FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES Factoriser

FACTORISATIONS POLYNOMIALES ÉLÉMENTAIRES
POUR LES ÉLÈVES DE 1ERE ANNÉE
Factoriser signifie (en mathèmatiques) écrire sous la forme d’un produit (non trivial)
de facteurs. Évidemment, on peut toujours écrire a = 1 · a, mais une telle factorisation
est appellée triviale, 1 étant l’élément neutre multiplicatif.
Exemples de factorisations. 1) d’un nombre naturel : 120 = 23 · 3 · 5 appelée aussi, décomposition d’un entier en un produit de facteurs premiers.
2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) appelée par certains identité no 3
Nous allons nous intéresser dans cette note à la factorisation de polynômes et plus
spécifiquement à des méthodes de factorisations de base.
Méthode 1. La mise en évidence
Certainement la plus ’évidente’ de toutes les méthodes de factorisations, elle n’est autre
qu’une application de la propriété fondamentale a·b+a·c = a·(b+c), appelée distributivité
de la multiplication sur l’addition. Dans les cas simples, elle ne consiste qu’à identifier
l’existence d’un facteur présent dans chaque terme d’une sommes ou d’une différence.
Parfois, le facteur contenu dans chaque terme est toute une expression algébrique, qui
n’apparaît qu’après avoir déjà effectué une première mise en évidence. On pourrait appeler
une telle situation une mise en évidence de niveau 2.
Exemples. 1) 2x3 − 6x2 + 5x − 15 = 2x2 (x − 3) + 5(x − 3) = (2x2 + 5)(x − 3)
2) Il peut être nécessaire de regrouper les termes différemment (en utilisant la commutativité de l’addition) pour obtenir le résultat souhaité :
x3 + 7x2 + x + 7 = x3 + x + 7x2 + 7 · 1 = x(x2 + 1) + 7(x2 + 1) = (x + 7)(x2 + 1)
Méthode 2. La formule du binôme
Autres factorisations quasiment immédiates, celles provenant de la formule du binôme :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
Exemples. 1) x4 + x2 + 0, 25 = (x2 + 0, 5)2
2) En combinant méthode 1 et 2 : 2x3 − 28x2 + 98x = 2x(x2 − 14x + 49) = 2x(x − 7)2
Méthode 3. Identité 3 ou "la différence de deux carrés"
Certainement la plus efficace de toutes les méthodes de factorisations ! On peut l’abréger
par A2 − B 2 = (A − B)(A + B). Le véritable enjeu consiste à identifier (ou construire
parfois par des artifices comme nous verrons par la suite) les termes A et B.
Exemples. 1) Direct x4 − 16 = (x2 − 4)(x2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4)
2) En combinant les méthodes 1 et 3 :
3x4 −27x2 +5x2 −45 = 3x2 (x2 −9)+5(x2 −9) = (x2 −9)(3x2 +5) = (x−3)(x+3)(3x2 +5)
1
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Méthode 4. La complétion du carré
Cette dernière n’est autre qu’une combinaison des deux (voire trois) précédentes, l’objectif
à garder en tête étant d’arriver à écrire sous la forme d’une différence de deux carrés,
en utilisant l’astuce suivante : ajouter et soustraire (voire multiplier et diviser par) une
expression auxiliaire.
Exemples. 1) x2 + 6x2 + 8 = x2 + 6x+9 − 9 + 8 = (x + 3)2 − 1 = (x + 3)2 − 12 =
(x + 3 − 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4) (que l’on peut aisément obtenir par l’identité
√ 24)
2
2
2
2
2
2) En revanche
x −8x −11
√ = x −8x+16 − 16−11 = (x−4) −27 = (x−4) −( 27) =
√
(x − 4 − 27)(x − 43 + 27) ∈ R[x] ne peut être obtenu avec l’identité 4 !
3) En combinant les méthodes 1, 2 et 3 : première astuce consiste à multiplier et à diviser
par 4 afin que le terme central soit pair pour éviter d’avoir trop de fractions
1
1
1
x2 − 3x + 1 = (4x2 − 12x + 4) = (4x2 − 12x+9 − 9 + 4) = ((2x − 3)2 − 5)
4
4
4
√
√
√
1
1
= ((2x − 3)2 − ( 5)2 ) = (2x − 3 − 5)(2x − 3 + 5) ∈ R[x]
4
4
4) Toujours en combinant les méthodes 1, 2 et 3 mais en commençant par multiplier et
diviser le tout par 2 afin que le premier terme soit un carré
!
1
1
25 25
1
5 2 25 56
2
2
2x + 5x − 7 = (4x + 10x − 14) =
4x + 10x+ −
− 14 =
2x +
−
−
2
2
4
4
2
2
4
4
!
2
9
1
5 9
5 9
1
1
5 2
−
=
2x + −
2x + +
= (2x + 2)(2x + 7) = (x + 1)(2x + 7)
=
2x +
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
5) Exemple célèbre de l’histoire des mathématiques (Leibniz, Bernoulli, Euler et Germain)
x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4)−4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 = (x2 + 2 − 2x)(x2 + 2 + 2x)
Méthode 5. La complétion du rectangle
Elle consiste à essayer d’écrire sous la forme d’un produit de deux polynômes de degré 1.
Exemple d’utilisation. Déterminer les solutions entières de l’équation : xy − 4x + 12y = 53
xy − 4x + 12y = 53 ⇔ (x + 12)(y − 4) + 48 = 53 ⇔ (x + 12)(y − 4) = 5 Or, les diviseurs de 5
sont ±1 et ±5 d’où x1 = −11, y1 = 9, x2 = −13, y2 = −1, x3 = −7, y3 = 5 et x4 = −17, y4 = 3
Exercice. Quels sont tous les triangles pythagoriciens dont l’aire = le périmètre ?
Remarque. Il aurait été de rigueur d’indiquer d’entrée dans cette note que la factorisation n’a
de sens que si l’on indique clairement la structure algébrique dans laquelle on travaille !
Exemple. x4 − 4 = (x2 − 2)(x2 + 2) si on regarde le polyômes dans Z[x].
Cependant, si on le regarde dans √
R[x], alors
√
x4 − 4 = (x2 − 2)(x2 + 2) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 2)
et si on le considère dans C[x], alors
√
√
√
√
√
√
x4 − 4 = (x2 − 2)(x2 + 2) = (x − 2)(x + 2)(x2 + 2) = (x − 2)(x + 2)(x − 2i)(x + 2i)
Recommandation. Si aucune indication est donnée alors factoriser dans le domaine en question.
Si l’on indique factorise au maximum, il est sous entendu alors que l’on travaille dans R[x].
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