equations du second degre

Résolution d’équations du second degré
1) Equations du second degré
Définition
a, b, et c désignent des nombres réels donnés avec a ≠ 0.
Une équation du second degré, d’inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la
forme ax 2 + bx + c = 0 .
Exemples
Après avoir factorisé, résoudre dans r, les équations suivantes :
a) x 2 − 2 x = 0 ;
b) x 2 + 2 x + 1 = 0 ;
c) x 2 − 4 x + 4 = 0 ;
d) x 2 − 9 = 0 .
Solutions
a) x 2 − 2 x = 0 ⇔ x ( x − 2 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x − 2 = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2 .
D’où S = {0 ; 2} : ensemble des solutions.
2
b) x 2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ ( x + 1) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 .
D’où S = {1} : ensemble des solutions.
2
c) x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2 .
D’où S = {2} : ensemble des solutions.
d) x 2 − 9 = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 3) = 0 ⇔ x + 3 = 0 ou x − 3 = 0 ⇔ x = −3ou x = 3 .
D’où S = {– 3 ; 3} : ensemble des solutions.
2) Fonction trinôme
a) Définition
Toute fonction polynôme du second degré est appelée fonction trinôme ; c’est-à-dire : toute
fonction définie sur r du type : f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0.
Exemples
1) f ( x ) = x 2 ; ici a = 1, b = 0 et c = 0.
1
1
2) f ( x ) = − x 2 + x + 4 ; ici a = − , b = 1 et c = 4.
2
2
b) Représentation graphique
La représentation graphique d’une fonction trinôme, dans un repère orthogonal, est une parabole.
Exemple. Voir activité et chapitre 5
3) Racines du trinôme
a) Définition
On appelle racine du trinôme f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) toute solution , quand elle
existe, de l’équation : ax 2 + bx + c = 0 .
Exemple. f ( x ) = x 2 + 4 x
x2 + 4 x = x ( x + 4)
x 2 + 4 x = 0 ⇔ x ( x + 4 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x + 4 = 0 ⇔ x = 0 ou x = −4
On dit que –4 et 0 sont les racines de f.
b) Forme canonique - Discriminant
Exemple
f ( x ) = 2 x2 + 7 x + 6
On met 2 en facteur
7
6

f ( x ) = 2  x2 + x + 
2
2

2
7
7

7
2
 x +  = x + 2× x +  
4
4

4
f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0)
On met a en facteur
b
c

f ( x ) = a  x2 + x + 
a
a

2
2
b 
b

 b 
2
x+ 
x+
 = x + 2×
2a 
2a

 2a 
2
7
7
49

2
x+  = x + x+
4
2
16

d’où
2
b 
b
b2

2
x
x
x
+
=
+
+


2a 
a
4a 2

d’où
2
7
7  49

x + x =x+  −
2
4  16

2
2
x2 +
2

7  49 6 
f ( x ) = 2  x +  − + 
4  16 2 

b
b 
b2

x =x+
−

a
2 a  4a 2

2

b 
b2 c 
f ( x ) = a  x +  − 2 + 
2a  4 a
a 

2

b 
b 2 4a × c 
= a  x +  − 2 +

2a  4a
4a × a 

2

7  49 8 × 6 
= 2  x +  − +

4  16 8 × 2 

2

7   49 48  
= 2  x +  −  −  
4   16 16  

2

7
1
f ( x ) = 2  x +  − 
4  16 

2

b   b 2 4ac  
= a  x +  −  2 − 2  
2a   4a
4a  

2

b  b 2 − 4ac 
f ( x ) = a  x +  −

2a 
4a 2 


forme canonique
forme canonique
2
2
2
On a bien b − 4ac = 7 − 4 × 2 × 6 = 1et 4a = 16
c) Définition
On appelle discriminant du trinôme ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) le réel b 2 − 4ac , noté ∆.
Soit ∆ = b 2 − 4ac .
∆ est appelé discriminant car il sert à discriminer (à distinguer) le nombre de solutions
(selon son signe).
La forme canonique du trinôme ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0) s’écrit alors :
2

b 
∆ 
f ( x ) = a  x +
− 2  ; avec a ≠ 0.

2a  4a 

Comme avec a ≠ 0, alors :
2
b 
∆

f ( x ) = 0 équivaut à  x +
 − 2 =0.
2 a  4a

2
4) Factorisation du trinôme f ( x ) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0)
Résolution de l’équation du second degré ax 2 + bx + c = 0 (avec a ≠ 0).
Théorème
Soit une fonction trinôme f définie sur r par : f ( x ) = ax 2 + bx + c ; avec a ≠ 0
et ∆ = b 2 − 4ac , son discriminant.
a) Si ∆ > 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet deux solutions distinctes :
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
2a
2a
et f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) , factorisation de f(x).
x1 =
Démonstration.
2

b 
∆ 
D’après c) : f ( x ) = a  x +  − 2  ; avec a ≠ 0.
2a  4a 

( )
2
2
∆
 ∆
∆
2
=
=

 et f ( x ) = ax + bx + c .
2
2
4a
( 2a )  2 a 
Donc
2
2


b   ∆ 
b   ∆   
b   ∆ 

2
− 
− 
ax + bx + c = a  x +
  = a  x +
   x +  + 
  =


2a   2a  
2
a
2
a
2
a
2
a











 







  −b

∆     −b
∆ 
−b + ∆  
−b − ∆ 
= a  x − 
+
−
   x − 
  = a  x −
 x −

2
a
2a 
  2a 2a     2a 2a  

 x1
x2



−b + ∆
−b − ∆
Posons x1 =
et x2 =
. Ainsi ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) : factorisation
2a
2a
2
et ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) équivaut à a ( x − x1 )( x − x2 ) = 0 ⇔ x − x1 = 0 ou x − x2 = 0 ⇔ x = x1 ou x = x2 .
Donc l’équation ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) admet deux solutions distinctes :
x1 =
−b + ∆
−b − ∆
et x2 =
.
2a
2a
Exemple
f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 . Ici a = 1, b = 2 et c = –3. b 2 − 4ac = 22 − 4 ×1× ( −3) = 4 + 12 = 16 .
∆ > 0. L’équation x 2 + 2 x − 3 = 0 admet deux solutions distinctes :
−b + ∆ −2 + 16 −2 + 4 2
x1 =
=
=
= =1
2a
2 ×1
2
2
−b − ∆ −2 − 16 −2 − 4 −6
x2 =
=
=
=
= −3 .
2a
2 ×1
2
2
– 3 et 1 sont les racines du trinôme f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 .
On peut factoriser : f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) , soit x 2 + 2 x − 3 = 1. ( x − 1) ( x − ( −3) ) = ( x − 1)( x + 3) . Donc
x 2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3) .
Interprétation graphique
2
f ( x ) = x 2 + 2 x − 3 = x 2 + 2 x + 1 − 1 − 3 = ( x + 1) − 4 .
2
f ( x ) = ( x + 1) − 4 .
La parabole d’équation y = x 2 + 2 x − 3
coupe l’axe des abscisses en deux points
d’abscisses respectives x1 = 1 et x2 = – 3.
b) Si ∆ = 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet une solution double : x0 = −
b
2a
2
et f ( x ) = a ( x − x0 ) , factorisation de f(x).
Démonstration.
2
 

  b 
b 

2
Pour (a ≠ 0): ax + bx + c = a  x +
 = a  x −  − 
2a 
2a  

 
  x0  
b
2
Posons x0 = −
; donc ax 2 + bx + c = a ( x − x0 ) .
2a
2
2
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a ( x − x0 ) = 0 ⇔ ( x − x0 ) = 0 ⇔ x − x0 = 0 ⇔ x = x0 .
2
Donc l’équation ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) a une seule solution x0 = −
b
.
2a
Remarque :
2
( x − x0 ) = ( x − x0 )( x − x0 )
( x − x0 )
2
= 0 ⇔ ( x − x0 )( x − x0 ) = 0
C’est pour cela que l’on dit que l’équation admet une solution double x0.
Exemple
2
f ( x ) = a ( x − x0 ) . Ici a = –1, b = 4 et c = –4. b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × ( −1) × ( −4 ) = 16 − 16 = 0 .
L’équation − x 2 + 4 x − 4 = 0 admet une solution double : x0 = −
2
2
b
4
4
=−
= =2
2a
2 × ( −1) 2
et f ( x ) = a ( x − x0 ) , soit alors − x 2 + 4 x − 4 = −1. ( x − 2 ) . Donc f ( x ) = − ( x − 2 )
Remarque :
2
− x2 + 4 x − 4 = − ( x2 − 4 x + 4) = − ( x − 2) .
2
Interprétation graphique
La parabole d’équation y = − x 2 + 4 x − 4
a un seul point commun avec des
abscisses ; le point d’abscisse x0 = 2 .
c) Si ∆ < 0, alors l’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution dans r , on ne peut donc pas
factoriser f.
Démonstration.
2

∆ 
b 
f ( x ) = a  x +  − 2  ; avec a ≠ 0.
2a  4a 

2
∆
b   ∆ 

− 2 > 0, et par suite  x +
 +−
 > 0.
4a
2 a   4a 2 

2

b   ∆ 
2
L’équation ax + bx + c = 0 qui peut s’écrire a  x +  +  − 2   = 0 n’a pas de solution car a ≠ 0.
2a   4a  

Exemple
2
f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 . Ici a = 1, b = –2 et c = 2. b 2 − 4ac = ( −2 ) − 4 ×1× 2 = 4 − 8 < 0 .
L’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution réelle. f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 n’est donc pas
factorisable dans r.
Interprétation graphique
La parabole d’équation y = x 2 − 2 x + 2
ne coupe pas l’axe des abscisses.
2
f ( x ) = x 2 − 2 x + 2 = x 2 − 2 x + 1 − 1 + 2 = ( x − 1) + 1