Groupe d`homologie d`un complexe simplicial. Généralités sur les

Séminaire Henri Cartan
J. P. S ERRE
Groupe d’homologie d’un complexe simplicial. Généralités
sur les groupes à dérivation
Séminaire Henri Cartan, tome 1 (1948-1949), exp. no 2, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A2_0>
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2-01
Séminaire H.
1948/49. Topologie algébrique.
GROUPE D’HOMOLOGIE D’UN COMPLEXE SIMPLICIAL
GÉNÉRALITÉS
un
1.- Chaînes d’un
GROUPES À DÉRIVATION.
SUR LES
exposé
J.P,
SERRE,
le
15.11.1948)
complexe simplicial.
complexe simplicial. On appelle "simplexe ordonné de dimension
"
toute suite de p+1 éléments de ~~ ~ distincts ou non, qui appartiennent à
p
K
un même simplexe de
(on distingue donc entre un "simplexe" tout court, qui
est une partie de K , et un "simplexe ordonné", qui est une famille d’éléments,
non nécessairement distincts, d’un simplexe de
K ). Un simplexe ordonné sera
noté
... ,
a ) ; l’ordre dans lequel sont écrits les "sommets" a .
(a,
Soit
K
un
est essentiel.
formé des combinaisons linéaires forConsidérons le groupe abélien C
p
melles (finies) de simplexes ordonnés de dimension p 9 avec des coefficients en-
( >, 0
tiers
C)) quelconques.
ou ~
C’est le groupe
simplexes ordonnés de dimension
nes ordonnées de K, de dimension p .
ble des
C(K)
Soit
la
leurs de l’entier
somme
p
p . Ses
libre ayant pour base l’enseméléments s’appellent les chaîrelatifs à toutes les
directe des groupes
(pour
0
p
on
convient que
C
f (~T~
tous les
C’est le groupe libre ayant pour base l’ensemble de
(de
toutes
dimensions)
données de
du
K. On
l’anpelle
C(K) ,
en
Nous allons définir
identifia nt
ment de
C(K) )
à chacun des
simplexe
obtenu
en
effectuant
dices des sommets de
c’est-à-dire le nombre
0
).
simplexes ordonnés
le groupe des chaînes
or-
x, et
+1
d’ équiva lence, dans le
chaque simplexe ordonné x (considéré comme éléla notation 03C3(x) désigne le
une
~~. désigne
ou
-1
la
suivant
relation
une
permutation
quelconque
"signature"
1 ~ pyrite de
simplexe ordonné de dimension
permutations donnent naissance à nutnnt
les sommets d’un
la relation
réduit à
K.
Simplexe orienté.groupe
complexe
se
va-
d’équivalence précédente
p
de
sur
l’ensemble des in-
de la
permutation cr ,
cette permutation. Si
sont tous distincts, les
simplexes ordonnée distincts ;
les identifie tous à l’un d’eux
(p+l):/2 simplexes
ou
à
son
d’oux par
provenant de
mêti on paire de ses sommets constitue ce qu’on appelle un simplexe orienté.
me simplexe (partie de
il ) peut être affecté de deux orientations différentes
opposé.
La classe des
(sauf
auquel
pour
Lorsque les
sommets d’un
l’identification de
C(K) .
il n’est pas
cas
simplexe ordonné
x
ce
(x)
d’orientation).
question
x
ne
sont pas tous
conduit à identifier
à
x
distincts,
dans le
-x
plus : nous identifierons x à 0 . Ceci
conduit à considérer le groupe c (K) , quotient du groupe C(K) par le sous-groupe (dénoté provisoirement ~’ j engendré par les simplexes ordonnés à sommets non
distincts, et par les chaînes de la. forme x e~ (x~ ~ où x désigne un simplexe ordonné à sommets distincts y et 03C3 une permutation quelconque sur ses somle groupe des chaînes orientées du complexe Il ;
mets. Le groupe c
groupe
il est
p .
Dans
Choisissons,
sur
pour chaque
l’ensemble de
fois pour toutes
lement
une
ordonné) ;
choisis,
ferons
nous
directe des sous-groupes
sor~~~e
déterminée
ce
simplexe
ses
des chaînes
p
(K~
de dimension
c
relation d’ordre
(pour
une
fa ire,
ce
K, qui
sur
alors les images dans
constituent
une
p,
sommets
orientées de dimension
on
relation d’ordre bien
peut
fasse de
K
donner
se
un
une
ensemble tota-
simplexes ordonnés ainsi
(K) , qui est donc un groupe libre.
des
base du groupe
c
2.- Bord. Groupe d’homologie.
Dans chacun des groupes
’
(application
Commentons
C(K) ;
si
par
C(K) .
=
si x =
x =
(ao)
(a
0 ,
de dim.
(ao,...,ap) ,
où la notation
pression du
Soit
de dim.
c
lui-même, qui
un
x
x , noté
le bord de
x
si
du groupe
en
et
ôx
1 ,
=
transforme
pose
un
a.
définir
un
somme
en
une
élément de
C(K) ,
endomorphisme
somme) , noté ~ .
comme
défini
élément de
comme
suit :
ôx = 0 ;
(a1)-(ao) ;
03A3i(-1)1(ao,...,âi,...,ap) .
(ao,...,âi,...,ap) désigne
sommet
on va
simplexe ordonné, considéré
est
on
(K) ,
dans le
simplexe
le
simplexe ordonné
obtenu par sup-
(ao,...,ap) .
définit par linéarité à partir des bords
des simplexes ord, qui la composent. Ce bord àx dépend linéairement de la
x
àx est de dimension p-I .
ne
est de dimension p,
x. Si
Le bord d’une chaîne ordonnée
Pour définir
l’opérateur
transforme tout élément de
C~
se
"bord" dans
en un
c (K) ,
élément de
il suffit de remarquer que
f*
(considérer
plexe ordonné qui a au moins doux sommets égaux, puis voir
d’un simplexe ordonné à sommets distincts quand on échange
tifs). Donc on peut définir d dans le groupe quotient
ce
le bord d’un sim-
que de-ient le bord
deux sommets consécu-
frontière
l’intuition que l’on
"orientée" d’un
réunion des faces orientées de
plexe.
a
c (K)
est
qui
par définition. Cet
opérateur ~ précise
simplexe "orienté", coince
a
de la
ce
sim-
Propriété
essentielle
pour tout
10 vérifier dans le groupe
lorsque
sulte pour
une
cas
c(K) ,
de
C(K)
pour
C’est
un
géométriques
assez
intuitives
à poser les définitions
propriété
conduisent,
que
nous
au
ré-
en
moins dans
donnons aussi bien
c(K) :
que pour
(resp, orientée)
que x
r . Tout
Une chaîne ordonnée
s’il existe un y
la
Il suffit de
expl icitement
calculant
en
simplexe ordo mé (ao,...,ap) ;
chaîne quelconque, par linéarité.
est
x
Des considérations
le
~(~x) = 0 .
x , on a
tel
=
est
x
cycle
un
bord est
un
ôx
si
cycle (à
=
0 ;
un
bord
de
~c~
=
cause
0 ).
Z(K) pour le sous-groupe des cycles de C(K) j
B(K) pour le sous-groupe des bords de C (K) .
Le groupe quotient Z(K)/B(K)
s’appelle le groupe d’homologie du complexe K ,
et se note H(K) . On définit de même z(K) ~ b(K) et h(K) = z(K)/b(K) . On
verra plus tard qu’il existe un isomorphisme (canonique) de
H(K) sur
Notations :
H(K)
Les éléments de
C (K)
ments de
Z(K)
est
sont dits
s’appellent
directe des sous-groupes
sonnée
dimension
directe des
Z
B
deux élé-
d’homologie" ;
homologues si leur différence
p ) ; B(K) est somme
p ). Par suite, H(K)
dimension
aussi "classes
est
n (K) - ZB(K)
(h)
P (h) _
s’identifie canoniquement
bord.
un
de
p (K)(cycles
(bords de
(K)
à la.
directe
r~
C
somme
(et les groupes
d’homologie H
h (K) qui leur sont isomorphes) sont des invariants topologiques de l’espace
K . On remarquera aussi que si K est fini. le groupe c(K) a une base fice qui permet de
nie, et par suite h(I) e, un nombre fini de
est nul pour toupréciser sa structure (Voir l’exposé 3). D’ailleurs
On
verra
plus
te dimension
simplexes
de
tard que les groupes
hp(K)
p
strictement
est
désigne
un
plus grande
que la
plus grande
des dimensions des
I~ .
Interprétation de
B (K)
p (K)
nulle ; donc
sorbet de
H o (K)
une
.-
La
somme
des coefficients de tout élément de
divine de dimension
ne
de
0,
peut être homologue à
0
forme
que si
n(a )
n=0 . Si
(où
K
a
o
est
connexe (définition évidente), tout sommet de K est homologue à un sommet fixe,
est isomorphe au groupe additif des
arbitrairement choisi ; par
on voit que
est
entiers. Dans le cas général où K n’est pas
Ho(I;)
somme
bre
directe de sous-groupes
égal
à celui des
isomorphes
"composantes
au
groupe additif des
connexes" de
entiers,
K . Ces composantes
en nom-
connexes
(c.u
simplicial) correspondent biunivoquement aux composantes connexes (au
sens topologique) de l’espace
ce qui prouve la signification topologique du
groupe
H p (K) dans le cas particulier
sens
3.- Grou es d’homologie d’un com lexe sim le,
Définition :
complexe K sera dit simple si toute partie finie de K
est un simplexe (i.e. appartient à la
famille t qui définit la structure de
complexe simplicial). Dans tout complexe K , le complexe sous-jacent (cf, exposé 1) d’un simplexe de K est simple.
un
Théorème.- Si
additif des
K
entiers,
est
et
un
complexe simple,
(K)
H
est nul pour
H (K)
est
blir la
simplexe
t(x) ,
du
’ n-
x ; ~’ . e
p+1 , défini ainsi :
de dimension
groupe
-
0 ,
1
le
au
p ~ 1 .
première partie du théorème résulte de la fin
deuxième, associons à chaque simplexe ordonné
La
isomorphe
’
.’
~~~s
y’ .~~~_
t(ao,...,ap) = (b,ao,...,ap) ,
où
désigne
b
sonnet de
un
choisi
une
fois pour toutes.
prolonge en un endomorphisme de C(K) , noté encore
est un simplexe ordonné de dimension p ~ 1 , on a
x
=
+
cette relation linéaire est donc
p ~ 1 . Donc si
que
H
p
(K)
x
est
4.- Généralités
sur
les
encore
cycle,
Lxn
est nul pour
t(0x)
t ;
vérifie que si
vraie pour toute chaîne
x =
est
homologue
à
0 ;
vaut pour
serait-ce que celui des formas différentielles extérieures
férentiable)
munies de
l’opérateur
Un groupe à dérivation est
x
ceci montre
h(K) .
à dérivation.
C(K) et c(K) sont des exemples de
à dérivation ; nous en verrons plus tard d’autres
groupes
se
de dimension
x
Les groupes de chaînes
appeler
t
;
p ~ 1 . - La même démonstration
groupes
on
L’opérateur
un
une
de différentiation
extérieure.
groupe abélien
muni d’un
G
ce
qu’on peut
ne
variété dif-
endomorphisme d
0 pour tout x de G, Le noyau de cet
tel que d(dx)
endomorphisme (sousx
tels
que dx = a ) se note Z(G) ; ses éléments prennent parfois
groupe des
le nom de cycles (cf. ci-dessus), d’autres fois celui de cocycles (voir exposé
4). L’image de l’endomorphisme d (ensemble des dy où y parcourt G ) se
note B(G) ; ses éléments prennent parfois le nom de bords (ou bien de cobords).
On a B(G) c Z(G) p~..rce que dod
G s Le groupe quotient Z(G)/B(G) se note
=
=
H(G) j
l’appelle parfois
cohomologie.
on
On
aura
d’homologie
groupe
toujours à considérer,
presque
de
d’autres fois groupe de
G ,
groupe à
sur un
dérivation,
une
structure graduée compatible avec l’opérateur d. Définissons d’abord ce qu’on
entende en générale par groupe gradué : c’est un groupe abélien G muni d’une
décomposition
G =-
directe
~_
sont des sous-groupes tels que
G
les
n
n
tout élément de
~> g_ ~
s’écrive d’une seule manière
G
les
nuls sauf
s’appellent les éléments
s’appelle la composante homogène
nombre fini. Les éléments de
un
homogènes de degré
n ; si
g
03A3gn ,
=
étant
61 G
g~
n
G
g
de
n
degré
de
n
L’application
g.
projecteur~ c’est-à-dire une application linéaire de
= 0
(5 n o 6ri
pour
9 n On notera que
m
=
03B8n 03B8
.
Si maintenant
dite
de
compatible
n ) tel que d03BF03B8n
G
dans
sera
n
G
.
n+r
est
G
avec
un
groupe à
03B8n+r
=
d
-
Pour (que
G
pour tout
structure
passage
un
soit
en
n ;
graduée
au
r
0 ,
et
est
égal
dérivation,
Z(G) .
on
H(G) sur
Z (G)/B (G) .
On
a
de même
une
structure
un
=
-
sur
Lr
(indépendant
r
1 . Dans le
du groupe des
cas
-1 .
dans le
sens
qui
vient d’être dit.
0 (x)
Z (G)
soit
et
un
cycle
définit
une
graduée sur B(G) . Par
H(G) ; ces projecteurs
structure
projecteurs dans
sous-groupes Hn(G) , qu’on identifie
obtient d~s
d~s
entier
graduée
qui implique que d applique
est de degré r . Le plus sou-
à
une
telle que
ce
d
r
G
un
"’.
cycle, il faut et il suffit que
applique Z(G) sur un sous-groupe
sur
quoticnt,
.à
n
c’est
dans
un
appliquent
tients
gradué
groupe
E G
x
n ,
On dira que l’endomorphisme
=
G
s’il existe
d
pour tout
vent, on supposera 8n 0 pour
chaînes d’un complexe simplicial,
Soit
dérivation,
l’opérateur
6 ;
notée
sera
g 2014$> g.
aux
groupes quo-
5 .- Homomorphismes permis.
Soient
G
et
G’
deux groupes à
par la même lettre
phisme
f
fod
de
=
G
dans
G’
d ,
sera
dof , c’est-à-dire
dérivation,
nous
désignerons
les
opé-
pas de confusion. Un homomor-
ceci
dit permis si
f(àx)
dont
=
on
d(f(x))
a
pour tout
x
de
G.
Si de
0n
et
G’
désigner
les
G
plus
pour
sont
auquel
projecteurs de
d’homomorphisme pormis à
f applique
dans
f
homom,
un
G
cas
et
f03B8nn
tcI quo
Exemple : soient deux complexes sirpliciaux
C
(K)
K
de
simpliciale
de
f
(exposé 1 ) ,
dans
(Il ’ )
C
dans
obtient
un
associé à
H
n
Z(G’) ,
dans
homomorphisme f
f . Si de plus G
=
© of
=
réservera le
pour tout
n
On
K
ot
de
(~Q(ao~, ...,~(a ) ) .
n
homom,
un
B(G)
H(G)
G’
et
particulier,
de
permis
G
G’ ;
dans
f
alors
B(G’ ) ;
passage au quotient, on
dans H(G’) 9 f est ainsi canoniquement
sont gradués, f applique
Hn(G) dans
da ns
li
une
Transitivité : soient
trois groupes à
G’ ,
f’
dans
(resp.
En
G
H(G’ )
de
dans H(G") ,
dérivation,
f
proques l’un de
=
G ,
alors
et si
f
et
f
H(G)
et
homomor-
G" .
dans
Si
H(G’ )
on a
g
f’ of .
=
sont deux isomorphismes, réci-
f’
f’ sont
H(G") ),
dans
un
G’t
un
resp. de
G"
si
pc..rticulier,
et
un com-
dans le groupe
homomorphisme permis de
composé g = f’of, est un homomorphisme permis de G dans G"
(resp. f’ , g ) désigne l’homomorphisme correspondent de H(G)
phisme permis de
-
Alors
et
application simpliciale d’un complexa
plexe Il’ définit un homomorphisme du groupe d’ homologie de I~
d’homologie de Il’ , pour chaque dimension.
f
n ,
(G~) .
En
Le
nom
une applica:r’ 9
définit un homomorphisme permis
o
f
soit
cas
Z(G)
applique
on
en
f (ao
, ...,a
)
n
Dans le
G’ ,
de
ceux
G’ .
G
tion
utiliserons la môme lettre
nous
isomorphismes, réciproques
deux
~
l’un de
.. ,
Cas de la
composition
dos
applications simpliciales :
traduire les
résultats
précédents.
6.- Sous-groupes
F
Soit
d
G
de
tienne à
un
lo;
nom
un
pour tout
dira aussi que
vera
sous-groupe d’un
définisse
F
F
est
gr up:: à dérivation
endomorphisme de F, il
de F, autrement dit
x
un
sous-groupe permis.
de sous-groupe
projecteurs 03B8n ;
à dérivation.
dérivation.
et groupes quotients de greupes à
un
tel sous-groupe sera
Si
G , Pour que
et il suffit que
F
que
en
sous-grcupes
soit
outre
qui
G
stable
est
dx
pour
gradué,
d. On
on
raser
sont stables pour tous les
muni d’une structure de groupe
L’application
associe le
me
x
un
On
en
déduit
H(F)
-~
H(G)
permis.
GJ :
élément
dans
F
naturelle de
C(L)
(resp.
un cas
élément
de
F,
un homomorphis-
est
x
H
n (F)
--~ H
un
n (G)
dans le
de
"cycle"
d’une
cas
graduation) .
peut être homologue à
F
0
sous-complexe d’un complexe simplicial K ; le groupe
s’identifie à un sous-groupe permis de C(K) . D’où un homomorL
un
H(L)
phisme canonique :
Il est
un
homomorphisme (canonique)
n’est pas forcément biunivoque :
dans G sans l’être dans F .
des chaînes
à
appartenant à G )
considère
co
Exemple : soit
(celle qui,
G
--~
H (K ) .
H(F)
où l’on est certain que
celui où il existe
un
f
projecteur
de
G
~
H(G)
F
sur
est
qui
biunivoque : c’est
soit
un
homom,
permis.
puis l’homom. H(G) --~ H(F) défini par f, on obtient l’automorphisme identique de H (F) . D’où le résultat.
C’est ainsi qu’on peut montrer que si un complexe simplicial K est réunion de complexes
Ki disjoints (i.e: les sous-complexes Ki n’ont 2 à 2
En effet,
cun
effectuant successivement
en
sommet commun, et tout
s’identifie à la
groupe
Soit de nouveau
G .
L’endomorphisme
F ,
donc définit
tient
G/F.
Si de
plus
dans
G/F
simplexe
G
un
dérivation,
d
applique toute
endomorphisme (que
un
le
K. ),
directe des
somme
grnupe à
est contenu dans l’un des
I~
de
et
classe module
nous
noterons
F
un
F
sous-groupe
dans
de
classe modulo
une
d )
encore
permis
du groupe quo-
Ce groupe est donc aussi muni d’une structure de groupe à dérivation.
G
est
gradué,
par passage
L’application
la classe de
x
au
et
F
quotient,
naturelle de
modulo
sous-groupe
F )
est
G
un
et
sur
G/F
permis, les projecteurs
devient
G/F
(qui,
un
groupe
à chaque
homom. permis $ d’où
un
gradué
en
opèrent
à dérivation.
G, associe
homomorphisme (canonix
de
que)
H(G) --~ H(G/F)
TT :
(resp.
H n (G)
-’~
H n (G/F)
).
sous-complexe d’un complexe K . Le grcupe C(K)/C (L)
s’appelle le groupe des chaînes (1(3 K module L ; on peut le noter C(K/L) . Il
lui correspond un groupe d’homologie de Ir module L , noté H(K/L) ; pour
que dimension n, on peut préciser H n (i:/L) , On verra que les grcupes
sont des invariants topologiques du couple formé de l’espace topologique K et
L. Dès maintenant, nous avons un homomorphisme canode son sous-espace (fermé)
ExemDle : soit
L
un
’
nique de
H(K)
dans
Autre exemple :
G
prenens pour groupe
des chaînes ordon-
le groupe
nées d’un complexe K , pour groupe quotient G/F le grcupe
orientées. On en déduit un homomorphisme canonique : H(K) *"~
plus
tard que c’est
isomorphisme du premier groupe
un
c (K) des chaînes
h(K) . Nous verrons
le second.
sur
7.- Le troisième homomorphisme et les suites exactes.
Soient
un
toujours G
sous-groupe permis.
un
groupe à dérivation
déjà défini
H (G)
--~
On
va
définir
contrairement
H
n (G/F)
2
aux
H
autres,
n+r (F) ,
r
ne
conservera
désignant
le
phe 4).
de
H(G)
--~
H (G/F)
.
~ ~ H(G/F) --~ H(F) ; mais celui-ci,
pas les degrés : il transformera
degré de l’opératur d (cf.
définir 03B4 , partons d’un élément 03B1 do H(G/F) ;
provient d’un élément x de G
G~F ~ qui
Cet élément
dx
tronsque 03B2
est bien
est
et z 6
G)
même image que
dx
y
F
-
Pour
cycle
et
homomorphismes canoniques
et
troisième homomorphisme
un
dans
deux
(éventuellement
transformé de
03B1
cycle de
un
F ,
alors
sans
dx
H(F) .
l’homomorphisme 03B4 , qui
dans
par
est
sera
se
x
remplacé
alors,
F .
tel que
donc définit un élément
déterminé par 03B1 . On peut remplacer
provient d’un
il
par
trouve ainsi
H (F) .
de
6
par
(où
x+y+dz
dx+dy, qui
définition, le
par
a
défini.
d’un quelconque de ces
signifie que le
homomorphismes est précisément l’image de l’homomorphisme précèdent. Par exemple,
le noyau de 03C9 est le sous-groupe de H(F) , image de H(G/F) par 03B4 .
forment
une
suite exacte : cela
La vérification de
séquences
théorème
cL
ce
seront d’une extrême
nalyser les propriétés de
gique (ex.:ô théorème do
Dans le
cas
où
G
la suite exacte
Fiais
pas de difficulté. Mais
importance.
graduée il
los degrés.
ce
convient de
On
con-
théorème permettra d’a-
décomposer
obtient, lorsque
ses
d
un
espace
topolo-
les
homomorphismes
est de degré +1,
(infinie)
o -~
H 0 (F~ ~ H 0 (~) -~ H 0 (~/F~ -~
et,
dans le
cas
présente pas
présente
situation d’un sous-espace formé dans
est
de la suite exacte suivant
ne
où
d
est de
... -~
degré
-1 :
H n (~) ~ ~ n (~) -~ H~(G/F)...
2-09
03C0
Naturalité : les 3 homomorphismes 03C9 ,
et 03B4
sens
sont naturels, dans
suivant. Supposons un autre groupe à dérivation G’ , et un honcnorphisne permis
f
de
G
groupe
G’/F ’ ,
dans
permis
G’ , qui applique
F’
G’ . On
do
~:t par suite
cn ~.
Cela dit, la naturalité
un
sous-groupe permis
en
un
F
de
homomorphisme permis
dans
G
do
un sous-
G/F
dans
3 homomorphismes
s’exprime
par le
de
compatibilités :
signification de cette écriture est la suivante : de quelque manière que l’on
compose des homomorphismes désignés par des flèches, l’homonorphisme composé ne
non du chemin suivi.
du point de départ ~;t du point
dépend
La
Application
sent dans le
trois grcupes
cas
aux
complexes simpliciaux : los résultats
où l’on envisage
d’homologie
de
L 9
un
de
précédents
complexe K , un sous-complexe
h ? et de K r:odulo L .
se
L ,
traduiet les