Devoir Maison no2 PSI - Sept. 2016 Calculatrices interdites Théorème de Cayley-Hamilton Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de DF (K = R ou K = C). Notons χu son polynôme caractéristique. Le but de ce problème est de montrer que χu (u) = 0 (théorème de Cayley-Hamilton) de plusieurs manières différentes. Méthode 1. Avec la matrice compagnon. 1. Rappels sur la matrice compagnon. Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + +a1 X + a0 un polynôme unitaire de K[X]. Montrer que le polynôme caractéristique associé à la matrice : ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⋮ 0 0 0 0 . . . 0 −a0 0 0 . . . 0 −a1 1 0 . . . 0 −a2 ⋮ ⋱ ⋱ 0 ⋮ 0 ⋯ 1 0 −an−2 0 ⋯ 0 1 −an−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 In−1 −a0 −a1 −a2 ⋮ −an−2 −an−1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ est le polynôme P . Cette matrice est la matrice compagnon de P . 2. Preuve du théorème. Soit x dans E, montrons que χu (u)(x) = 0. Comme le résultat est évident pour x = 0, on supposera dorénavant que x ≠ 0. a) Justifier l’existence de d dans N, et de a0 ,. . . , ad−1 dans K vérifiant : ● La famille β = (x, u(x), . . . , ud−1 (x)) est libre, ● ud (x) = − a0 .x − a1 .u(x) − . . . − ad−1 .ud−1 (x) Notons P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a0 . b) Posons F = V ectK (x, u(x), . . . , ud−1 (x)). Montrer que F est stable par u. c) Notons uF l’endomorphisme induit par u sur F . Déterminer la matrice de uF dans la base β. d) En déduire que χuF = P . e) Quelle relation existe-t-il entre χuF et χu . En déduire que χu (u) = 0. Méthode 2. Avec la densité des matrices diagonalisables. 1. Densité. On dit qu’une suite de matrices (An )n∈N converge vers la matrice A si et seulement si les coefficients de An convergent vers les coefficients de A. On va montrer que toute matrice A est la limite d’une suite (An ) de matrices diagonalisables. a) Soit A dans Mn (C). Expliquer pourquoi A est semblable à une matrice triangulaire supérieure T . Notons (tij ) les coefficients de T . 1 b) Si t11 = t22 = . . . = tnn , posons d = 1, sinon : d = M in { ∣tii − tjj ∣ / i, j ∈ {1, . . . , n} avec tii ≠ tjj } Justifier l’existence de d et montrer que d > 0. c) Posons pour tout i de {1, . . . , n} : t′ii = tii + d.i n+1 Montrer que les t′ii pour i dans {1, . . . , n} sont différents. d) Notons Dn la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont Montrer que la matrice Tn′ = T + Dn est diagonalisable. d 2d n+1 , n+1 , ..., d.n n+1 . e) Conclure. 2. Preuve du théorème. On admettra dans ce paragraphe que si (An )n∈N converge vers A, alors χAn (An ) converge vers χA (A) (cf. chapitre espaces vectoriels normés). a) Dans cette question uniquement, supposons u diagonalisable. Montrer que tout x de E est combinaison linéaire de vecteurs propres. En déduire que χu (u) = 0 b) Si u n’est pas diagonalisable, notons A la matrice de u dans une base β quelconque et (An )n∈N une suite de matrices diagonalisables convergeant vers A (cf. 1). Montrer que χA (A) = 0. 2