Exercice 1 :

 Les calculatrices sont autorisées
Avertissement : Tous les résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec une
précision au millième (exemple : 1,623.10-3) et en unité S.I., unité qui est à préciser.
Exercice 1 :
a
→
z
a 2
c
c2
→
O
→
x
y
b
b
On considère un solide (S) composé d’un parallélépipède rectangle et d’une pyramide. Il est
constitué d’un matériau homogène de masse volumique ρ .
→ → →
Le référentiel ℜ est considéré comme galiléen. Il est rapporté au repère (O, x , y , z ) .
1/4
ur
y
On donne la matrice d’inertie d’une pyramide droite,
de base rectangulaire a × b , de hauteur h et de masse
M , en son centre de gravité GP .
⎞
⎛ 2 3 2
0
0
⎜a + h
⎟
4
⎜
⎟
M
I pyr (GP ) = ⎜
a2 + b2
0
0
⎟
20 ⎜
3 2⎟
2
b + h
0
0
⎜
4 ⎟⎠ → → →
⎝
( GP , x , y , z )
→
x
GP
→
z
1.1
1.2
1.3
Déterminer la masse m du solide (S).
Déterminer les coordonnées yG du centre de gravité G du solide (S).
Déterminer numériquement la matrice d’inertie I S (G ) du solide (S) en son centre de
→ → →
gravité G dans le repère (G, x , y, z ) pour a = 40 mm, b = 30 mm et c = 40 mm.
Exercice 2 :
→
z0
Balle de ping-pong (1)
→
z1
O
G
θ
→
→
x0
x1
I
Plan incliné (0)
α
Une balle de ping-pong (1), assimilée à une sphère creuse de rayon R, de masse m et de centre de
gravité G, roule sans glisser en I sur un plan (0) incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale.
On note f le coefficient de frottement entre la balle de ping-pong (1) et le plan incliné (0).
→
→
→
Le référentiel ℜ0 est considéré comme galiléen. Il est rapporté au repère (O, x0 , y0 , z0 ) .
→
→ →
→
→
Le référentiel ℜ1 est rapporté au repère orthonormé direct (G , x1 , y1 , z1 ) tel que y1 = y0 . Le repère
→
→ →
→
→
→
(G , x1 , y1 , z1 ) , lié rigidement à la balle de ping-pong (1) se déduit à chaque instant de (G, x0 , y0 , z0 )
→
par une rotation d'angle θ autour de l'axe G y0 .
→
On suppose que la balle de ping-pong (1) ne peut tourner qu’autour de l’axe G y0 .
→
→
On note OG = x x0 .
2/4
→
2.1
Exprimer dans ℜ1 la vitesse angulaire Ω(1 / 0) de la balle de ping-pong (1) par rapport au
plan incliné (0).
2.2
En vous aidant du champ des vecteurs vitesses, déterminer la vitesse V (G ∈ 1 / 0) en
→
•
fonction de R et θ .
•
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
•
En déduire une relation entre x et θ .
Déterminer le moment d’inertie I G de la balle de ping-pong (1) au point G en fonction de
m et R.
En déduire le moment d’inertie I Δ de la balle de ping-pong (1) par rapport à l’un de ses
diamètres en fonction de m et R.
Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la balle de ping-pong (1).
En déduire la relation liant α et f .
Exercice 3 :
→
y
P
ϕ
→
O1
x
G
Terre
O2
Lune
→
La Terre, de masse mT , de centre O1 et de rayon R , tourne autour de l’axe O1 z à la vitesse
angulaire ω constante.
La Lune, de masse mL , est assimilée à une sphère de centre O2 . On note O1O2 = L .
Le centre de masse G du système Terre - Lune est situé sur l’axe (O1O2 ) à la distance a de O1 . Il
→
tourne autour de l’axe G z à la vitesse angulaire Ω =
KmL
constante, dans lequel K est la
aL2
constante de gravitation universelle.
→ → →
Le référentiel ℜ est considéré comme galiléen. Il est rapporté au repère (G, x , y, z ) .
→ → →
→
→ → →
→
Le référentiel ℜ1 est rapporté au repère orthonormé direct (G, u , v , z ) tel que u désigne le vecteur
unitaire de l’axe (O1O2 ) orienté de O2 vers O1 .
Le référentiel ℜ 2 est rapporté au repère orthonormé direct ( P, n , t , z ) tel que n désigne le vecteur
→ → →
→ → →
unitaire normal à la Terre. Le repère ( P, n , t , z ) se déduit à chaque instant de ( P, u , v , z ) par une
→
rotation d'angle ϕ autour de l'axe P z .
3/4
→ → →
→
Le référentiel ℜ3 est rapporté au repère orthonormé direct ( P, w, τ , z ) tel que w désigne le vecteur
→ → →
unitaire de l’axe (O2 P) orienté de O2 vers P. Le repère ( P, w, τ , z ) se déduit à chaque instant de
→ → →
→
( P, u , v , z ) par une rotation d'angle α autour de l'axe P z .
On note D la distance O2 P .
Soit une goutte d’eau P, de masse m située à la surface de la Terre dans le plan équatorial (plan de
la figure). Cette goutte d’eau est soumise à 3 forces extérieures :
→
-
La réaction de contact FC exercée par la Terre au point P.
-
La force FT d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre.
-
La force FL d’attraction gravitationnelle exercée par la Lune.
→
→
⎡ 2 → ⎤
d GP ⎥
Exprimer l’accélération a P = ⎢
⎢ dt 2 ⎥
⎣
⎦ ℜ0
→
3.1
→
de la goutte d’eau P en fonction de
→
K , mL , L, R, ω , u et n .
→
3.2
Exprimer dans ℜ 2 la force FT d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur la
goutte d’eau P.
3.3
Exprimer dans ℜ3 la force FL d’attraction gravitationnelle exercée par la Lune sur la
goutte d’eau P.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la goutte d’eau P, déterminer
→
3.4
→
l’action de contact FC exercée par la Terre sur la goutte d’eau (aucune projection n’est
demandée ici).
Par la suite, les différents ordres de grandeur entre les distances nous permettent de faire
→
→
→
→
u
w
R
l’approximation suivante : 2 − 2 = 3 (2 cos ϕ u − sin ϕ v ) .
L D
L
→
3.5
3.6
→
→
→
Exprimer l’action de contact FC sous la forme : FC = N n + T t . On exprimera N et T
en fonction de l’angle 2ϕ .
Déterminer le terme prépondérant dans l’expression de N .
En faisant l’hypothèse que le profil de la Terre est elliptique, on peut en déduire que l’amplitude des
R T
marées est égale à : A =
.
sin 2ϕ N
3.7 En déduire l’expression de l’amplitude des marées AL due à la Lune.
3.8 A.N : Calculer l’amplitude des marées AL dues à la Lune pour les valeurs suivantes :
R = 6366 km, mT = 5,977.10 24 kg, mL = 5,338.10 22 kg et L = 3,840.108 m.
Fin de l’énoncé
4/4