Correction de la colle de microéconomie

Correction de la colle de microéconomie
DEUG Économie-gestion et MASS 1ère année
Exercice I : L’offre et la demande (9 points) – M. reysz
Le marché de l’huile de consommation courante est dominé par deux types
d’huiles alimentaires : l’huile d’olive et l’huile de tournesol.
La demande QDO et l’offre QSO d’huile d’olive sont données par les fonctions suivantes :
QDO = – 2 PO + 16 PT
et
QSO = 18 + 0,5 PO + 5 PT
(où PO est le prix de l’huile d’olive et PT le prix de l’huile de tournesol)
1) À partir des fonctions de demande et d’offre ci-dessus, déterminez les prix d’équilibre PO*
et PT* sur ce marché, sachant que PO est deux fois plus élevé que PT. (1,5 points)
On sait que le prix d'équilibre est atteint quand l'
offre équivaut à la demande
On a donc : Q OD = Q SO
⇔ −2P O + 16P T = 18 + 0,5P O + 5P T
⇔ −2P O − 0,5P O = 18 + 5P T − 16P T
⇔ −2,5P O = 18 − 11P T
⇔ 2,5P O = 11P T − 18
⇔ P O = 4,4P T − 7,2 (1 point)
Or, on sait que le prix de l'huile d'olive est deux fois plus élevé que celui de l'huile de tournesol
On a donc : P O = 2P T
2P T = 4,4P T − 7,2
2P T − 4,4P T = −7,2
− 2,4P T = −7,2
2,4P T = 7,2
PT = 3
P O = 2 x 3 = 6 (0,5 points)
Le prix d'équilibre de l'huile d'olive est donc de 6 euros et celle de l'huile de tournesol est de 3 euros
2) Indiquez, pour les prix d’équilibre trouvés, les quantités d’équilibre QDO* et QSO*.
Comment être sûr alors que les quantités trouvées sont correctes (comment vérifier
simplement le résultat) ? (1,5 points)
* Calcul des quantités d'équilibre Q OD* et Q SO* (1 point) :
Pour un prix d'équilibre P O* , les quantités d'huile d'olive demandées sont les suivantes :
Q OD* = −2 x 6 + 16 x 3
Q OD* = 36 (0,5 points)
Toujours pour ce prix d'équilibre P T* , les quantités d'huile d'olive offertes sont les suivantes :
Q SO* = 18 + 0,5x 6 + 5x 3
Q SO* = 36 (0,5 points)
* Moyen de vérification des résultats trouvés (0,5 points) :
On peut vérifier simplement ques les résultats obtenus sont corrects si on trouve
une valeur de Q OD* équivalente à celle de Q SO* .
En effet, à l'
équilibre, les quantités offertes et demandées sur le marché doivent être les mêmes.
3) Calculez alors les différentes élasticités pour l’huile d’olive (élasticité-prix de la demande,
élasticité-prix de l’offre, élasticité-prix croisée de la demande et élasticité-prix croisée de
l’offre). (2 points)
* Calcul de l'
élasticité - prix de la demande d'huile d'olive :
e PO / QO =
D
dQ OD P O
PO
6
12
1
O
.
(
Q
)'
.
(0,5 points)
=
= −2 x
=−
=−
D
O
O
O
36
36
3
dP Q D
QD
* Calcul de l'
élasticité - prix de l'
offre d'huile d'olive :
e PO / QO =
S
dQ SO P O
PO
6
3
1
O
.
=
(
Q
)'
.
= 0,5x =
=
S
O
O
O
16 36 12
dP Q S
QS
(0,5 points)
* Calcul de l'
élasticité - prix croisée de la demande d'huile d'olive :
e PT / QO =
D
dQ OD P T
PT
3 48 4
O
.
=
(
Q
)'
.
= 16 x
=
=
(0,5 points)
D
T
O
O
36 36 3
dP Q D
QD
* Calcul de l'
élasticité - prix croisée de l'
offre d'huile d'olive :
e PT / QO
S
dQ SO P T
PT
3 15
O
=
.
=
(
Q
)'
.
= 5x
=
(0,5 points)
S
T
O
O
36 36
dP Q S
QS
4) Commentez les résultats obtenus. Que pouvez-vous en conclure ? Précisez par ailleurs,
pour chaque élasticité, à quel type de bien correspond la valeur trouvée. (1 point)
1
- Pour e P O / QO = − : on remarque que la demande est relativement inélastique au prix,
D
3
ce qui signifie que lorsque le prix de l'huile d'olive varie, sa consommation en est faiblement
affectée (0,25 points)
1
: on constate que l'
offre est faiblement élastique au prix ;
12
ainsi, quand le prix de l'huile d'olive se modifie, les quantités offertes demeurent quasiment les mêmes
- Pour e P O / QO =
S
(les variations de prix ont peu d'effet sur l'
offre) (0,25 points)
4
; on s'aperçoit qu'une variation du prix de l'huile de tournesol entraîne
D
3
une variation plus que proportionnelle et dans le même sens de la consommation d'huile d'olive ;
- Pour e P T / QO =
dans la mesure où e P T / QO > 0, l'huile de tournesol et l'huile d'olive sont donc des biens substituables
D
et, plus précisément, des substituts étroits (car e P T / QO > 1) (0,25 points)
D
15
: on observe qu'une variation du prix de l'huile de tournesol se concrétise
S
36
par une variation dans le même sens mais à un rythme plus faible de l'
offre d'huile d'olive ;
- Pour e P T / QO =
les variations du prix de l'huile de tournesol exercent donc un effet positif mais peu important
sur les quantités d'huile d'olive offertes (0,25 points)
Une grave maladie décime une partie importante des oliviers. La production totale d’huile
d’olive chute de 50 % : la production disponible à la vente est donc réduite de moitié.
5) Calculez, dans ce cas, à partir des nouvelles quantités QS2O offertes sur le marché, le
nouveau prix d’équilibre P2O* (on considère que la forme de la fonction de demande QDO
et le prix de l’huile de tournesol PT restent inchangés). Quelle a été l’incidence de cette
épiphytie sur le prix de l’huile d’olive (de combien a-t-il varié) ? (1,5 points)
* Calcul des nouvelles quantités d'équilibre offertes sur le marché et du nouveau prix d'équilibre :
Puisque la maladie qui s'abat sur les oliviers réduit de moitié la production d 'huile d'olive,
on a alors une nouvelle production Q SO2 , équivalente à :
Q SO2 = Q SO / 2 = 36 / 2 = 18
Or, on sait que les quantités d'huile d'olive demandées et le prix de l'huile de tournesol
ne sont pas affectées par cette baisse de la production
On a donc toujours : Q OD = −2P O + 16P T
Le nouveau prix d'équilibre de l'huile d'olive se fixe désormais au niveau
où les nouvelles quantités offertes sont équivalentes
aux quantités demandées sur le marché,
soit : Q OD = Q SO2
⇔ 18 = - 2 P2O + 16P T
⇔ −2P2O = −16P T + 18
⇔ 2P2O = 16P T − 18
⇔ P2O = 8P T − 9 (1 point)
Le prix de l'huile de tournesol restant inchangé, on a donc : P T = 3
D'où, P2O = 8x 3 − 9
P2O = 15 (0,25 points)
Le nouveau prix d'équilibre de l'huile d'olive est donc de 15 euros.
* Calcul de la variation du prix de l'huile d'olive :
La variation du prix de l'huile d'olive est égale à :
P2O − P O 15 − 6 9
=
= = 1,5 (0,25 points)
6
6
PO
Le prix de l'huile d'olive a donc augmenté de 150 % (il a été multiplié par 2,5)
Il a été prouvé, grâce à de nombreuses études longitudinales, qu’une consommation régulière
d’huile d’olive accroît notablement l’espérance de vie et réduit les risques de maladie chez
l’être humain. Face à ce constat, et compte tenu de la baisse de la production due à l’épiphytie
qui a touché les oliviers, le gouvernement décide de relancer la consommation d’huile d’olive
en taxant davantage l’huile de tournesol. Le nouveau prix P2Tde ce type d’huile est de 5 euros.
6) À quel niveau d’équilibre s’établissent désormais les nouvelles quantités QS2O* d’huile
d’olive offertes sur le marché (on suppose toujours que la fonction de demande demeure
la même) ? Que pouvez-vous en conclure ? La mesure prise par le gouvernement a-t-elle
porté ses fruits, c’est-à-dire répondu à son objectif initial ? (1,5 points)
* Calcul du nouveau niveau d'équilibre des quantités d'huile d'olive Q sO2* offertes :
On suppose que la fonction de demande reste la même
On a donc, à l'
équilibre : Q SO2* = Q OD*2
Or, Q OD*2 = Q OD
Donc Q OD 2 − 2P2O + 16P T
Q OD*2 = −2 x15 + 16 x 5 (car P O = 15 et P T = 5)
Q OD*2 = −30 + 80
Q OD*2 = 50
D'où Q SO = 50 (1 point)
* Conclusion : la mesure prise par le gouvernement a - t - elle porté ses fruits ? (0,5 points)
La mesure prise par le gouvernement de taxer davantage l'huile de tournesol s'est traduite
par une hausse du prix de ce produit.
Cette augmentation du prix de l'huile de tournesol a eu pour conséquence de détourner
les consommateurs de l'
achat de ce produit au profit de l'huile d'olive.
Cette mesure a donc permis d'atteindre l'
objectif fixé, puisque la consommation
d'huile d'olive a augmenté de 38 % [((50 - 36)/36)x100]
Exercice II : Le consommateur (5 points) – Mlle Missler
Considérons un consommateur dont la fonction d’utilité est la suivante : U(X1 ; X2) = X1.X2
Où X1 et X2 représentent les quantités consommées des biens 1 et 2. En outre, les prix de ces
deux biens sont respectivement P1 = 4 et P2 = 8 et le revenu R = 160.
1) Montrer que les choix optimaux du consommateur sont respectivement X1 = 20 et X2 = 10,
soit un niveau d’utilité de 200. (1 point)
A l’équilibre : U’X1 / U’X2 = P1 / P2
X2 / X1 = 4 / 8 = 1 / 2
X1 = 2 X2
On remplace cette expression dans la contrainte budgétaire
4 ( 2 X2) + 8 X2 = 160
8 X2 + 8 X2 =160
16 X2 = 160
X2 = 160 / 16 = 10 d’où X1 = 2 X2 = 20 et U = X1.X2 = 200
2) Le prix du bien 1 est multiplié par deux. Déterminer le nouveau panier de consommation
optimal correspondant au seul effet de substitution. Pour ce faire, vous supposerez l’égalité
entre les pentes de la courbe d’indifférence et de la droite de budget, pour un même niveau
d’utilité que précédemment. (1,5 points)
Le prix du bien 1 double d’où P1 = 8
La contrainte budgétaire devient 8 X1 + 8 X2 =160 d’où X2 =(160 – 8 X1) / 8
La pente de cette droite est donc : – P1 / P2 = – 1
L’équation de la courbe d’indifférence est : U = X1.X2
X2 = U / X1 = 200 / X1
La pente de cette droite est ∆ X2 / ∆ X1 = (U / X1)’ = – 200 / X1²
Selon les conditions d’équilibre, les pentes de la courbe d’indifférence et de la contrainte
budgétaire s’égalisent, soit :
– 200 / X1² = – 1
X1² = 200
X1 = 2001/2 ≈ 14,14 et X2 ≈ 14,14
L’effet de substitution correspond au passage de l’équilibre (20 ; 10) à (14,14 ; 14,14)
3) Montrer qu’une autre méthode consisterait à minimiser la nouvelle dépense du
consommateur, sous contrainte d’une utilité constante. (1 point)
Deux méthodes possibles :
a) recherche de l’extremum (ici un minimum) d’une fonction à une seule variable :
X2 = U / X1 = 200 / X1 d’où R = 8 X1 + 8 (200 / X1 ) la fonction à minimiser
b) lagrangien
L = 8 X1 + 8 X2 + λ (200 – X1.X2 )
4) Déterminer le point optimal final, après prise en considération des effets de substitution et
de revenu. Représenter graphiquement les effets de substitution et de revenu. (1,5 points)
L = X1.X2 + λ ( 8 X1 + 8 X2 – 160 )
L’X1 = 0
L’X2 = 0 ⇔
L’λ = 0
X2 + 8 λ = 0
X1 + 8 λ = 0
8 X1 + 8 X2 – 160 = 0
⇔
X2 = – 8 λ (1)
X1 = – 8 λ (2)
8 X1 + 8 X2 – 160 = 0 (3)
De (1) et de (2) : X1 = X2
16 X2 = 160
On remplace dans (3) : 8 X1 + 8 X2 = 160
X2 = 160 / 16 = 10 d’où X1 = X2 = 10 et U = X1.X2 = 100
L’effet revenu correspond au passage de (14,14 ; 14,14) à (10 ; 10)
Exercice III : Le producteur (7 points) – M. Khaldi
Une entreprise ne fabrique qu’un seul produit et a comme fonction de production Q= 3K¼.L¼.
où K représente la quantité de facteur capital, L la quantité du facteur travail. On note r et w
leur prix respectif.
1) Déterminer les demandes d’inputs qui permettent de maximiser l’output de l’entreprise, à
coût donné Co (on ne vérifiera pas les conditions suffisantes) (1,5 points)
À l’optimum, le rapport des productivités marginales des facteurs est égal au rapport de leurs
prix, soit :
K = (wL) / r
En remplaçant cette expression dans la de contrainte de coût
Co = rK + wL
Co = r [(wL) / r ] + wL ⇔ L* = Co / 2w
d’où K* = (wL*) / r ⇔ K* = (w / r) . (Co / 2w) ⇔ K* = Co / 2r
L* et K* sont les demandes d’inputs permettant la maximisation de la production et cela, à
dépense Co donnée.
2) Si w = 1, r = 1 et Co = 10, calculer L*, K*, Q*. (1,5 points)
L* = 5
K* = 5
Q* = 6,70
3) On se situe en courte période, le stock de capital est fixé à K =16. (Ne pas tenir compte des
valeurs de la question 2). Déterminer la fonction de coût total, le coût moyen et le coût
marginal (3 points)
En courte période le stock de capital est fixé à K = 16
D’où Q = 3 K ¼ . L ¼ ⇔ Q = 6 L ¼
L* = (Q / 6) 4 = Q4 / 1296
d’où le coût total :
C = rK* + wL*
C (Q) = 16 r + (w / 1296) Q4
C (Q) représente la fonction de coût total de l’entreprise de courte période, c’est-à-dire la
dépense minimum qu’elle doit envisager pour atteindre un certain niveau de production, les
prix des inputs restant constants
Le coût moyen est donné par la formule : CM = C (Q) / Q
CM = (16 r / Q) + (w / 1296) Q3
Le coût marginal est le supplément de coût résultant de la fabrication d’une unité
supplémentaire d’output.
Cm = ∆ C (Q) / ∆ Q
Cm = 4 (w / 1296) Q3
Cm = (w / 324) Q3
4) Si r = 1 et w = 4 et P le prix de l’output déterminer le niveau de l’output qui maximise le
profit de l’entreprise (1 point)
L’entrepreneur cherche à maximiser son profit
Π = P.Q – C(Q)
Π = P.Q – (Q4 / 324) – 16 (car r = 1 et w = 4)
A l’optimum, on a :
Π’Q = 0 ⇔ P – (Q3 / 81) = 0 ⇔ P = (Q3 / 81)
Il s’agit bien d’un maximum car Π’’Q = – (Q2 / 27) < 0
Par conséquent, Q* = (81 P) 1/3
Avec ce niveau de production, l’entreprise maximise son profit.