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GÉOMÉTRIE
▷ GM.01 Objets et notations
▷ GM.02 Les instruments de dessin
▷ GM.03 Tracer 2 droites perpendiculaires
▷ GM.04 Tracer 2 droites parallèles
▷ GM.05 Les polygones
▷ GM.06 Les quadrilatères
▷ GM.07 Les carrés
▷ GM.08 Les rectangles
▷ GM.09 Les triangles
▷ GM.10 Le cercle
▷ GM.11 Les solides
▷ GM.12 Construire des solides
▷ GM.13 Les angles
▷ GM.14 La symétrie
▷ GM.15 Réduire / agrandir
▷ GM.16 Programmes de construction
GM.01
1
LE
OBJETS ET NOTATIONS
POINT
Un point est un endroit précis du
plan.
●
On le repère souvent avec une croix (×).
●
On le nomme avec une lettre majuscule.
2
LA
➢
Exemples :
×
A
×
B
×
C
LIGNE ET LA DROITE
Une ligne est une suite continue de points. On la trace sans lever le crayon.
●
une ligne peut être courbe :
●
Une ligne peut être droite. Dans ce cas, on la trace avec une règle.
●
On nomme une droite entre parenthèses, soit avec une lettre minuscule,
soit avec le nom de deux de ses points.
➢
Exemple :
B
×
A
×
3
LE
(d)
On peut appeler cette
droite :
(d) ou (AB)
SEGMENT
Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés
extrémités.
●
On nomme un segment à l'aide du nom de ses extrémités, entre crochets.
➢
Exemples :
B
×
A
×
C
×
Le segment [AB]
4
D
×
Le segment [CD]
INTERSECTION
On appelle point d'intersection le point où deux objets (droite,
segment, ...) se croisent (se coupent). Le point d'intersection appartient aux
deux objets à la fois.
➢
Le point M est l'intersection de la
droite (d) et du segment [AB].
(d)
M
A
B
GM.02
1
LA
LES INSTRUMENTS DE DESSIN
RÈGLE
La règle permet de tracer des droites et des segments.
●
Pour tracer une droite passant par deux points, il faut placer la règle juste
en-dessous des deux points et tracer sans la faire bouger.
2
L'ÉQUERRE
Avec une équerre, on peut :
➢
➢
vérifier qu'un angle est droit (voir GM.03 et
GM.13 )
Dans une
équerre, il y a un
seul angle droit
construire un angle droit.
3
LE
COMPAS
Le compas sert à :
➢
4
dessiner des cercles ou des arcs de
cercle
LE
➢
reporter des longueurs.
CALQUE
Le calque sert à reproduire un dessin ou à
comparer des figures. Pour décalquer un dessin,
il faut :
●
●
●
tracer une première fois sur le calque
1
2
retourner le calque et repasser sur
l'envers au brouillon (le dessin est retourné)
retourner à nouveau le calque et repasser sur l'endroit.
3
5
LE
GABARIT
Un gabarit, c'est un modèle de l'objet que l'on veut reproduire, découpé
dans une feuille de papier épais. Il permet de reproduire la même forme autant
de fois que l'on veut.
GM.03
TRACER 2 DROITES PERPENDICULAIRES
DÉFINITION
1
Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant
un angle droit (voir GM.13 ). On vérifie qu'un angle est droit avec une
équerre.
(d)
(f)
(e)
(g)
Les droites (d) et (e)
ne sont pas perpendiculaires
MÉTHODE
2
(h)
(i)
Les droites (f) et (g)
ne sont pas perpendiculaires
Les droites (h) et (i)
sont perpendiculaires
DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE
Je veux tracer la droite perpendiculaire à la droite (d1) et passant par
le point A.
A
A
(d1)
A
(d1)
1) Je place la règle sur
la droite (d1).
(d1)
3) Je fais glisser l'équerre
sur larègle, jusqu'à ce que
le deuxième côté de l'angle
droit passe par le point A.
2) Je place un côté de
l'équerre sur la règle.
(d2)
A
(d1)
A
(d1)
4) Je trace la droite
perpendiculaire.
5) Je prolongela droite
perpendiculaire. Je marque
l'angle droit.
Ladroite(d2) est
perpendiculaireà(d1) et
passepar A.
GM.04
1
TRACER 2 DROITES PARALLÈLES
DÉFINITION
Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on
les prolonge au-delà de la feuille. Elles ont la même direction.
(f)
(i)
(d)
(h)
(g)
(e)
Les droites (d) et (e) se
coupent : elles ne sont pas
parallèles.
2
MÉTHODE
Les droites (f) et (g) ne se
coupent pas dans la feuille,
mais vont se couper si on
les prolonge : elles ne sont
pas parallèles.
Les droites (h) et (i) sont
parallèles.
DE TRACÉ AVEC LA RÈGLE ET L'ÉQUERRE
Je veux tracer la droite parallèle à la droite (d1) et passant par le point
A.
A
A
(d1)
(d1)
1) Je place un côté de
l'équerre sur la droite (d1).
A
(d1)
3) Je fais glisser l'équerre
sur larègle, jusqu'à ce que
le deuxième côté de l'angle
droit passe par le point A.
2) Je place la règle sur
l'autre côté de
l'équerre.
(d2)
A
A
(d1)
4) Je trace la droite parallèle.
(d1)
5) Je prolongela
droite parallèle.
Ladroite(d2) est parallèle
à(d1) et passepar A.
GM.05
1
LES POLYGONES
DÉFINITIONS
Une ligne brisée (ou polygonale) est une
figure formée d'une suite de segments.
ligne brisée
(ouverte)
Un polygone est une portion de plan
limitée par une ligne brisée fermée.
Chacun des côtés d'un polygone est un
segment.
ligne brisée fermée
= polygone
Ces formes ne sont pas des polygones.
A
On nomme un polygone en écrivant les
lettres de tous ses sommets, dans l'ordre
où on les rencontre en parcourant la ligne
brisée.
2
LES
Un polygone nommé
ABCDE
E
C
B
D
NOMS DES POLYGONES
Les polygones
qui ont...
s'appellent...
Les polygones
qui ont...
s'appellent...
3 côtés
triangles
7 côtés
heptagones
4 côtés
quadrilatères
8 côtés
octogones
5 côtés
pentagones
9 côtés
ennéagones
6 côtés
hexagones
3
LES
10 côtés
décagones
POLYGONES RÉGULIERS
Un polygone régulier est un polygone dont :
● tous les côtés ont le même longueur
● tous les angles ont la même mesure
triangle régulier
(équilatéral)
quadrilatère régulier
(carré)
pentagone régulier
hexagone régulier
GM.06
1
LES QUADRILATÈRES
RECONNAITRE
UN QUADRILATÈRE
Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés.
●
Il existe cinq familles de quadrilatères :
carrés
rectangles
parallélogramm
es
losanges
trapèze
rectangle
trapèze
isocèle
Trapèzes
2
VOCABULAIRE
Les quadrilatères ont 4 côtés, 4 sommets, 2 diagonales, 4 angles.
sommet
côtés
consécutifs
côtés
opposés
angle
diagonale
3
RELATIONS
ENTRE LES QUADRILATÈRES
QUADRILATÈRES
2 angles droits
Trapèzes rectangles
4 angles droits
Rectangles
Les côtés ont
tous la même
longueur
2 côtés parallèles
Trapèzes
Les côtés opposés sont
parallèles 2 par 2
Parallélogrammes
Carrés
2 côtés opposés de même longueur
Trapèzes isocèles
4 côtés de même longueur
Losanges
Les angles sont
droits
GM.07
1
PROPRIÉTÉS
LES CARRÉS
DU CARRÉ
●
Le carré est un quadrilatère : il a 4 côtés.
●
Le carré est régulier :
●
tous ses côtés ont la même longueur
➢
tous ses angles sont égaux (ils sont tous droits)
Les diagonales du carré :
2
●
➢
➢
ont la même longueur
➢
sont perpendiculaires
➢
se coupent en leur milieu
CONSTRUCTION D'UN
Avec la règle et l'équerre :
●
●
●
●
●
●
●
2
je trace la perpendiculaire au segment à une
extrémité, je mesure la même longueur,
je recommence pour les deux autres côtés du
carré.
3
3
1
je trace un cercle,
je trace deux diamètres
perpendiculaires du cercle,
2
je relie les extrémités des
diamètres.
Avec la règle, l'équerre et le
compas :
●
1
je trace un segment, je mesure sa longueur avec la
règle,
Avec le compas, la règle et
l'équerre :
●
●
CARRÉ
je trace un segment, je
mesure sa longueur avec
la règle,
3
5
4
2
je trace la perpendiculaire
1
au segment à une extrémité,
●
●
●
je reporte la longueur du segment avec le compas,
je reporte à nouveau la longueur en partant de chaque extrémité
déjà tracée,
je relie les extrémités reportées.
GM.08
PROPRIÉTÉS
DU RECTANGLE
●
Le rectangle est un quadrilatère : il a 4 côtés.
●
Le rectangle a 4 angles droits.
●
Le côté le plus long s'appelle longueur (L), le côté
le plus court s'appelle largeur (
●
l
long
ueur
large
ur
1
LES RECTANGLES
).
Les diagonales du rectangle :
2
●
ont la même longueur
●
se coupent en leur milieu.
CONSTRUCTION D'UN
RECTANGLE
On peut tracer un rectangle de longueur et de largeur données :
●
Avec la règle et l'équerre :
●
●
●
●
1
je trace un segment, je mesure la longueur avec
la règle,
2
je trace la perpendiculaire au segment à une
extrémité, je mesure la largeur,
3
je recommence pour les deux autres côtés du rectangle.
Avec le compas, la règle et l'équerre :
●
je trace un cercle,
●
je trace deux diamètres du cercle,
●
je relie les extrémités des diamètres.
3
1
2
Avec la règle, l'équerre et le compas :
●
●
●
●
●
je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle,
je trace la perpendiculaire au
segment à une extrémité,
je reporte la largeur du segment
avec le compas,
je reporte la longueur en partant
de chaque extrémité déjà tracée,
je relie les extrémités reportées.
3
5
4
2
1
GM.09
1
●
●
●
RAPPELS
sommet
Le triangle est un polygone à 3
côtés.
Le triangle a aussi 3 sommets.
Quand on trace un triangle sans se
soucier de sa forme ou de la
longueur de ses côtés, on dit qu'il
s'agit d'un triangle quelconque.
2
●
LES TRIANGLES
LES
angle
côtés
TRIANGLES PARTICULIERS
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a DEUX côtés de même longueur.
●
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui a TROIS côtés de même
longueur.
●
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (On l'appelle
ainsi parce qu'il forme la moitié d'un rectangle).
Cas particulier :
triangle rectangle isocèle
GM.10
1
●
●
LE CERCLE
DÉFINITIONS
Un cercle est l'ensemble des points situés à la même distance d'un point
appelé centre.
On appelle rayon un segment qui relie le centre et un point du cercle.
C
rayon
O
centre
cercle
●
●
●
Cercle C de centre O
On appelle corde un segment qui relie deux points du cercle.
On appelle diamètre
une corde qui passe
par le centre. La
mesure du diamètre
est le double de celle
du rayon.
Un arc de cercle est
une portion de cercle
délimitée par deux
points.
C
B
C
F
Dans le cercle C de centre O :
G
O
●
[OA] est un rayon
●
[BC] est une corde
●
D
●
A
DE est un arc
[FG] est un diamètre
E
2
TRACER
DES CERCLES
Pour tracer un cercle, on utilise un compas :
On écarte le compas de la
valeur du rayon.
On pique la pointe du compas On trace avec le crayon sans
déplacer la pointe.
sur le centre.
GM.11
1
●
●
LES SOLIDES
DÉFINITIONS
Un solide est un objet délimité par une surface
fermée.
hauteur
Un solide a trois dimensions : la longueur, la
hauteur et la profondeur.
longueur
profondeur
2
●
●
●
LES
POLYÈDRES
arête
Un polyèdre est un solide délimité par
des surfaces planes (des polygones).
Un polyèdre présente des faces, des
arêtes et des sommets.
face
sommet
Voici les principaux polyèdres :
Solide
Nom
Caractéristiques
Cube
6 faces carrées
Pavé
(parallélépipède
rectangle)
Pyramide
Prisme
3
●
LES
6 faces rectangulaires
1 face polygonale
les autres faces
triangulaires
2 faces polygonales
(bases)
AUTRES SOLIDES
Ils sont délimités par des surfaces courbes. Voici quelques exemples :
Solide
Nom
Types de surfaces
Sphère
1 surface courbe
Cylindre
2 surfaces planes
(bases)
Cône
1 surface plane (base)
1 surface courbe
GM.12
LES
1
●
●
CONSTRUIRE DES SOLIDES
PATRONS
Un solide est souvent constitué de faces planes, qu'il est possible de
représenter sur une feuille de papier.
Un patron est le dessin de ses faces, qui permet par pliage de
reconstruire ce solide.
ATTENTION : Certains solides ne peuvent pas être représentés par un
patron (ex : sphère).
2
●
●
LE
PATRON DU CUBE
Un cube est constitué de 6 faces carrées identiques.
Pour construire son patron, il faut « déplier » le cube pour représenter les
6 carrés à plat.
3
3
5
4
1
2
5
4
2
1
6
4
6
5
6
2
3
1
On numérote les faces.
●
On ouvre le cube.
On le déplie complètement.
4
Voici le patron obtenu :
5
6
2
3
1
ATTENTION : D'autres patrons sont possibles. Les patrons suivants par exemple :
GM.13
1
LES ANGLES
DÉFINITIONS
Un angle est une mesure de l'ouverture entre deux demi-droites de
même extrémité (les côtés de l'angle).
● On mesure l'ouverture d'un angle en degrés (°).
● Un angle droit mesure 90°.
angle
● Un angle aigu mesure moins de 90°.
droit
● Un angle obtus mesure plus de 90°.
● Un angle plat mesure 180°.
●
angle
aigu
2
COMPARER
angle
plat
angle
obtus
DES ANGLES
Pour comparer deux angles :
angle 2
Par pliage ou découpage, on construit
un gabarit, qui a la même ouverture
que l'angle 1.
● On pose le gabarit sur l'angle 2.
● On voit si l'angle 2 est plus petit,
plus grand ou égal à l'angle 1.
●
angle 1
angle 2
angle 1
Pour savoir si un angle est droit, on
utilise un gabarit particulier :
l'équerre.
3
MESURER
gabarit
DES ANGLES
Pour mesurer des angles, on utilise un rapporteur.
GM.14
1
●
FIGURES
LA SYMÉTRIE
SYMÉTRIQUES
Quand une figure géométrique peut être pliée, le long d'une droite, en
deux parties superposables, on dit que cette figure est symétrique par
rapport à la droite.
●
On appelle cette droite axe de symétrie de la figure.
●
Une même figure peut avoir plusieurs axes de symétrie.
➢
Exemples :
Axe de
symétrie
Axe de
symétrie
Axe de
symétrie
2
SYMÉTRIQUE D'UNE
Axe de
symétrie
FIGURE PAR RAPPORT À UNE DROITE
Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter
la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble.
La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un
miroir).
●
Sur un quadrillage :
On peut construire l'image de chaque
point en comptant les carreaux entre le
point et l'axe de symétrie. L'image se
trouve alors au même nombre de
carreaux de l'autre côté de l'axe.
Axe de symétrie
●
Sans quadrillage :
Pour chaque point, il faut construire
l'image en traçant la perpendiculaire
à l'axe de symétrie passant par le
point.
Axe de symétrie
Il faut ensuite mesurer la distance du
point à l'axe, puis la reporter de l'axe à l'image (on peut aussi utiliser
un compas).
GM.15
1
●
RÉDUIRE /
RÉDUIRE / AGRANDIR
AGRANDIR UNE FIGURE
Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre.
6 cm
3 cm
4 cm
:2
●
Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre.
9 cm
3 cm
2 cm
x3
2
UTILISER
UN QUADRILLAGE
Pour réduire (ou agrandir) plus facilement une figure, on peut utiliser un
quadrillage. Il suffit ensuite de reproduire la même figure dans un quadrillage
réduit (ou agrandi).
GM.16
1
PROGRAMMES DE CONSTRUCTION
DÉFINITION
Un programme de construction est un texte qui donne des instructions
pour tracer précisément une figure géométrique.
C
➢
Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [AB].
O
A
2
●
●
●
LIRE
B
UN PROGRAMME DE CONSTRUCTION
Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le
vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots.
Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites.
Avant de tracer précisément, on doit faire un croquis. On essaie de suivre le
programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien
compris toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin.
programme
Placer 3 points P, Q, R distincts*.
brouillon
outils
➢
crayon
Tracer un carré ABCD de côté
4 cm.
Placer le point M, milieu de [AB].
Placer le point N, milieu de [CD].
Tracer le segment [MN].
➢
crayon
règle graduée
équerre
Tracer une droite (d).
Placer un point A sur la droite (d).
Tracer la droite (e),
perpendiculaire à (d) et passant
par A.
Placer un point B sur la droite (e),
tel que AB = 5 cm.
➢
* à des endroits différents
Tracer le cercle
de rayon AB.
de centre A et
➢
➢
➢
➢
➢
crayon
règle graduée
équerre
compas