PGCD " PPCM

PGCD - PPCM
1
Plus grand diviseur commun de deux entiers
1.1
Dé…nition - Exemples
Dé…nition 1 Soient a et b deux élément de Z. aZ + bZ est un sous-groupe de Z donc il existe 2 N
tel que aZ + bZ = Z. On appelle le plus grand diviseur commun de a et b et on note = pgcd(a; b)
ou = a ^ b.
Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2; 3) = 1 et pgcd(10; 25) = 5.
Pour tout a et b dans Z, pgcd(a; b) = pgcd(b; a) = pgcd(jaj ; jbj).
Remarque 3
Soient a; b 2 N alors
ajb () pgcd (a; b) = a
Démonstration. Le premier point découle du fait que jaj = aZ. Montrons le second on a
ajb () bZ
aZ () aZ + bZ = aZ () pgcd (a; b) = a
Proposition 4 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = pgcd(a; b) si et seulement
si
l’entier divise a et b
si d est un diviseur de a et de b alors d divise
Cela explique le nom de plus grand diviseur commun pour .
Démonstration. Notons = pgcd(a; b). On a aZ
Z donc ja, de même bZ
Z donc jb.
Donc est un diviseur commun à a et b.
Soit d un diviseur de a et b, alors aZ dZ et bZ dZ donc aZ [ bZ dZ donc (par dé…nition
de la somme de deux sous-groupes) aZ + bZ dZ donc Z dZ et donc dj .
Réciproquement soit un entier positif véri…ant :
l’entier divise a et b
si d est un diviseur de a et de b alors d divise
Il faut montrer que = pgcd(a; b).
On a aZ
Z et bZ
Z donc aZ + bZ
Z et aZ + bZ = pgcd(a; b) Z donc jpgcd(a; b).
D’autre part pgcd(a; b) est un diviseur de a et de b donc par dé…nition de on a pgcd(a; b) j .
On a pgcd(4; 6) = 2 ; pgcd(4; 7) = 1
Exemple 5
pgcd(5
7; 7
11) = 7
pgcd(312 ; 319 ) = 312
pgcd(215
38
52 ; 29
320
7) = 29
38
1
1.2
Méthode de calcul : Algorithme d’Euclide
Lemme 6 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a
par b. Alors pgcd(a; b) = pgcd(b; r).
Démonstration. On va montrer que l’ensemble des diviseurs de a et b : Div (a) \ Div (b) et
l’ensemble des diviseurs de b et r : Div (b) \ Div (r) sont égaux, ce qui donnera le résultat.
Écrivons la division euclidienne de a par b, donc a = bq + r avec 0 r < b. Comme
r=a
bq
si un nombre d divise a et b alors d divise r. Donc Div (a) \ Div (b) Div (b) \ Div (r).
Réciproquement, si d divise b et r alors d divise a = bq + r donc Div (b) \ Div (r) Div (a) \
Div (b).
Remarque 7 Si l’on a une expression du type A = B + C ou A + B + C = 0 entre trois entiers
A; B et C. Alors tout nombre divisant deux de ces entiers divise automatiquement le troisième.
Proposition 8 Algorithme d’Euclide. Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On construit
par récurrence une suite d’entiers naturels (rn )n2N de la façon suivante : r0 = a, r1 = b, r2 est le
reste de la division euclidienne de r0 par r1 , et de proche en proche, tant que rn 6= 0, rn+1 est égal
au reste de la division euclidienne de rn 1 par rn . Alors il existe un entier N tel que rN 6= 0 et
rN +1 = 0. Alors pgcd(a; b) est égal au dernier reste non nul rN .
Démonstration. Tant que les restes sont non nuls, on dé…nit une suite telle que 0 rn < rn 1 <
< r2 < r1 . Il s’agit donc d’une suite d’entiers naturels strictement décroissante. Au bout d’un
nombre …ni d’étapes on obtient alors un reste nul (on a N b). En utilisant le lemme précédent, on
obtient
pgcd(a; b) = pgcd(b; r2 ) = pgcd(r2 ; r3 ) =
= pgcd(rN
1 ; rN )
= pgcd(rN ; 0) = rN
Exemple 9 Soient a = 144 et b = 84. On calcule
144 = 1 84 + 60 r2 = 60
84 = 1 60 + 24 r3 = 24
60 = 2 24 + 12 r4 = 12
24 = 2 12 + 0
r5 = 0
On a donc pgcd(144; 84) = 12.
1.3
Relation de Bézout
Théorème 10 Relation de Bézout.
Soient a et b deux entiers relatifs. Alors il existe des entiers relatifs u et v tels que
pgcd(a; b) = au + bv
Démonstration. Notons = pgcd(a; b) on a
y 2 bZ, donc il existe u et v tels que = au + bv.
2
2 Z = aZ + bZ donc
= x + y où x 2 aZ et
Remarque 11 Soit 2 N. Nous venons de montrer que si = pgcd(a; b) alors il existe un couple
d’entiers (u; v) tel que = au + bv. La réciproque est fausse dans le cas général. Par exemple, pour
a = 4, b = 2 et = 6, on a 6 = 4 1 + 2 1 et 6 6= pgcd(4; 2) = 2. Plus généralement, s’il existe un
couple d’entiers (u; v) tel que d = au + bv alors pgcd(a; b) divise d.
Exemple 12 Soient a = 63 et b = 37. On calcule
63 = 37
37 = 26
26 = 11
11 = 4
4=3
1 + 26 r2 = 26
1 + 11 r3 = 11
2 + 4 r4 = 4
2+3
r5 = 3
1+1
r6 = 1
On part de la dernière relation et on remplace les restes en utilisant les formules de bas en haut de
la façon suivante :
1=4 3 1
1= 4 (11 4 2) = 11 + 4 3
1 = 11 + (26 11 2) 3 = 7 11 + 26 3
1 = 7 (37 26 1) + 26 3 = 7 37 + 26 10
1 = 7 37 + (63 37 1) 10 = 17 37 + 10 63
Départ
On a remplacé
On a remplacé
On a remplacé
On a remplacé
r5
r4
r3
r2
Finalement la relation de Bézout est :
10
63
17
37 = 1 = pgcd(63; 37)
Proposition 13 Soient a et b deux entiers relatifs. Alors pour tout k 2 N, pgcd(ka; kb) = k pgcd(a; b).
Démonstration. Si k = 0 l’égalité est véri…ée. Supposons k 6= 0. Soit D = pgcd(ka; kb) et =
pgcd(a; b). Comme divise a et b, k divise ka et kb donc k divise D.
Par ailleurs, k divise ka et kb donc k divise D. Il existe q 2 Z tel que D = kq. Comme kq divise
ka et kb, q divise a et b donc q divise . On en déduit que D divise k .
Finalement on a donc k = D.
Exemple 14 pgcd(42; 56) = 7
2
pgcd(6; 8) = 7
2 = 14.
Éléments premiers entre eux
Dé…nition 15 On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si pgcd(a; b) = 1
(noté aussi a ^ b = 1).
Proposition 16 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. Soit un diviseur positif
de a et de b. Il existe a0 2 Z tel que a = a0 et il existe b0 2 Z tel que b = b0 . Alors est le pgcd de
a et b si et seulement si a0 et b0 sont premiers entre eux.
Démonstration. Le diviseur
est nécessairement non nul. Comme a = a0 et b = b0 ,
pgcd(a; b) = pgcd( a0 ; b0 ) =
Par conséquent, pgcd(a; b) =
pgcd(a0 ; b0 )
() pgcd(a0 ; b0 ) = 1.
Théorème 17 Théorème de Bézout. Les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement
s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1 = au + bv.
3
Démonstration. Si pgcd(a; b) = 1 alors il existe un couple d’entiers (u; v) tel que 1 = au + bv
(relation de Bézout). Réciproquement, supposons qu’il existe deux entiers u et v tels que 1 = au+bv.
Soit d un diviseur de a et de b. Alors d divise 1 donc jdj = 1. D’où pgcd(a; b) = 1.
Proposition 18 Soit n 2 N, n 2. Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs. Si a est premier avec chacun
des ai (i = 1 : : : n) alors a est premier avec leur produit.
Démonstration. Comme pgcd(a; a1 ) = 1, il existe des entiers u1 et v1 tels que 1 = au1 + a1 v1 .
De même, il existe u2 et v2 tels que 1 = au2 + a2 v2 . En multipliant ces deux termes, on obtient
1 = a (au1 u2 + u1 a2 v2 + a1 v1 u2 ) + a1 a2 (v1 v2 ). D’où pgcd(a; a1 a2 ) = 1. La propriété est donc
vraie pour n = 2.
Supposons la propriété vraie à l’ordre n. Soit a1 ; : : : ; an+1 n + 1 entiers premiers séparément avec
a. En utilisant l’hypothèse de récurrence avec a1 ; : : : ; an , on obtient que a est premier avec le produit
a1
an . On conclut en utilisant la propriété avec les deux entiers a1
an et an+1 .
Exemple 19 Comme pgcd(3; 5) = 1 et pgcd(3; 8) = 1, on a pgcd(3; 40) = 1.
Corollaire 20 Soient a et b deux entiers relatifs. Si a et b sont premiers entre eux alors pour tout
n 2 N et p 2 N , an et bp sont premiers entre eux.
Théorème 21 Théorème de Gauss. Soit a, b et c trois entiers relatifs. Si a divise bc et si a et b
sont premiers entre eux alors a divise c.
Démonstration. Comme pgcd(a; b) = 1, il existe un couple d’entiers (u; v) tels que 1 = au + bv.
En multipliant cette égalité par c, on obtient c = a(cu) + (bc)v. Comme a divise bc, a divise c.
Proposition 22 Soit n 2 N, n 2. Soit a1 ; : : : ; an des entiers relatifs premiers entre eux deux à
deux. Si a est divisible par chacun des ai (i = 1 : : : n) alors a est divisible par leur produit.
Démonstration. La démonstration se fait par récurrence sur n. Pour n = 2, il existe deux
entiers q1 et q2 tels que a = a1 q1 = a2 q2 . Donc a2 divise a1 q1 . Mais comme pgcd(a2 ; a1 ) = 1, on
obtient que a2 divise q1 . Il existe donc q3 2 Z tel que q1 = a2 q3 . Par conséquent, a = a1 a2 q3 et a1 a2
divise a. La …n de la démonstration se fait sans di¢ culté.
Exemple 23 L’entier 90 est divisible par 3 et par 5 qui sont premiers entre eux donc est divisible
par 15.
Mais bien que 20 soit divisible par 4 et par 10 il n’est pas divisible par 40 (car 4 et 10 ne sont pas
premiers entre eux).
Proposition 24 Soit x_ 2 Z=nZ on a
x_ inversible () x ^ n = 1
Démonstration. x_ est inversible ssi 9y_ tel que x_ _ y_ = 1_ ssi 9y; k tels que x
9y; k tels que xy kn = 1 ssi x ^ n = 1:
Proposition 25 Soit la fonction indicatrice d’Euler,
positifs inférieurs à n et premiers avec n.
En particulier si p est un nombre premier (p) = p
4
y = 1 + kn ssi
(n) est égal au nombre de nombres entiers
1.
3
Plus petit multiple commun de deux entiers
Dé…nition 26 Soient a et b 2 Z, il existe 2 N tel que aZ \ bZ = Z.
est appelé le plus petit multiple commun de a; b, noté ppcm(a; b) (ou a _ b).
Exemple 27 On a vu dans le chapitre précédent ppcm(2; 3) = 6 et ppcm(10; 25) = 50.
ppcm(0; 0) = 0.
Remarque 28
Pour tout a 2 Z, on a ppcm(a; 0) = 0
Pour tout a et b dans Z, ppcm(a; b) = ppcm(b; a) = ppcm(jaj ; jbj).
Soient a; b 2 N alors
a j b () ppcm (a; b) = b
Démonstration. On montre le dernier point. On a
a j b () bZ
aZ () aZ \ bZ = bZ () ppcm (a; b) = b
Proposition 29 Soient a et b deux entiers relatifs. Soit 2 N. Alors = ppcm(a; b) si et seulement
si
l’entier est un multiple de a et b
si m est un multiple de a et de b alors divise m
Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour .
Démonstration. Notons = ppcm(a; b). On a Z aZ donc aj , de même Z bZ donc bj .
Donc est un multiple de a et b.
Soit m un multiple de a et b, alors mZ aZ et mZ bZ donc mZ aZ \ bZ donc mZ
Z
donc jm.
Réciproquement soit un entier positif véri…ant :
l’entier est un multiple de a et b
si m est un multiple de a et de b alors
divise m
Il faut montrer que = ppcm(a; b).
On a Z aZ et Z bZ donc Z aZ \ bZ = ppcm(a; b) Z donc ppcm(a; b) j .
D’autre part ppcm(a; b) est un multiple de a et de b donc par dé…nition de on a j ppcm(a; b).
On a ppcm(4; 6) = 12 ; ppcm(4; 7) = 28
Exemple 30
ppcm(5
7; 7
11) = 5
7
11
pgcd(312 ; 319 ) = 319
pgcd(215
38
52 ; 29
320
7) = 215
320
52
7
Proposition 31 Soient a et b deux entiers naturels, on a la relation :
pgcd(a; b) ppcm(a; b) = ab
5
Démonstration. Notons = ppcm(a; b) et = pgcd(a; b). Il existe a0 et b0 tel que a = a0 et
b = b0 On va montrer que = a0 b0 le résultat en découle immédiatement en multipliant par :
a0 b0 est un multiple de a et de b donc par dé…nition divise a0 b0 .
Réciproquement notons u et v les entiers tels que = au = bv donc
= a0 u = b 0 v
et donc
a0 u = b 0 v
donc b0 divise a0 u or a0 et b0 sont premiers entre eux donc d’après le théorème de Gauss b0 divise u
donc il existe q tel que u = b0 q et donc en remplaçant ci dessus
= a0 b 0 q
et donc
divise a0 b0 .
Exemple 32 Pour a = 4 et b = 6 ppcm(4; 6) = 12. Par ailleurs, pgcd(4; 6) = 2. On a bien
pgcd(4; 6) ppcm(4; 6) = 24.
Corollaire 33 Soit a et b deux entiers relatifs.
ppcm(a; b).
Alors pour tout k 2 N, ppcm(ka; kb) = k
Démonstration. la formule précédente donne
pgcd(ka; kb) ppcm(ka; kb) = ka:kb
comme pgcd(ka; kb) = k
pgcd(a; b) on obtient
ppcm(ka; kb) =
4
kab
=k
pgcd(a; b)
ppcm(a; b)
Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun de n entiers
Dé…nition 34 Soit n 2 N, n
3. On dé…nit le plus grand diviseur commun de a1 ; : : : ; an par
récurrence sur n grâce à la formule suivante :
pgcd (a1 ; : : : ; an ) = pgcd (pgcd (a1 ; : : : ; an 1 ) ; an ))
Dé…nition 35 Soit n 2 N, n
3. On dé…nit le plus petit multiple commun de a1 ; : : : ; an par
récurrence sur n grâce à la formule suivante :
ppcm (a1 ; : : : ; an ) = ppcm (ppcm (a1 ; : : : ; an 1 ) ; an ))
Exemple 36
pgcd(30; 15; 12) = 3; pgcd(300; 10; 60; 3) = 1
ppcm(30; 15; 12) = 60; ppcm(300; 10; 60; 3) = 300
Remarque 37 pour calculer le pgcd ou le ppcm de plusieurs nombres, on peut les prendre dans
l’ordre que l’on veut.
6