHS (F ock(H)) → BcD ∈ L2γ ,(Ω).
51
Où N = I 0 ◦ S ◦ ν, ν est l’application noyau et S la transformation de F ock(H̄ × H)
définie par f (z̄,z 0 ) → f (z 0 , − z̄). Autrement dit N est la composée de trois isométries
ν
I0
S
bijectives: LHS (F ock) → F ock(H̄XH) → F ock(H̄XH) → L2γ ,(Ω). De plus le noyau B̃
et le symbole B(z̄,z 0 ) s’expriment en fonction de BcD
Z
0
0
z̄,z0
B̃(z̄,z ) = e
e−z̄.w̄+z .w BcD (w̄,w)dγ 0 (w̄,w)
(4.3.5)
Z
0
B(z̄,z ) =
0
e−z̄.w̄+z .w BcD (w̄,w)dγ 0 (w̄,w).
(4.3.6)
On dit que BcD est la distribution caractéristique de B
Preuve 4.3.1 Pour B = |eu >< ev | on a déjà calculé la distribution caractéristique et
0
comme I 0 (e−v̄ ⊗ eu )(w) = BCD (w), , le noyau de B est B̃(z̄,z 0 ) = eu.z̄+v̄.z = (eu ⊗ ev̄ )(z̄,z 0 )
alors l’application B → BcD est induite par I’◦S ◦ ν. Or vect(|eu >< ev |) est dense dans
LHS (F ockH) d’où le théorème.
Corollaire 4.3.1 a)L’application N = I 0 ◦ S ◦ ν se prolonge en un homéomorphisme
AP P L → P (Ω)?
b) Pour tout couple (k,l) d’entiers relatifs, N induit un homéomorphisme de l’ensemble
T k,l des applications linéaires B de F ockH à noyau B̃ vérifiant (1 + N1 )k (1 + N2 )l B̃ ∈
F ock(H̄ × H) sur l’espace de Marias W 2,k,l (Ω).
Notons T (resp W 2 (Ω) l’intersection des espaces T k,l ( resp W 2,k,l ) pour tous les couples
(k,l) d’entiers positifs, l’application N induit un isomorphisme de triplets
T
⊂
LH.S (F ockH)
'↓
'↓
W 2 (Ω) ⊂ L2γ 0 (Ω)
4.4
⊂
⊂
P (Ω)
↓ I 0−1
W −2 (Ω)
Représentation d’états quasi-libres du F ock à l’aide
d’opérateurs de densité.
Soient (H ⊃ U...Ω,γ 0 ) un espace gaussien complexe, b(z,z 0 ) une forme sesquilinéaire
positive sur H et A un opérateur auto-adjoint positif de H tel que (Az,z̄) = b(z,z 0 ). Soit
W la C ∗ algèbre engendrée par le système de Weyl {W (z),z ∈ U } et soit w = wA la forme
linéaire positive sur W définie par:
1
w(W (z) = exp(− b(z,z 0 )).
2
w est appelé un état quasi-libre.
Manuceau et Verbeure [15] ont montré que w est une forme linéaire positive sur W si et
seulement si b vérifie la condition suivante
2
|Im z̄.z 0 | ≤ b(z,z).b(z 0 ,z 0 ), ∀z et z 0 ∈ H.
L’état quasi libre s’écrit à l’aide des annihilateurs et créateurs sous la forme:
w(e−a
+(z̄)
ea(z) ) = ϕ(z̄,z)
52
où
ϕ(z̄,z) = exp[−(A − Id) z̄.z/2]
et A ≥ Id.
En mécanique quantique un opérateur positif de F ock dont la trace est égale à un est
appelé un opérateur de densité. Les physiciens disent qu’ un état sur W, est représenté
par un opérateur de densité B de F ock si w(W (z)) = T r(BW (z)), pour tout z ∈ H.
Cette formule s’écrit de la manière suivante en terme d’annihilateurs et créateurs
T r[Be−a
+(z̄)
ea(z) ] = ϕ(z̄,z) ∀z ∈ H.
Lemme 4.4.1 Soient A−Id un opérateur à trace de H, (λn ,n ∈ IN ∗ ) ses valeurs propres
et (en ,n ∈ IN ∗ ) une base de H de ses vecteurs propres, on note Fn la sous tribu engendrée
par w(ei ), i ≤ n, on pose
λj
Cn = Πj>n (1 + )−1 .
2
Alors (Cn ϕ◦sn Fn ) est une martingale uniformément bornée dans L2γ 0 (Ω), où sn désigne
la surjection canonique de H sur Un = V ect(ei ,i ≤ n).
Preuve 4.4.1 Soit n < m, et soit C un borélien de Un , alors on a:
Z
Cm
0
m
Z
(ϕ ◦ sm )(1C ◦ sn )dγ = Cm
exp[−
IC m
1X
0
λj |zj |2 ]1C (z1 .......,zn )dγm
,
2 j=1
(4.4.7)
qu’on peut décomposer en deux produits:
Z
m
1 X
λj
0
(I) = Cm
exp[−
λj |zj |2 )dγm−n
= Cm Πm
) = Cn
j=i+1 (1 +
2 j=n+1
2
C
et
Z
(II) =
(ϕ ◦ sn )1C ◦ sn dγ 0
R
d’où (4.4.7) = Cn (ϕ ◦ sm )1C ◦ sn dγ 0 . De plus
Z
|Cn (ϕ ◦ sn )|2 dγ 0 = Cn2 Πnj=1 (1 + λj ) → 1/ det A.
D’où le lemme.
Théorème 4.4.1 Soit w = wA un état quasi-libre sur la C ∗ -algèbre W engendrée par le
système de Weyl, alors, wA est representable par un opérateur de densité B du F ock si
A − Id est un opérateur à trace de H. Dans ce cas le symbole de Wick de B est donné
par
A + Id −1
B(z̄,z 0 ) = [det
] exp(−2.z̄.(A + Id)−1 z 0 )
2
Preuve 4.4.2 Soit λn les valeurs propres de A − Id, alors pour chaque n, il existe un
opérateur Bn à trace de F ock(H), tel que N (Bn ) = Cn (ϕ ◦ sn ), en plus son symbole est
Z
0
0
z̄.sn z 0
B̃ n (z̄,z ) = Cn e
e−sn¯z.w̄+sn z .w (ϕ ◦ sn )(w)dγ 0 (w)
53
= [det
comme B̃n F ock(H̄×H)
A + Id −1 z̄.sn z0
] e
exp[−2sn¯z.(A + Id)−1 sn z 0 ].
2
= kCn (ϕ ◦ sn )kL2 (γ) , et d’après la lemme, (Bn ) converge en norme
d’Hilbert-Schmidt vers l’opérateur B, de noyau
B̃(z̄,z 0 ) = [det
A + Id −1
] exp[z̄.z 0 − 2z̄.(A + Id)−1 z 0 ]
2
et de symbole de Wick égal à
A + Id −1
] exp[−2z̄.(A + Id)−1 z 0 ].
2
D’après la formule de trace de Berezin, on voit que B est un opérateur à trace, avec
B(z̄,z 0 ) = [det
T r[Be−a
+ (z̄)
1
ea(z) ] = exp[− z̄.(A − Id)z].
2
D’où le théorème.
4.4.1
Application: retour à la dimension finie
IRetrouvons les résultats connus en dimension finie en considérant U = IC n muni de sa
conjugaison z → z̄. Par transport de structure à l’aide de l’inverse de la transformation
A de Bargmann, on construit le système de Weyl de L2 (lRn ,dq) par
α + iβ
V (α,β) = ei(αP +βQ) = A−1 W ( √ )A
2
n
f orα,β ∈ lR . On obtient
f → (V (α,β)f )(q) = eiβ(q+α/2) f (q + α).
Corollaire 4.4.1 (Isométrie de Weyl).
L’application suivante définie par:
L2 (lR2d ,dq × dp(2π)−d ) −→ LHS (L2 (lRd ,dq))
Z
f (q,p) 7−→ B(f ) =
f (q,p)V (q,p)dqdp
lR2d
est une isométrie bijective dont l’application inverse associe à tout opérateur de Hilbert
Schmidt de L2 (lRd ,dq) la fonction caractéristique de Wigner :
B 7−→ f (q,p) = T r(BV (q,p)).
54
Bibliographie
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Mécanique
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Let.Notes.
Math.,vol.866,Springer
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Academic Press (1978).
56
Chapitre 5
Solutions viables d’une inclusion
différentielle du second ordre avec
contrainte.
57
Résumé
On montre l’existence de solutions viables pour une inclusion différentielle du second-ordre
du type
ẍ(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + F (x(t),ẋ(t)),x(t) ∈ K,
où K est un fermé de lRn , F est une multifonction semi-continue supérieurement, cycliquement monotone à valeurs compactes non vides et f une fonction de Carathéodory.
5.1
Introduction.
Bressan, Cellina et Colombo [5] ont prouvé l’existence de solutions du problème de
Cauchy:
ẋ(t) ∈ F (x(t)), x(0) = x0 ∈ K
où F est une multifonction semi-continue supérieurement cycliquement monotone et à
valeurs compactes.
Rossi [11] a prouvé la viabilité du problème. Cornet et Haddad [8] ont prouvé la viabilité
d’une inclusion différentiele du type:
ẍ(t) ∈ F (x(t),ẋ(t))
(x(0),ẋ(0)) = (x0 ,y0 )
x(t) ∈ K,
(5.1.1)
en imposant une condition forte sur l’ensemble de viabilité K et le vecteur tangent.
Dans ce travail, on présente un résultat d’existence de solutions locales d’une inclusion
différentielle du second ordre avec contrainte sur l’état et dont le second membre est une
multifonction cycliquement monotone perturbé par une fonction de Carathéodory. Plus
précisément, Soient K une partie non vide, fermée de lRn , U un ouvert non vide de lRn ,
F : K × U → lRn une multifonction semi-continue supérieurement à valeurs compactes,
cycliquement monotone et f : lRn × K × U → lRn une fonction de Carathéodory. On
prouve l’existence de solutions du problème
ẍ(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + F (x(t),ẋ(t))
(x(0),ẋ(0)) = (x0 ,y0 )
x(t) ∈ K,
(5.1.2)
Dans la littérature, même si le champs de vecteurs est à valeurs convexes, le point crucial
pour les problèmes de viabilité du second ordre est la condition de tangence. Elle fait appel
à des concepts non explicites comme le cône intérieur introduit par Duboviskij et Muljitin
et l’ensemble contingent du second ordre
dK (x + hy + 12 h2 z)
=
0
AK (x,y) = z ∈ Rn : lim+ inf
2
h
h→0
2
introduit par Ben Tal. Ici on montre notre résultat sous la condition de tangence suivante :
pour tout (t,x,v) ∈ IR × Ω il existe w ∈ F (x,v) tel que
Z t+h
1
h2
lim inf 2 dK (x + hv + w +
f (τ,x,v)dτ ) = 0
h→0+
h
2
t
58
5.2
Préliminaires et énoncé du résultat principal
Soit Rn muni de son produit scalaire h ; i et de sa norme k k. Soient K un sous
ensemble fermé non vide de Rn , et U un sous ensemble non vide ouvert de Rn on note
Ω = K × U . Pour tout x ∈ Rn , dK (x) désigne la distance de x à K. Pour r > 0, B(x,r)
est la boule centrée en x de rayon r et B(x,r) est sa fermeture, B est la boule unité de
Rn .
Soit F une multifonction de Ω à valeurs compactes non vides de Rn . Soit f une
fonction de R × Ω dans Rn . On suppose que F et f vérifient les conditions suivantes:
(A1) F est semi-continue supérieurement, i.e. pour tout (x,y) et pour tout ε > 0 il existe
δ > 0 tels que si k(x,y) − (x0 ,y 0 )k ≤ δ alors F (x0 ,y 0 ) ⊆ F (x,y) + εB;
(A2) il existe une fonction propre convexe et semi-continue inférieurement
V : Rn → Rn tel que F (x,y) ⊂ ∂V (y), où ∂V est le sous-differential de V ;
(A3) f : R × Ω → Rn est une fonction de Carathéodory , i.e. pour tout (x,y) ∈ Ω,
t → f (t,x,y) est mesurable et pour tout t ∈ R, (x,y) → f (t,x,y) est continue;
(A4) il existe m ∈ L2 (R) tel que kf (t,x,y)k ≤ m(t) pour tout (t,x,y) ∈ R × Ω;
(A5) ( Condition de tangence) pour tout (t,x,v) ∈ R × Ω, il existe w ∈ F (x,v) tel que
1
h2
lim inf
d
x
+
hv
+
w+
K
h→0+ h2
2
Z
t+h
f (τ,x,v)dτ = 0.
t
Soit (x0 ,y0 ) ∈ Ω, on suppose que F and f vérifient les conditions (A1)–(A5), on a le
résultat principal suivant:
Théorème 5.2.1 Il existe T > 0 et x(.) : [0,T ] → IRn absolument continue ainsi que sa
dérivée ẋ(.), telle que:
 ..
 x(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + F (x(t),ẋ(t)); p.s sur [0,T ]
(x(0),ẋ(0)) = (x0 ,y0 )
(5.1.2)

x(t) ∈ K pour tout t ∈ [0,T ] .
5.3
Existence de solutions.
Lemme 5.3.1 Soit V une fonction convexe, propre et semi-continue inférieurement tel
not
not
que pour tout (x,y) ∈ Ω, F (x,y) ⊂ ∂V (y), alors il existe r(x,y) = r > 0, M(x,y) = M > 0
tels que
kF (x,y)k = sup kzk ≤ M(x,y) , surB((x,y),r).
z∈F (x,y)
De plus V est M lipschitzienne sur B(y,r).
Pour la démonstration de ce lemme voir [6].
Soient r et M comme dans le lemme ci dessus et tel B(y0 ,r) ⊂ U. Soit T1 > 0 tel que
Z
0
T1
r
(m(s) + M + 1) ds < .
3
59
r
2r
On pose T2 = min
,
.
3(M + 1) 3 (ky0 k + r)
Notons Ω0 = K × B(y0 ,r) ∩ B((x0 ,y0 ),r), et soit 0 < T ≤ min (T1 ,T2 ) .
Le résultat suivant jouera un rôle important dans la preuve du théorème 5.2.1.
Lemme 5.3.2 On suppose que F et f vérifient les conditions A1 ,...,A5 . Alors
pour tout ε > 0 ilexisteη > 0 (η < ε) tels que pour tout (t,x,v) ∈ [0,T ] × Ω0
ε
w ∈ F (x,v) + B et h ∈ [η,ε] tel que
T
R t+h
h2
x + hv + w + t f (s,x,v) ds ∈ K.
2
il existe
Preuve 5.3.1 Soient (t,x,v) ∈ [0,T ]×Ω0 , et ε > 0. Comme F est semi-continue supérieurement,
alors il existe δx,v > 0 tel que
F (y,u) ⊂ F (x,v) + Tε B, ∀(y,u) ∈ B((x,v),δ(x,v) )
Par ailleurs pour tout (s,y,u) ∈ [0,T ] × Ω0 , et grâce à la condition de tangence il existe
hs,y,u ∈ ]0,ε] et α ∈ F (y,u) tels que
dK (y + hs,y,u u +
R s+h
h2s,y,u
ε
α + s s,y,u f (τ,y,u) dτ ) < h2s,y,u
2
4T
Introduisonsles ensembles définis par
R l+hs,y,u
h2s,y,u
ε
n
n
N (s,y,u) = (l,z,β) ∈ IR × IR × IR : dK (z + hs,y,u β +
α+ l
f (τ,z,β) dτ ) < h2s,y,u
.
2
4T
Or
kf (l,z,β)k ≤ m(l)
pour tout (l,z,β) ∈ lR × Ω
Le théorème de la convergence dominée, appliqué à la suite de fonctions (χ[t,t+hτ ] f (.,.))t
entraı̂ne que la fonction
Z l+hs,y,u
h2s,y,u
(l,z,β) 7−→ z + hs,y,u β +
α+
f (τ,z,β) dτ
2
l
est continue. Par conséquent la fonction
Z l+hs,y,u
h2s,y,u
(l,z,β) 7−→ dK z + hs,y,u β +
α+
f (τ,z,β) dτ
2
l
est continue . D’où N (s,y,u) est un ouvert.
De plus, puisque (s,y,u) est un élément de N (s,y,u), il existe une boule B((s,y,u),η(s,y,u) ) de
rayon η(s,y,u) < δx,v contenue dans N (s,y,u). Par conséquent on peut recouvrir le compacte
[0,T ] × Ω0 par un nombre fini de boules B((si ,yi ,ui ),ηsi ,yi ,ui ), i = 1,....,q.
60
not
not
not
Notons hsi ,yi ,ui = hi , i = 1,...,q,, η = min hi > 0 et ηi = ηsi ,yi ,ui .
i=1,...,q
Soit (t,x,v) ∈ [0,T ] × Ω0 . Comme (t,x,v) ∈ B((si ,yi ,ui ),ηi ) ⊂ N (si ,yi ,ui ) alors il existe
xi ∈ K et αi ∈ F (yi ,ui ) tels que
Z t+hi
αi − 2 (xi − x − hi v −
f (s,x,v) ds)
2
hi
t
Z t+hi
h2i
1
ε
ε
≤ 2 dK x + hi v + αi +
f (τ,x,v) dτ +
≤
.
hi
2
4T
2T
t
Posons
w=
R t+hi
2
(x
−
x
−
h
v
−
f (s,x,v) ds) . On a
i
i
t
h2i
Z t+hi
ε
h2i
f (sτ,z,u)dτ ∈ K et kαi − wk ≤
.
x + hi v + w +
2
2T
t
ε
Comme (t,x,v) ∈ B((si ,yi ,ui ),ηi ), et ηi < δx,v , on a F (yi ,ui ) ⊂ F (x,v) +
B, par
2T
ε
conséquent w ∈ F (x,v) + B. Ceci complète la preuve du lemme.
T
5.3.1
Approximation de solutions.
Notre approche repose sur la méthode d’Euler pour construire une suite de solutions
approchée et, via le théorème d’Ascoli, on montre qu’on peut en extraire une sous-suite
qui converge vers une solution du problème (5.1.2).
Soient (x0 ,y0 ) ∈ Ω0 et ε > 0. D’après le lemme 5.3.2, il existe η > 0, h0 ∈ [η,ε] et
ε
w0 ∈ F (x0 ,y0 ) + B tels que
T
Z h0
h20
x1 = x0 + h0 y0 + w0 +
f (τ,x0 ,y0 ) dτ ∈ K.
2
0
On pose y1 = y0 + h0 w0 . Puisque ω0 ∈ F (x0 ,y0 ) ⊂ B(0,M + 1) on a,

2
R
h

h
0
0


kx
−
x
k
=
h
y
+
w
+
f
(τ,x
,y
)
dτ
1
0
0
0
0
0
0

0

2



R
T

h0

≤ T ky0 k + kw0 k + 0 f (τ,x0 ,y0 ) dτ 


2
RT

≤ T ky0 k + 0 (M + 1 + m(τ ))dτ






r



≤ T ky0 k + ≤ r


3

61
et
r
< r,
3
ky1 − y0 k = kh0 w0 k ≤ T kw0 k <
d’où (x1 ,y1 ) ∈ Ω0
Par recurrence, pour tout p ≥ 2 etP
pour tout i = 1, . . . ,p−1, on construit (hi ,(xi ,yi ),wi )
éléments de [η,ε] × Ω0 × Rn tels que p−1
i=0 hi ≤ T et
Z hi−2 +hi−1
h2i−1
wi−1 +
f (τ,xi−1 ,yi−1 ) dτ ) ∈ K;
xi = (xi−1 + hi−1 yi−1 +
2
hi−2
yi = yi−1 + hi−1 wi−1 ;
ε
wi ∈ F (xi ,yi ) + B.
T
puisque hi ∈]η,ε[ alors il existe s, tel que
s−1
X
s
X
hi < T ≤
i=0
hi .
i=0
Par conséquent choisissons ε petit tel que
s−1 2
X
h
i
2
i=0
≤
s−1
X
hi < T.
i=0
Pour tout p = 1, . . . ,s − 1 on définit (hp )p ⊂ [η,ε], (xp ,yp )p ⊂ Ω0 , et (wp )p comme suit:
Z hp−2 +hp−1
h2p−1
xp = (xp−1 + hp−1 yp−1 +
wp−1 +
f (τ,xp−1 ,yp−1 ) dτ ) ∈ K;
2
hp−2
yp = yp−1 + hp−1 wp−1 ;
ε
wp ∈ F (xp ,yp ) + B.
T
Remarquons que pour tout p = 1, . . . ,s − 1, les points (xp ,yp ) sont dans Ω0 .
En effet d’après la définition de (xp ,yp ), on a
Z h0
p−1
p−1 2
p−2 Z hi +hi+1
X
X
X
hi
xp = x0 +
hi yi +
wi +
f (τ,x0 ,y0 ) dτ +
f (τ,xi+2 ,yi+2 ) dτ ;
2
0
i=0
i=0
i=0 hi
yp = yp−1 + hp−1 wp−1 ;
ε
wp ∈ F (xp ,yp ) + B.
T
Donc
kyp − y0 k ≤ k
p−1
X
hi wi k ≤ T (M + 1) ≤
i=0
r
≤ r,
3
(5.3.3)
et
kxp − x0 k
p−1
p−1 2
X
X
hi
=
hi yi +
wi +
2
i=0
i=0
p−1
Z
h0
f (τ,x0 ,y0 ) dτ +
0
p−2 Z
X
i=0
p−1
X h2
r X
i
≤ (ky0 k + )
hi + (M + 1)
+
3 i=0
2
i=0
62
Z
hi +hi+1
hi
T
m(τ ) dτ.
0
f (τ,xi+2 ,yi+2 ) dτ Or
p−1
X
hi ≤ T
p−1 2
X
h
i
et
i=0
2
i=0
d’où
r
kxp − x0 k ≤ (ky0 k + )T +
3
≤ T,
T
Z
(M + 1 + m(τ )) dτ,
0
r
r
kxp − x0 k ≤ T (ky0 k + ) + ≤ r;
3
3
(5.3.4)
par suite (xp ,yp )p ⊂ Ω0 .
1
et (t,x,y) = (hkq−1 ,xq ,yq )
k
donné par le lemme 5.3.2. Considérons la suite (τkq )k définie par
0
τk = 0 , τks = T
τkq = hk0 + ............. + hkq−1
et considérons la suite de fonctions (xk (.))k définies pour tout t ∈ τkq−1 ,τkq par :

Rt

(t − τkq−1 )2
xk (t) = xq−1 + (t − τkq−1 )yq−1 +
wq−1 + τ q−1 (t − τ ) f (τ,xq−1 ,yq−1 )dτ
k
2
 x (0) = x
k
0
Pour tout entier k et q = 1,...,s, soit hkq le réel associé à ε =
5.3.2
Convergence des solutions approchées.
D’après la définition de xk (.), on a pour tout t ∈ τkq−1 ,τkq
Rt
ẋk (t) = yq−1 + (t − τkq−1 )wq−1 + τ q−1 f (τ,xq−1 ,yq−1 )dτ
k
ẍk (t) = wq−1 + f (t,xq−1 ,yq−1 )
D’où les majorations
kẍk (t)k ≤ kwq−1 k + kf (t,xq−1 ,yq−1 )k ≤ M + 1 + m(t);
Z t
q−1
kẋk (t)k = kẋk (τk ) +
ẍk (τ ))dτ k;
τkq−1
kẋk (t)k ≤ kyq−1 k + T
Z
(M + 1 + m(τ ))dτ 0
2r
r
≤ kyq−1 k + ≤ ky0 k + ;
3
3
et
kxk (t)k =
kxk (τkq−1 )
Z
t
+
Z
τkq−1
ẋk (τ ))dτ k
T
2r
)dτ
3
0
2T
≤ kx0 k + T ky0 k + (1 +
)r.
3
≤ kxq−1 k +
63
(ky0 k +
(5.3.5)
Par conséquent on:
Z
T
2
T
Z
(M + 1 + m(t))2 dt.
kẍk (t)k dt ≤
0
0
Les suites (ẍk (.))k et (ẋk (.))k sont de normes bornées dans L2 ([0,T ] ,IRn ) et pour tout
t ∈ [0,T ] , les ensembles {xk (t)}k et {ẋk (t)}k sont relativement compacts. D’après le
théorème d’Ascoli, il existe une sous-suite notée aussi (xk (.))k et une fonction absolument
continue x(.): [0,T ] → IRn telle que
i) xk (.) converge uniformément vers x(.)
.
ii) xk (.) converge uniformément vers ẋ(.)
iii) ẍk (.) converge faiblement dans L2 ([0,T ] ,IRn ) vers ẍ(.)
On démontre que la famille des solutions approchées vérifie la propriété suivante:
Proposition 5.3.1 Pour tout t ∈ [0,T ] il existe
q ∈ {1,...,s} tel que
.
.
lim dgrF (xk (t),xk (t); ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),xk (τkq−1 ))) = 0
k→∞
q
Preuve
q−1 5.3.2
Parq construction de τk , pour tout t ∈ [0,T ], il existe q ∈ {1,...,s} tel que
q
t ∈ τk ,τk et (τk )k converge vers t.
De plus pour tout q = 1,...,s
.
ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),xk (τkq−1 )) = wq−1 ∈ F (xk (τkq−1 ) , ẋk (τkq−1 )) +
1
B
kT
Donc
.
.
lim dgrF ((xk (t),xk (t)); ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),xk (τkq−1 )))
1
≤ lim (xk (t) − xk (τkq−1 ) + ẋk (t) − ẋk (τkq−1 ) +
)
k→∞
kT
k→∞
2r
et (τkq )k converge vers t, alors
3
lim xk (t) − xk (τkq−1 ) = lim ẋk (t) − ẋk (τkq−1 ) = 0
Puisque kẍk (t)k ≤ M + 1 + m(t) , kẋk (t)k ≤ ky0 k +
k→∞
k→∞
donc
.
.
lim dgrF ((xk (t),xk (t)),ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),xk (τkq−1 ))) = 0
k→∞
Ceci complète la preuve.
Puisque xk (.) converge uniformément vers x(.) , ẋk (.) converge uniformément vers ẋ(.),
ẍk (.) converge faiblement dans L2 ([0,T ] , IRn ) vers ẍ(.), et (f (.,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))k converge
vers f (.,x(.),ẋ(.)) dans L2 ([0,T ] ; IRn ) et F étant semi-continue supérieurement alors d’après
le théorème 1.4.1 dans [3], x(.) est solution du problème convexifié suivant
64
ẍ(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + co(F (x(t),ẋ(t))) p.s dans [0,T ];
x(0) = x0 , ẋ(0) = y0 .
Par conséquent pour tout t ∈ [0,T ] on a
ẍ(t) − f (t,x(t),ẋ(t)) ∈ ∂V (ẋ(t))
(5.3.6)
Proposition 5.3.2 L’application x est une solution du problème (5.1.2).
Preuve 5.3.3 Par (5.3.6) et le lemme 3.3 de [7] on obtient
d
(V (ẋ(t))) = hẍ(t),ẍ(t) − f (t,x(t),ẋ(t))i p.s dans [0,T ];
dt
par suite,
Z
V (ẋ(T )) − V (y0 ) =
T
Z
2
kẍ(τ )k dτ −
0
T
hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))idτ.
(5.3.7)
0
D’autre part, pour q = 1, . . . ,s et t ∈ [τkq−1 ,τkq [,
1
ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 )) ∈ F (xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 )) +
B.
kT
Donc
1
ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 )) ∈ ∂V (ẋk (τkq−1 )) +
B,
kT
d’où, il existe bq ∈ B tel que
1
q−1
q−1
bq ∈ ∂V (ẋk (τkq−1 )).
ẍk (t) − f (t,xk (τk ),ẋk (τk )) +
kT
(5.3.8)
La propriété du sous-différentiel d’une fonction convexe entraı̂ne que pour tout z dans
∂V (ẋk (τkq−1 )), on a
V (ẋk (τkq )) − V (ẋk (τkq−1 )) ≥ hẋk (τkq ) − ẋk (τkq−1 ); zi.
Alors d’après 5.3.8
V (ẋk (τkq )) − V (ẋk (τkq−1 ))
≥ hẋk (τkq ) − ẋk (τkq−1 ); ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 )) +
1
bq i;
kT
d’où
V (ẋk (τkq )) − V (ẋk (τkq−1 ))
Z τq
k
1
≥h
ẍk (τ )dτ ; ẍk (t) − f (t,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 )) +
bq i .
kT
τkq−1
65
(5.3.9)
Comme ẍk est constant dans [τkq−1 ,τkq [, il s’ensuit que
V
(ẋk (τkq ))
−V
(ẋk (τkq−1 ))
Z
τkq
≥
τkq−1
Z
hẍk (τ ); ẍk (τ )idτ
τkq
−
Z
τkq−1
τkq
+
τkq−1
hẍk (τ ); f (t,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))idτ
hẍk (τ );
1
bq idτ ;
kT
Alors on a
V (ẋk (T )) − V (y0 )
Z T
s Z
X
2
≥
kẍk (τ )k dτ −
0
+
q=1
s
X
q=1
1
kT
Z
τkq
τkq−1
hẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))idτ
(5.3.10)
τkq
τkq−1
hẍk (τ ); bq idτ.
Ps R τkq
q−1
Remarque: La suite
),ẋk (τkq−1 ))idτ )k converge vers
q=1 τ q−1 hẍk (τ ); f (τ,xk (τk
k
RT
hẍ(τ
);
f
(τ,x(τ
),
ẋ(τ
))idτ
.
0
S
Puisque [0,T ] = sq=1 [τkq−1 ,τkq ], on a
s
X
Z
q=1
=k
τkq
hẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))idτ
q−1
τk
s Z
X
τkq
τkq−1
≤
q=1
s
X Z τkq
q=1
τkq−1
Z
−
T
hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))idτ 0
(hẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))i)dτ k
khẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ .
66
Or
τkq
s Z
X
q=1
≤
s Z
X
τkq
τkq−1
q=1
+
khẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ
τkq−1
s Z
X
s Z
X
=
τkq
τkq−1
q=1
Z
khẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))i − hẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ
τkq
τkq−1
q=1
s Z
X
τkq
τkq−1
q=1
+
khẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))ikdτ
khẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ
khẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))ikdτ
T
khẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))i − hẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ
+
0
Z
T
khẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ,
+
0
par conséquent
s
X
Z
τkq
hẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))idτ
q−1
q=1 τk
s Z τq
X
k
=
τkq−1
q=1
Z
Z
−
T
hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))idτ 0
khẍk (τ ); f (τ,xk (τkq−1 ),ẋk (τkq−1 ))i − hẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))ikdτ
T
khẍk (τ ); f (τ,xk (τ ),ẋk (τ ))i − hẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ
+
0
Z
T
khẍk (τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))i − hẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ))ikdτ .
+
0
Comme f est une fonction de Carathéodory, xk et ẋk sont uniformément lipschitz continues, kẍk (s)k ≤ M + 1 + m(s), m ∈ L2 ([0,T ],Rn ), xk → x, ẋk → ẋ uniformément et
ẍk → ẍ faiblement dans L2 ([0,T ],Rn ) alors le dernier terme converge vers 0. Alors la
remarque est démontrée.
Puisque
lim
k→∞
Z
s
X
1
q=1
k
τkq
τkq−1
hẍk (τ ); bq idτ = 0,
par passage à la limite quand k → ∞ dans(5.3.10) et en utilisant la continuité de V sur
la boule B(y0 ,r), on obtient
Z
V (ẋ(T )) − V (y0 ) ≥ lim sup
k→∞
T
2
Z
kẍk (τ )k dτ −
0
< ẍ(τ ); f (τ,x(τ ),ẋ(τ ) > dτ.
0
67
T
De plus, par (5.3.6), on a
kẍk22 ≥ lim sup kẍk k22 ,
k→∞
et par la semi- continuité inférieure de la norme, il s’ensuit que
kẍk22 ≤ lim inf kẍk k22 .
k→∞
Donc limk→∞ kẍk k22 = kẍk22 , i.e. ((ẍk ))k converge fortement vers ẍ dans L2 ([0,T ],Rn ).
Alors on peut extraire une sous suite notée aussi ẍk qui converges presque partout vers ẍ.
D’après la proposition (5.3.1), on déduit que
dgrF (x(t),ẋ(t),ẍ(t) − f (t,x(t),ẋ(t))) = 0
p.s sur[0,T ].
Comme le graphe de F est fermé, on a
ẍ(t) ∈ f (t,x(t),ẋ(t)) + F (x(t),ẋ(t)) p.s dans [0,T ].
Finalement, soit t ∈ [0,T ]. Rappelons qu’il existe (τkq )k tel que limk→∞ τkq = t pour tout
t ∈ [0,T ]. Or lim kx(t) − xk (τkq )k = 0, xk (τkq ) ∈ K et K est fermé, par passage à la limite
k→∞
quand k → ∞ on obtient x(t) ∈ K. Ce qui complète la preuve.
68
Bibliographie
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[2] F.Ancona, G.Colombo, Existence of solutions for a class of nonconvex differential inclusions. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 83 (1990).
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Viability theory. Spring Verlag, Berlin,(1984).
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differential inclusions. Academic Press, Inc. (1994).
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[8] B. Cornet, G. Haddad, Théorème de viabilité pour les inclusions
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[9] V. Lupulescu, A Viability result for second-order differential inclusions.
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[10] V. Lupulescu, Existence of solutions for nonconvex second-order
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[10] R. Morchadi, S. Sajid, Nonconvex Second order differential inclusions. Bulletin of the Polish Academy of sciences. vol. 47, no3, p267,281,
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69
[11] P. Rossi, Viability for upper semicontinuous differential inclusions. Diff.
Int. Eqs.,6:21-37,(1998).
70

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