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PCSI
2011 - 2012
Feuille d'exercices 14
Exercice 1 :
Soient E un espace vectoriel et u1 , ..., un , x1 , ..., xp des vecteurs de E . On suppose
que les vecteurs u1 , ..., un sont tous des combinaisons linéaires des vecteurs x1 , ..., xp .
Montrer que toute combinaison linéaire de u1 , ..., un est aussi combinaison linéaire de
x1 , ..., xp .
Montrer que l'ensemble F1 des suites convergeant vers 0 et l'ensemble F2 des suites
constantes sont des sous-espaces vectoriels suplémentaires de E .
Exercice 2 : Montrer que K (K = RouC), en tant que K-espace vectoriel, n'a pas
d'autre sous-espace vectoriel que les sous-espaces vectoriels triviaux (i.e. {0} et K).
supplémentaires.
Exercice 3 : Considérons l'espace vectoriel (F(R, R), +, .). Parmi les ensembles
suivant lesquels en sont des sous-espaces vectoriels ?
1) L'ensemble des fonctions continues en 0.
2) L'ensemble des fonctions monotones sur R.
3) L'ensemble des fonctions prenant la valeur 1 en 0.
Exercice 4 : On considère l'ensemble
F = {(x, y, z) ∈ K3 , 5x2 + y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 2xz = 0} (pour K = R ou K = C).
Cet ensemble est-il un K-sous-espace vectoriel ?
Exercice 5 : Soit E un espace vectoriel et A et B deux parties de E . Comparer :
1) vect(A ∪ B) et vect(A) ∪ vect(B)
2) vect(A ∩ B) et vect(A) ∩ vect(B)
3) vect(vect(A)) et vect(A)
Exercice 6 : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E .
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou
G ⊂ F.
Exercice 7 : On note E = R3 , F = {(x, y, z) ∈ E, x + y + z = 0} et
G = {(x, x, x), x ∈ R}.
Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E . Sont-ils supplémentaires ?
Exercice 8 : On note E l'ensemble des suites réelles convergentes et on admet que E
est un R-espace vectoriel.
Exercice 9 : Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que
f 2 − 3f + 2IdE = 0.
Montrer que f est un automorphisme et que Ker(f − IdE ) et Ker(f − 2IdE ) sont
Exercice 10 : Soit E un espace vectoriel et f, g ∈ L(E). Montrer que
f (Ker g ◦ f ) = Ker g ∩ Im f
Exercice 11 : Soit E un K-espace vectoriel et g un endomorphisme de E . On dénit
Cg de L(E) sur L(E) par : ∀f ∈ L(E), Cg(f ) = f ◦ g − g ◦ f .
1) Montrer que Cg est un endomorphisme de L(E).
2) Montrer que si g est nilpotent , alors Cg l'est également.
Exercice 12 : Soit E un espace vectoriel et p et q deux projecteurs de E .
1) Soit α un réel diérent de 0 et de 1. Montrer que si p ◦ q = αq ◦ p alors
p ◦ q = q ◦ p = 0. Caractériser ce cas à l'aide des images et noyaux de p et q .
2) Trouver une condition nécessaire et susante portant sur les images et les noyaux
de p et q pour que p + q soit un projecteur.
3) Déterminer alors l'image et le noyau de p + q .
Exercice 13 : On note E l'ensemble des fonction de R dans lui-même inniment
dérivables et dont les dérivées succesives sont continues. On considère
Ψ:
E
→ E
f
7→ f 00 − 3f 0 + 2f
.
Montrer que Ψ est un endomorphisme et préciser son noyau.
Exercice 14 : Soient E un K-espace vectoriel, u et v dans L(E) vériant
u ◦ v − v ◦ u = u. Calculer, pour tout n ∈ N, un ◦ v − v ◦ un en fonction de u et n.
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis