Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur la réduction des endomorphismes 1. Valeurs propres communes 2. Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C) 3. Diagonalisation dans M3 (k) 4. Trigonalisation dans M3 (k) 5. Valeur propre commune 6. Sous-groupe fini de GL(E) 7. Trace nulle des puissances d’une matrice 8. Limite de suites de matrices 9. Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C) 10. Matrice compagnon 11. Polynôme caractéristique d’un produit 12. Le rayon spectral Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur la réduction des endomorphismes Énoncés Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 1. – Valeurs propres communes Soit f et g deux endomorphismes d’un k-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que f ◦ g et g ◦ f ont même valeurs propres (f et g ne sont pas supposés commuter). Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C) D’abord pour k = R puis pour k = C, étudier la possibilité de diagonaliser l’endomorphisme de k3 déterminé dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par la matrice 0 M= 1 0 −2 0 0 −1 2 0 Dans le cas où il est diagonalisable, déterminer des matrices P ∈ GL3 (k) et D ∈ M3 (k) diagonale telles que M = P DP −1 et calculer M k , k ∈ N∗ . Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 3. – Diagonalisation dans M3 (k) Soit α, β, γ ∈ k. Discuter la possibilité de diagonaliser la matrice 1 M = 0 0 Indication Solution α β 1 γ 0 −1 F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 4. – Trigonalisation dans M3 (k) Trigonaliser l’endomorphisme de k3 déterminé dans la base canonique (e1 , e2 , e3 ) par la matrice −3 −3 2 M= 1 1 −2 2 4 −4 c’est-à-dire, déterminer des matrices P ∈ GL3 (k) et T ∈ M3 (k) triangulaire supérieure telles que M = P T P −1 . Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 5. – Valeur propre commune Soit A et B deux matrices de Mn (C). On suppose qu’il existe C ∈ Mn (C) non nulle telle que AC = CB. a. Montrer que Ak C = CB k pour tout entier k ∈ N et en déduire que P (A)C = CP (B) pour tout polynôme P ∈ C[X]. b. Montrer qu’il existe une valeur propre commune à A et B. Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 6. – Sous-groupe fini de GL(E) Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur un corps algébriquement clos tel que up = idE . Montrer que u est diagonalisable. Soit G un sous-groupe fini de GL(E). Montrer que tous les éléments de G sont diagonalisables. Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 7. – Trace nulle des puissances d’une matrice Soit k un corps algébriquement clos et A une matrice de Mn (k) telle que la trace de Ak soit nulle pour tout k ∈ N∗ . Montrer par récurrence que A est nilpotente. Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 8. – Limite de suites de matrices Soit A, B ∈ Mn (C) avec AB = BA et A diagonalisable. Montrer qu’il existe une suite (Bp )p∈N de matrices diagonalisables, de limite B, et vérifiant ABp = Bp A pour tout p ∈ N. Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C) Soit A, B ∈ Mn (C). Déterminer les valeurs propres de l’endomorphisme % % M (C) ϕ %% n M Indication Solution −→ Mn (C) %−→ M A + BM F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 10. – Matrice compagnon Soit P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 un polynôme de k[X]. La matrice compagnon de P est la matrice M = (αij ) ∈ Mn (k) définie par αij = &1 0 −ai−1 si i = j + 1 et 1 ! j ! n − 1 si i = & j + 1 et 1 ! j ! n − 1 si j = n et 1 ! i ! n a. Déterminer le polynôme caractéristique χM de M . b. Déterminer le polynôme minimal µM de M . Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 11. – Polynôme caractéristique d’un produit Soit A et B deux matrices de Mn (C). Montrer que AB et BA ont même polynôme caractéristique. Indication Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 12. – Le rayon spectral Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie et || · || une norme sur L(E). Soit u ∈ L(E), on note ρu le rayon spectral de u (le module maximal des valeurs propres de u). Montrer que ρu = lim ||up ||1/p p→+∞ Indication Solution F. Geoffriau Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur la réduction des endomorphismes Indications Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 1. – Valeurs propres communes Indication Soit λ une valeur propre de f ◦ g. Si λ est nulle, montrer que g ◦ f n’est pas inversible (utiliser le déterminant). Si λ est non nulle, prendre un vecteur propre associé à λ. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C) Indication Le polynôme caractéritique de A est X 3 + 4X. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 3. – Diagonalisation dans M3 (k) Indication Discuter suivant α. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 4. – Trigonalisation dans M3 (k) Indication Autant chercher une forme de Jordan. La seule valeur propre de M est −2, choisir alors un vecteur qui n’est pas annulé par (M + 2I3 )2 . Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 5. – Valeur propre commune Indication a. Faire une récurrence. b. Prendre comme polynôme, le polynôme caractéristique χA (ou le polynôme minimal) de A et raisonner par l’absurde en montrant que si B n’a pas de valeur propre commune avec A, χA (B) est une matrice inversible. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 6. – Sous-groupe fini de GL(E) Indication L’endomorphisme u est annulé par le polynôme X p − 1. Pour la deuxième question, utiliser l’ordre du groupe. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 7. – Trace nulle des puissances d’une matrice Indication On montrera que 0 est une valeur propre de A en utilisant le théorème de CayleyHamilton, il existe alors P ∈ GLn (k), B ∈ Mn−1 (k) et X ∈ M1,n−1 (k) telles que P Énoncé Solution −1 AP = ' 0 0 X B ( F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 8. – Limite de suites de matrices Indication Remplacer A par une matrice diagonale et montrer alors que B est diagonale par bloc. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C) Indication Les valeurs propres de ϕ sont les complexes de la forme λ + µ avec λ valeur propre de A et µ valeur propre de B. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 10. – Matrice compagnon Indication a. Pour calculer le déterminant det(XIn − M ), ajouter à la première ligne une combinaison des autres lignes et développer. b. Considérer l’application f : kn → kn dont la matrice associée dans la base canonique (e1 , . . . , en ) est M et montrer que, pour tout polynôme Q non nul de degré strictement inférieur à n, Q(f )(e1 ) est non nul. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 11. – Polynôme caractéristique d’un produit Indication Première méthode : le démontrer tout d’abord pour A inversible puis considérer un voisinage V de 0 dans C tel que pour tout x ∈ V \ {0}, Ax = A + xIn soit inversible. Deuxième méthode : considérer les matrices par blocs M (λ) = Énoncé ' λIn − BA 0 Solution B In (' In λA B λIn ( N (λ) = ' 0 λIn − AB λIn A (' 0 In In B ( F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 12. – Le rayon spectral Indication On pourra prendre comme norme une norme sous-multiplicative, i.e. telle que pour tous v, w ∈ L(E) ||v ◦ w|| ! ||v|| ||w|| Et on pourra écrire u = d + n avec d, n ∈ L(E), d diagonalisable, n nilpotente et d ◦ n = n ◦ d. On montrera alors que Sp(u) = Sp(d) et qu’on peut se ramener au cas où u = d. Énoncé Solution F. Geoffriau Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau 2006-2007 Exercices sur la réduction des endomorphismes Solutions Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 1. – Valeurs propres communes Solution Soit λ une valeur propre de f ◦ g. Supposons λ nul. Alors f ◦ g est non bijective et son déterminant est nul (l’espace vectoriel étant de dimension finie, on peut parler de déterminant d’endomorphisme). Ainsi det(g ◦ f ) = det(g) det(f ) = det(f ) det(g) = det(f ◦ g) = 0 Donc g ◦ f est non bijective et en particulier non injective, d’où 0 est une valeur propre de g ◦ f . Supposons que λ soit non nul. Soit x un vecteur propre de f ◦ g associé à λ. Alors ) * ) * g ◦ f g(x) = g f ◦ g(x) = g(λx) = λg(x) Si g(x) = 0, alors λx = f ◦ g(x) = 0, ce qui est impossible car λ et x sont non nuls. Donc g(x) est non nul et c’est un vecteur propre de g ◦ f associé à λ. Ainsi λ est une valeur propre de g ◦ f . Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 2. – Diagonalisation dans M3 (R) ou M3 (C) Solution On a % % X % χM (X) = %% −1 % 0 % 2 0 %% X 1 %% = X 3 + 4X −2 X % Les valeurs propres de M dans C sont 0, 2i et −2i. Ainsi M n’est pas diagonalisable dans M3 (R) (car le polynôme χM n’est pas scindé dans R[X]) et est diagonalisable dans M3 (C) (car les trois valeurs propres sont distinctes). x Soit y ∈ C3 . On a z . x −2y = 0 y=0 M y = 0 ⇐⇒ x − z = 0 ⇐⇒ z=x z 2y = 0 . x x −2y = 2ix z = −x M y = 2i y ⇐⇒ x − z = 2iy ⇐⇒ y = −ix z z 2y = 2iz Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes . x x −2y = −2ix z = −x M y = −2i y ⇐⇒ x − z = −2iy ⇐⇒ y = ix z z 2y = −2iz Donc 1 0 1 1 −i −1 1 i −1 sont respectivement des vecteurs propres associés à 0, 2i et −2i. Donc en posant 1 1 1 0 0 0 P = 0 −i i et D = 0 2i 0 1 −1 −1 0 0 −2i on a M = P DP −1 . De plus det(P ) = 4i Ainsi on a Énoncé et 1 1 M = 0 4 1 Indication P −1 2i 1 1 t i = Com(M ) = det(M ) 4i i 1 1 0 −i i 0 −1 −1 0 0 0 2 2i 0 1 0 −2i 1 0 2i −2 −i 2 −i 0 2 2i −1 −2i −1 F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes Et pour k ∈ N∗ , Ainsi M k = (P DP −1 )k = P Dk P −1 k 1 1 1 0 0 0 2 0 2 1 i 0 2i 0 1 2i −1 = 0 −i 4 1 −1 −1 0 0 −2i 1 −2i −1 0 0 0 1 1 1 2 0 2 1 0 1 i 0 (2i)k 2i −1 = 0 −i 4 k 1 −1 −1 1 −2i −1 0 0 (−2i) (2i)k + (−2i)k (2i)k+1 + (−2i)k+1 −(2i)k − (−2i)k 1 = −i(2i)k + i(−2i)k −i(2i)k+1 + i(−2i)k+1 i(2i)k − i(−2i)k 4 −(2i)k − (−2i)k −(2i)k+1 − (−2i)k+1 (2i)k + (−2i)k M 2k Énoncé 1 = (−1)k 22k−1 0 −1 Indication 0 2 0 −1 0 1 et M 2k+1 0 = (−1)k+1 22k −1 0 2 0 −2 0 1 0 F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 3. – Diagonalisation dans M3 (k) Solution Soit (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de k3 et soit ϕ l’endomorphisme de k3 dont la matrice dans la base (e1 , e2 , e3 ) soit M . Les valeurs propres de ϕ sont 1 et −1, la première ayant une multiplicité de 2 et la deuxième de 1. On a ϕ(e1 ) = e1 et (ϕ − idk3 )2 (e2 ) = (ϕ − idk3 )(e1 ) = 0. Donc (e1 , e2 ) est une base du sous-espace caractéristique de ϕ associé à 1. Soit e4 un vecteur propre de ϕ associée à −1. La famille (e1 , e2 , e4 ) est une base de k3 et la matrice de ϕ dans cette base est 1 N= 0 0 α 0 1 0 0 −1 Si α est nul, alors N est diagonale et M est diagonalisable. Si la matrice M est diagonalisable, la restriction de ϕ au sous-espace caractéristique associé à 1 est diagonalisable et donc sa matrice dans la base (e1 , e2 ) ' Énoncé Indication 1 0 α 1 ( F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes est diagonalisable et alors α = 0. Autre méthode. Le polynôme caractéristique de M est (X − 1)2 (X + 1), donc le polynôme minimal de M est (X −1)(X +1) ou (X −1)2 (X +1). Ainsi M est diagonalisable si et seulement si elle est annulée par (X − 1)(X + 1) = X 2 − 1, i.e. si et seulement si M 2 = I3 . Or 1 2α αγ M2 = 0 1 0 0 0 1 Donc M est diagonalisable si et seulement si α = 0. Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 4. – Trigonalisation dans M3 (k) Solution On a % %X + 3 % % −1 % % −2 % 3 −2 %% ) * X −1 2 %% = (X + 3) (X − 1)(X + 4) + 8 + 3(X + 4) − 8 − 12 − 4(X − 1) −4 X + 4% = X 3 + 6X 2 + 12X + 8 = (X + 2)3 Ainsi la seule valeur propre de M est −2. Soit v = (x, y, z) ∈ k3 , . −3x − 3y + 2z = −2x x + 3y − 2z = 0 x+y =0 M · v = −2v ⇐⇒ x + y − 2z = −2y ⇐⇒ x + 3y − 2z = 0 ⇐⇒ y−z =0 2x + 4y − 4z = −2z 2x + 4y − 2z = 0 donc le vecteur v1 = (1, −1, −1) est un vecteur propre de M et le sous-espace propre associé est de dimension 1. Donc M n’est pas diagonalisable et elle est semblable à la matrice −2 1 0 T = 0 −2 1 0 0 −2 Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes On cherche v2 ∈ k3 tel que M · v2 = v1 − 2v2 . Soit v = (x, y, z) ∈ k3 , −3x − 3y + 2z = 1 − 2x x + 3y − 2z = −1 M · v = v1 − 2v ⇐⇒ x + y − 2z = −1 − 2y ⇐⇒ x + 3y − 2z = −1 2x + 4y − 4z = −1 − 2z 2x + 4y − 2z = −1 . x+y =0 ⇐⇒ 2y − 2z = −1 on pose donc v2 = (0, 0, 1/2) . On cherche v3 ∈ k3 tel que M · v3 = v2 − 2v3 . Soit v = (x, y, z) ∈ k3 , −3x − 3y + 2z = −2x x + 3y − 2z = 0 M · v = v2 − 2v ⇐⇒ x + y − 2z = −2y ⇐⇒ x + 3y − 2z = 0 2x + 4y − 4z = 1/2 − 2z 2x + 4y − 2z = 1/2 . x + y = 1/2 ⇐⇒ 2y − 2z = −1/2 on pose donc v3 = (1/2, 0, 1/4) . On pose Énoncé Indication 1 P = −1 −1 0 1/2 0 0 1/2 1/4 F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes et on a M = P T P −1 . Autre méthode. On a 2 −3 2 2 3 −2 = −2 4 −2 −2 −1 2 (M + 2I3 ) = 1 2 2 −2 −2 0 0 0 On choisit un vecteur w3 n’appartenant au noyau de (M + 2I3 )2 , soit w3 = (1, 0, 0). Alors on pose w2 = (M + 2I3 ) · w3 = (−1, 1, 2) et w1 = (M + 2I3 ) · w2 = (2, −2, −2) La famille (w1 , w2 , w3 ) est une base de k3 et l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de k3 est M a pour matrice dans la base (w1 , w2 , w3 ) la matrice −2 1 0 T = 0 −2 1 0 0 −2 Et en posant on a M = P T P −1 . Énoncé Indication 2 P = −2 −2 −1 1 1 0 2 0 F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 5. – Valeur propre commune Solution a. On a A0 C = In C = C = CIn = CB 0 . Soit k ∈ N, supposons que Ak C = CB k . Alors Ak+1 C = Ak AC = Ak CB = CB k B = CB k+1 Donc d’après/ le théorème de récurrence, pour tout k ∈ N, on a Ak C = CB k . Soit P = αk X k un polynôme de C[X]. Alors d’après ce qui précède 01 2 1 1 1 P (A)C = αk Ak C = αk Ak C = αk CB k = C αk B k = CP (B) b. Soit λ1 , . . . , λn les valeurs propres de A. Supposons qu’aucune ne soit valeur propre de B, alors pour tout i = 1, . . . , n, la matrice B − λi In est inversible et donc le produit χA (B) = n 3 i=1 (B − λi In ) 4n aussi, où χA = i=1 (X −λi ) est le polynôme caractéristique de A. Or d’après la première question et d’après le théorème de Cayley-Hamilton CχA (B) = χA (A)C = 0 donc C est nulle, ce qui est contraire aux hypothèses. Donc l’une des valeurs propres de A est valeur propre de B. Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 6. – Sous-groupe fini de GL(E) Solution Puisque up = idE , l’endomorphisme u est annulé par le polynôme X p − 1. Or ce polynôme n’a que des racines simples et donc l’endomorphisme u est diagonalisable. Soit p l’ordre du groupe G. D’après le théorème de Lagrange, pour tout u ∈ G, on a p u = idE et d’après ce qui précède, u est diagonalisable. Si de plus G est commutatif, on peut trouver une base commune de diagonalisation des éléments de G. Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 7. – Trace nulle des puissances d’une matrice Solution Si n = 1, il est clair qu’une matrice de trace nulle est nilpotente (et même nulle). Supposons que pour toute matrice B ∈ Mn−1 (k) dont les traces des puissances soient nulles est nilpotente. / Soit χA = k αk X k le polynôme caractéristique de A. D’après le théorème de CayleyHamilton, on a 1 0 = χA (A) = αk Ak k La trace étant une application linéaire, on a 01 2 1 0 = tr(0) = tr αk Ak = αk tr(Ak ) = nα0 k k Ainsi le terme constant du polynôme caractérisque de A (qui est det(A)) est nul. Par conséquent 0 est racine de χA et valeur propre de A. Il existe donc une matrice B ∈ Mn−1 (k) telle que A est semblable à une matrice de la forme 0 ∗ ··· ∗ 0 . .. B 0 Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes Par récurrence, on montre que pour tout k ∈ N∗ , Ak est semblable à une matrice de la forme 0 ∗ ··· ∗ 0 . .. Bk 0 donc tr(B k ) = tr(Ak ) = 0. Ainsi la matrice B vérifie les mêmes conditions que la matrice A. Par hypothèse de récurrence, B est nilpotente. Par conséquent il existe k ∈ N∗ tel que B k = 0 et Ak soit semblable à 0 0 . .. 0 ∗ ··· ∗ 0 Donc Ak est nilpotente ainsi que A. Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 8. – Limite de suites de matrices Solution Puisque A est diagonalisable, il existe une matrice P inversible et une matrice D de la forme λ1 In1 0 ··· 0 .. .. 0 . λ2 In2 . D= . . . .. .. .. 0 0 ··· 0 λr Inr telles que A = P DP −1 et λ1 , . . . , λr deux à deux distincts. On a P DP −1 B = BP DP −1 , d’où DP −1 BP = P −1 BP D. Ainsi la matrice D commute avec la matrice B & = P −1 BP . En écrivant la matrice B & = (Bi,j )i,j par blocs, on obtient λ1 B1,1 λ2 B2,1 . .. λr Br,1 λ1 B1,2 λ2 B2,2 .. . λr Br,2 · · · λ1 B1,r · · · λ2 B2,r .. = .. . . · · · λr Br,r donc Bi,j = 0 pour i, j ∈ {1, . . . , r}, i &= j. Énoncé Indication λ1 B1,1 λ2 B2,1 . .. λr Br,1 λ1 B1,2 λ2 B2,2 .. . λr Br,2 · · · λ1 B1,r · · · λ2 B2,r .. .. . . · · · λr Br,r F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes Pour i ∈ {1, . . . , r}, il existe une suite (Bi,i,n )n∈N de matrices diagonalisables convergeant vers Bi,i (il suffit de triangulariser la matrice Bi,i et de modifier les éléments de la diagonale). Pour n ∈ N, on pose Bn = B1,1,n 0 0 .. . 0 B2,2,n .. . ··· ··· 0 .. .. . . .. . 0 0 Br,r,n La matrice Bn est une matrice diagonalisable comme étant une matrice diagonale de matrices diagonaliables, elle commute avec D (car les matrices Bi,i,n commutent avec les matrices λi Ini ) et la suite (Bn )n∈N converge vers B & . Soit n ∈ N, la matrice P Bn P −1 est diagonalisable (étant équivalente à une matrice diagonalisable) et elle commute avec P DP −1 = A et la suite (P Bn P −1 )n∈N converge vers P B & P −1 = B Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 9. – Valeurs propres d’un endomorphisme sur Mn (C) Solution Soit λ et µ deux valeurs propres de A et B respectivement, alors λ est aussi une valeur propre de t A et il existe X, Y ∈ CC n non nuls tels que t AX = λX et BY = µY Alors en posant M = Y t X, on a ϕ(M ) = Y t XA + BY t X = Y t (t AX) + BY t X = (λ + µ)Y t X = (λ + µ)M Donc M étant non nulle, λ + µ est une valeur propre de ϕ. Réciproquement soit ν une valeur propre de ϕ et M ∈ Mn (C) une matrice non nulle telle que ϕ(M ) = νM . Donc M A = (νIn − B)M Par récurrence, on montre que pour tout entier k ∈ N, on a M Ak = (λIn − B)k M et par linéarité que pour tout polynôme P ∈ C[X], M P (A) = P (νIn − B)M . Soit µA le polynôme minimal de A. Puisque C est algébriquement clos, il existe λ1 , . . . , λk ∈ C telles que µA = (X − λ1 ) · · · (X − λk ) Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes et λ1 , . . . , λk sont les valeurs propres de A (non nécessairement deux à deux distinctes). On alors ) * ) * (ν − λ1 )In − B · · · (ν − λk )In − B M = µA (νIn − B)M = M µA (A) = 0 Comme M est non nulle, il existe i ∈ {1, . . . , k} tel que (ν − λi )In − B soit non inversible, et donc ν − λi est une valeur propre de B. Ainsi les valeurs propres de ϕ sont les complexes de la forme λ+µ avec λ valeur propre de A et µ valeur propre de B. Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 10. – Matrice compagnon Solution a. La démonstration se fait par récurrence. La propriété est clairement établie pour n = 1. Supposons qu’elle soit établie pour n − 1. On a χM Énoncé % %X % % % −1 % = %% 0 % . % . % . % 0 % %X % % % −1 % = X %% 0 % . % . % . % 0 Indication 0 X .. . .. . ... .. . .. . .. . ... 0 0 X .. . .. . ... 0 .. . 0 a0 a1 .. . X an−2 −1 X + an−1 ... 0 a1 .. .. . . a2 .. .. . 0 . .. . X a 0 n−2 % % % % % % % % % % % % −1 X + an−1 % % % % % % %+ % % % % % % % 0 % % % −1 % % % 0 % . % . % . % 0 0 X .. . .. . ... .. . .. . .. . ... 0 0 .. . 0 a1 a2 .. . X an−2 −1 X + an−1 % % % % % % % % % % % % F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes Et d’après l’hypothèse de récurrence, on a Donc χM % %X % % % −1 % % % 0 % . % . % . % 0 0 X .. . .. . ... .. . .. . .. . ... 0 0 .. . 0 a1 a2 .. . X an−2 −1 X + an−1 % % % % % % % = X n−1 + an−1 X n−2 + · · · + a2 X + a1 % % % % % % % −1 % % % 0 % n−1 n−2 n−2 % .. = X(X + an−1 X + · · · + a2 X + a1 ) + (−1) % . % . % .. % % 0 = X n + an−1 X n−1 + · · · + a2 X 2 + a1 X + a0 =P Énoncé Indication % ... 0 % .. %% .. . −1 . % % .. .. . . 0 %% % .. . X %% . . . . . . 0 −1 % X 0 .. . .. . .. . F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes b. D’après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme P = χM annule M . Pour montrer que c’est le polynôme minimal, il suffit de montrer qu’aucun polynôme de degré strictement inférieur à n ne peut annuler M . On a 0 ... 1 M= 0 . . . 0 .. . .. . ... 0 ... .. .. 0 . . 0 .. . .. . a0 −a1 .. . 0 −an−2 1 −an−1 Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de kn et ϕ l’endomorphisme de kn de matrice M dans cette base. On a ∀ i ∈ {1, . . . , n − 1} ϕ(ei ) = ei+1 et on montre par récurrence que pour tout k ∈ {1, . . . , n − 1}, on a ϕk (e1 ) = ek+1 et donc ϕk (e1 ) n’est pas combinaison linéaire de e1 , ϕ(e1 ), . . . , ϕk−1 (e1 ). Ainsi ϕ n’est pas annulé par un polynôme de degré k. Donc le polynôme minimal de M est de degré au moins n, c’est donc χM . Ainsi µM = χM = P . Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 11. – Polynôme caractéristique d’un produit Solution Supposons la matrice A inversible. Pour tout λ ∈ C, on a ) * χAB (λ) = det(λIn − AB) = det A(λIn − BA)A−1 = det(A) det(λIn − BA) det(A−1 ) = det(λIn − BA) = χBA (λ) Ainsi χAB = χBA . Supposons maintenant A non inversible. Soit λ ∈ C. Soit µ ∈ C un complexe qui ne soit pas valeur propre de A, la matrice A − µIn est inversible et on a ) * ) * det λIn − (A − µIn )B = χ(A−µIn )B = χB(A−µIn ) = det λIn − B(A − µIn ) Ainsi on a une égalité polynomiale vérifiée en une infinité de points (A possède un nombre finie de valeurs propres), elle est donc vérifiée pour tout complexe µ, en particulier pour 0. Par conséquent χAB (λ) = det(λIn − AB) = det(λIn − BA) = χBA (λ) et χAB = χBA . Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes 12. – Le rayon spectral Solution L’espace vectoriel L(E) étant de dimension finie, toute les normes sont équivalentes. En munissant E d’une norme quelconque, notée aussi || · ||, on munit L(E) de la norme des applications linéaires continues, i.e. ∀ u ∈ L(E) 8 7 ||u(x)|| ||u|| = sup ; x ∈ E \ {0} ||x|| c’est une norme sous-multiplicative. Soit λ une valeur propre de u telle que ρu = |λ| et soit x un vecteur propre associé. Pour tout p ∈ N∗ , on a |λ|p ||x|| = ||λp x|| = ||up (x)|| ! ||up || ||x|| et comme x est non nul, |λ|p ! ||up || et ρu = |λ| ! ||up ||1/p . Soit v ∈ L(E) un endomorphisme semblable à u et supposons que le résultat est démontré pour v. Il existe ϕ ∈ GL(E) tel que u = ϕ ◦ v ◦ ϕ−1 . Alors pour p ∈ N∗ , on a ||up || = ||(ϕ ◦ v ◦ ϕ−1 )p || = ||ϕ ◦ v p ◦ ϕ−1 || ! ||ϕ|| ||v p || ||ϕ−1 || ρv = ρu ! ||up ||1/p ! (||ϕ|| ||ϕ−1 ||)1/p ||v p ||1/p Énoncé Indication F. Geoffriau Agrégation Interne de Mathématiques, Université de La Rochelle, Exercices sur la réduction des endomorphismes La suite (||ϕ|| ||ϕ−1 ||)1/p )p∈N∗ converge vers 1 et donc d’après le théorème d’encadrement et limites, la suite (||up ||1/p )p∈N∗ converge vers ρu . D’après la décomposition de Dunford, il existe d, n ∈ L(E), d diagonalisable, n nilpotente telles que u = d + n et d ◦ n = n ◦ d. Quiite à remplacer u par u endomorphisme semblable, on peut supposer d diagonale et n triangulaire supérieure stricte (il suffit de d’écrire E comme somme directe des sous-espaces caractéristiques associés à u). L’endomorphisme n étant nilpotent, il existe un entier r tel que nr+1 = 0. On a ρu = ρd car u et d ont mêmes valeurs propres et ρd = ||d|| car d est diagonale. Soit p ∈ N∗ , on a ||u || = ||(d + n) || ! p p p 1 k=0 Cpk ||nk || ||d|| = ρu ! ||up ||1/p ||d p−k || ! ||d|| p r 1 Cpk k=0 r 01 ||n||k k 21/p ! ||d|| Cpk ||d|| ||n||k k ||d|| k=0 ) /r ||n||k k ||n||k k 1/p * est un polynôme en p, la suite ( k=0 Cpk ) p∈N∗ ||d|| ||d|| converge vers 1. Ainsi la suite (||up ||1/p )p∈N∗ converge vers ||d|| = ρu . Comme Énoncé /r p k=0 Ck Indication F. Geoffriau