L’ensemble R n’est pas d´ enombrable. 1. Th´

L’ensemble R n’est pas
dénombrable.
1. Théorème de Cantor
Énoncé Soit E un ensemble.
Il n’existe pas de surjection de E vers P (E).
Preuve
Soit E un ensemble.
Soit f : E → P (E).
Supposons que f est surjective. On considère l’ensemble :
D = {x ∈ E : x 6∈ f (x)}
D ∈ P (E) donc il existe y ∈ E tel que f (y) = D.
Si y ∈ D alors y 6∈ f (y). Or f (y) = D donc y 6∈ D ce qui est absurde.
De même, si y 6∈ D, alors y 6∈ f (y). Or d’après la définition de D cela veut dire y ∈ D
ce qui est absurde.
Donc f ne peut pas être surjective, c’est pourquoi il n’existe pas de surjection d’un
ensemble E vers P (E).
2. R n’est pas dénombrable : preuve
On admet que tout réel x de [0; 1[ admet un développement dyadique :
+∞
X
ak
x=
2k+1
k=0
ak ∈ {0; 1}
On note ∆ l’ensemble des nombres réels dans [0; 1[ de la forme k2−n avec k, n ∈ N.
Les nombres de ∆ admettent chacun deux
développements dyadiques (un fini, et un
P+∞
3
1
1
1
1
infini) : par exemple 8 = 4 + 8 = 4 + k=3 2k+1
. Le développement fini est appelé
développement propre et le développement infini est appelé développement impropre.
1
On note Ax l’ensemble des puissances k de 2 correspondant au développement dyadique d’un nombre x ∈ [0; 1[\∆.
P
P+∞ 1
1
Par exemple, A 1 = {1; 3; 5; 7; 9; · · · } car 13 = +∞
k=0 2(2k+1)+1 =
k=0 4k+1 .
3
Lorsque x ∈ ∆, on sépare les cas :
1. Si x est de la forme k2−n avec k ≡ 1[4], alors on note Ax l’ensemble des puissances
k de 2 correspondant au développement dyadique impropre de k+1
.
2n
2. Si x est de la forme k2−n avec k ≡ 3[4], alors on note Ax l’ensemble des puissances
k de 2 correspondant au développement dyadique propre de k+1
.
2n
3. Si x = 12 , alors Ax = N.
4. Si x = 0, alors Ax = ∅.
Alors l’application ϕ : [0; 1[ −→
x
7−→
P (N)
Ax
est bijective.
On définit maintenant l’application ψ : [0; 1[−→ R de la façon suivante :
– Si x est irrationnel, alors ψ(x) = ln( x1 − 1).
– Si x = pq , p, q ∈ N∗ avec p 6= 1, alors ψ(x) = ln( pq − 1).
– Si x = 1q , q ∈ N∗ , alors ψ(x) = ln q.
– Si x = 0, alors ψ(x) = 0.
L’application ψ : [0; 1[−→ R est bien bijective.
En composant ϕ−1 et ψ, on obtient une bijection entre P (N) et R. Or d’après le théorème
de Cantor, il n’existe pas de surjection de N vers P (N).
Donc en définitive, il n’existe pas de surjection de N vers R.
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