THESE_AMINE.pdf

Nod’ordre : 2348
TH` ESE
pr´esent´ee `a
L’UNIVERSIT´ E MOHAMMED V-AGDAL
FACULT´ E DES SCIENCES RABAT
pour l’obtention du
DIPL ˆ OME DE DOCTORAT D’´ ETAT EN
MATH´ EMATIQUES
par
Saˆıda AMINE
CONTRIBUTION ` A L ANALYSE
STOCHASTIQUE ET ` A LA VIABILIT´ E
Soutenue devant le jury compos´e de :
Pr´esident : A. ZOGLAT Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat
Examinateurs :
M. EL KADIRI Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat
M. KABIL Professeur `a la Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia
R. MORCHADI Professeur Habilit´e `a la Facult´e des Sciences et Techniques de Mo-
hammedia
S. SAJID Professeur `a la Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia
A. ZINE EL ABIDINE Professeur Habilit´e `a la Facult´e des Sciences de Rabat

Avant-Propos
Cette th`ese est compos´eee de deux parties. Une partie a ´et´e effectu´ee au D´epartement
de Math´ematiques de la Facult´e des Sciences de Rabat. L’autre partie a ´et´e effectu´ee au
Laboratoire de Probabilit´e de la Facult´e des Sciences de Paris VI, France.
Je saisis l’occasion de l’ach`evement de ce travail pour exprimer ma gratitude `a Mon-
sieur Mohammed El KADIRI, Professeur `a la Facult´e des Sciences de Rabat, pour ses
conseils, ses encouragements constants et ses qualit´es humaines auxquelles j’´etais tr`es
sensible.
Je tiens `a exprimer toute ma reconnaissance `a Monsieur Ali Suleymen USTUNEL, Pro-
fesseur `a l’Ecole Nationale Sup´erieure des T´el´ecommunications de Paris, pour les conseils
efficaces et les encouragements constants qu’il m’a prodigu´es tout au long de ce travail
ainsi que pour la confiance qu’il m’a t´emoign´ee.
J’adresse mes vifs remerciements `a Monsieur Abdelhak ZOGLAT, Professeur `a la Fa-
cult´e des Sciences de Rabat qui me fait l’honneur de pr´esider le jury.
Mes remerciements s’adressent ´egalement `a Monsieur Abdelali ZINE EL ABIDINE,
Professeur Habilit´e `a la Facult´e des Sciences de Rabat, qui a accept´e de faire partie du
jury de cette th`ese.
Monsieur Said SAJID, Professeur `a la Facult´e des Sciences et Techniques de Moham-
media, m’a encourag´e dans ma recherche. Son int´erˆet pour mon travail est une source de
force et de motivation pour moi. Notre collaboration est le fruit de nos discussions. Je le
remercie d’ˆetre un rapporteur de cette th`ese.
Je suis redevable `a Monsieur Radouan MORCHADI, Professeur Habilit´e `a la Fa-
cult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour son aide, ses conseils, son soutien
constant et nos discussions qui ont abouti `a un d´ebut de collaboration.
J’exprime ma profonde reconnaissance `a Monsieur Mustapha KABIL, Professeur `a la
Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia, pour le soutien et les encouragements
constants qu’il m’a prodigu´es. Je le remercie d’ˆetre un rapporteur de ma th`ese.
Mes remerciements vont ´egalement `a Madame Marta SANZ SOLE Professeur `a l’uni-
versit´e de Barcelone, pour son soutien et son amiti´e.
J’exprime mes remerciements `a mes coll`egues du D´epartement de Math´ematiques de
la Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia. Plus particuli`erement, les Profes-
seurs, ALLALI, CHAIRA, HARFAOUI, MOUMIDA, NOUR EL ABIDINE et TAIK. Le
travail en leur compagnie est un r´eel plaisir.
Enfin, je tiens `a remercier toutes mes amies et surtout Aicha pour tout son soutien.
2

Je d´edie cette th`ese `a
mes tr`es chers parents et `a toute ma famille.
3

ANN´ EE 2007
Titre de la th`ese :
CONTRIBUTIONS ` A L’ANALYSE STOCHASTIQUE ET ` A LA VIABILIT´ E.
Pr´enom, Nom : Saida AMINE
R´esum´e :
Cette th`ese porte sur le calcul des variations stochastiques et la viabilit´e. Elle est com-
pos´ee de quatre chapitres. Dans les deux premiers chapitres, on utilise les techniques du
calcul de Malliavin pour d´emontrer les r´esultats obtenus.
Dans le premier chapitre, `a l’aide d’une classe de distributions sur l’espace de Wiener
abstrait, on d´emontre deux types de formules : une version stochastique du th´eor`eme de
Stokes, puis une formule d’Ito pour un processus `a deux param`etres et `a trajectoires non
monotones.
Dans le second chapitre, on d´efinit la loi d’une distribution et l’ind´ependance de deux
distributions. Ensuite, on ´enonce et d´emontre des versions de la loi des grands nombres
et le th´eor`eme de la limite centrale pour les distributions.
En ce qui concerne le troisi`eme chapitre, on s’int´eresse aux fonctions caract´eristiques
des lois quantiques. Pour tout op´erateur auto-adjoint positif et de trace unit´e, on d´efinit
la fonction caract´eristique `a l’aide du syst`eme de Weyl. On montre que cette fonction
se prolonge aux op´erateurs de Hilbert-Schmidt de l’espace Fock d’un espace de Wiener
complexe. A l’aide de la C¨* alg`ebre engendr´ee par le syst`eme de Weyl on d´emontre
l’analogue du th´eor`eme de Bochner.
Enfin, pour le quatri`eme chapitre on d´emontre un r´esultat sur la viabilit´e des solu-
tions d’une ´equation diff´erentielle multivoque avec contrainte sur l’´etat. En imposant une
nouvelle condition de tangence, on assure en l’absence de la convexit´e du second membre,
la convergence des solutions approch´ees.
Mots-clefs : Calcul de Malliavin, formule d’Ito, loi des grands nombres, th´eor`eme de
la limite central, viabilit´e.
4

Table des mati`eres
1 Introduction. 6
2 Calcul stochastique non adapt´e `a plusieurs param`etres. 16
2.1 Introduction................................... 17
2.2 Notations et pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Formule de Stokes de type Skorohod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Formule d’Ito pour un processus anticipatif `a deux param`etres `a trajectoire
non monotone et formule de changement de variable stochastique . . . . . 21
3 Loi des grands nombres et th´eor`eme de la limite centrale pour les dis-
tributions sur l’espace de Wiener. 37
3.1 Introduction................................... 38
3.2 Notations et pr´el´eminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Th´eor`eme de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Fonctions caract´eristiques des op´erateurs de Fock. 44
4.1 Introduction................................... 45
4.2 Notationsetrappels .............................. 45
4.2.1 Le triplet < F ockH > centr´e sur le Fock . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.2 Op´erateur de champ et syst`eme de Weyl-Segal . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Noyaux et symboles de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.4 Analyse differentielle sur les espaces gaussiens complexes . . . . . . 48
4.3 Fonction caract´eristique et distribution caract´eristique en probabilit´e quan-
tique........................................ 51
4.4 Repr´esentation d’´etats quasi-libres du F ock `a l’aide d’op´erateurs de densit´e. 52
4.4.1 Application: retour `a la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Solutions viables d’une inclusion diff´erentielle du second ordre avec
contrainte. 57
5.1 Introduction. ................................. 58
5.2 Pr´eliminaires et ´enonc´e du r´esultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Existencedesolutions. ............................. 59
5.3.1 Approximation de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.2 Convergence des solutions approch´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5