LM261 Feuille de TD 2

LM261 Feuille de TD 2
Exercice 1[Continuité uniforme]
(1) Démontrer que la fonction f (x) = x−1 est uniformément continue sur [0, 0001, 1]. Est-ce qu’elle est
uniformément continue sur ]0, 1] ?
(2)Soit f une fonction définie sur l’intervalle I. Démontrer que f n’est pas uniformément continue sur I si
et seulement si : il existe deux suites réelles (xn )n∈N , (yn )n∈N avec xn , yn ∈ I et un constant positif ε0 tels
que limn→+∞ |xn − yn | = 0,
|f (xn ) − f (yn )| > ε0 .
(3)Démontrer que f (x) = x2 n’est pas uniformément continue sur R
(4)Démontrer que si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et que supx∈I |f 0 (x)| < +∞,
alors f est uniformément continue sur I.
(5)Étudier la fonction f (x) = arctan(x) sur R.
Exercice 2 Étudier (d’après l’intuition) la convergence simple et uniforme des suites de fonctions suivantes :
(1)fn (x) = xn sur les intervalles : [0, 1], [0, 1[ et [0, 0, 999999].
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(2)fn (x) = xn (1 − x) sur [0, 1].
nx
sur R, [−10000, −0, 0001], ]0, +∞[ et ]0, 1].
1+n|x|

1 
 x2 sin
, x 6= 0,
nx
(4)fn (x) =
sur R

 0, x = 0.
(3)fn (x) =
1
UPMC
LM261 Compléments d’Analyse
2013-2014
TD 2
Exercice 3 Soit fn une suite de fonctions réelles.
(1)Démontrer que (fn )n∈N ne converge pas uniformément vers une fonction f sur un intervalle I si et
seulement si : il existe une suite réelle (xn )n∈N avec xn ∈ I et un constant positif ε0 tels que |fn (xn ) −
f (xn )| > ε0 .
(2)Analyser les exemples d’Exercice 1 théoriquement.
Exercice 4[Convergence uniforme vers une fonction non-uniformément continue]
Démontrer qua la suite fn (x) =
n+x2
nx
converge uniformément sur ]0, 1[.
Exercice 5[Un peu de théorie]
(1)Soit fn une suite de fonctions réelles qui converge uniformément sur [a, b]. Démontrer que |fn | converge
aussi uniformément sur [a, b].
(2)Donner un exemple qui montre que l’inverse de (1) n’est pas vraie.
(3)Soit fn une suite de fonctions réelles qui converge uniformément sur ]a, b[, et si fn sont continue sur [a, b].
Démontrer que limn→+∞ fn (a) et limn→+∞ fn (b) existent. Puis démontrer que fn converge uniformément
sur [a, b].
Exercice 5∗ [Relation entre convergence simple et convergence uniforme, Théorème de Dini]
Soit f une fonction continue définie sur [a, b]. Soit fn une suite de fonctions continues définies sur [a, b].
Si ∀x ∈ [a, b], ∀n ∈ N∗ , fn (x) 6 fn+1 (x) et limn→+∞ fn (x) = f (x). Alors fn converge uniformément vers f
sur [a, b].
Application : Question (1)(avec [0, 0, 999999]),(2) d’Exercice 1.
“Contre-exemple” Question (1) d’Exercice 1 avec [0, 1].