Classes de Première Chapitre 3 : bac pro(Ct+Cr+S) Equations.Inéquations.Systèmes Année scolaire 2006-2007 I) Le premier degré : (Rappels) 1) Etude d’une situation On place à intérêts simples une somme de 3 200 € au taux annuel de 4,5%. On perçoit à la fin du placement une somme de 3 560 €. Quelle a été la durée du placement ? Méthode : - On choisit une lettre pour désigner la grandeur inconnue (souvent x) On pose l’équation On la résout On écrit une phrase de conclusion Rédaction de la solution : Soit x la durée du placement : L’équation est : 3 200 + 3 2000,045x = 3 560 D’où : 3 200 + 144x = 3 560 144x = 3 560 – 3 200 x = 360 = 2,5 144 La durée du placement est de 2 ans et demi. 2) Equations du 1er degré à une inconnue a) Résolution de ax = b avec a 0 : Cette équation n’admet qu’une seule solution et x= - b a Exemple : Résoudre 3x = 5. Alors : x = 5 3 b) Cas général se ramenant au cas précédent : Exemple : Résoudre 4x + 5 = 7x – 1 4x-7x = -1 – 5 -3x = -6 x = -6/-3 = 2 La solution est 2 3) Systèmes de deux équations à deux inconnues Deux méthodes seront étudiées pour résoudre ces systèmes : la substitution et la méthode par additions . Exemple : 3x2y 13 x9y 15 a) Par substitution : 3x2y 13 3(159y)2y 13 4527y 2y 13 29y 58 1) 2) 3) 4) x159y x159y x159y x159y y 2 y 2 5) 6) Donc S= {(3 ;-2)} x159(2) x 3 b) Par additions : 3x2y 13 3x2y 13 3x2y 13 3x2(2)13 1) 2) (L2 L1+L2) 3) 4) x9y 15 ((3)) 3x27y 45 29y 58 y 2 3x9 x3 5) 6) Donc S= {(3 ;-2)} y 2 y 2 4) Inéquations du 1er degré à une inconnue Exemple : Résoudre l’inéquation suivante : 5x + 3 -2 On procède comme pour les équations : 5x -2 – 3 5x -5 x - 5 = -1 5 Représentation des solutions : - Sous la forme d’intervalle : S = [-1 ;+ [ Sous la forme d’une droite graduée : Attention : Quand le nombre devant x est négatif, il faut changer le sens de l’inégalité. Exemple : Résoudre –3x+1 4 -3x 3 x -1 II) Etude du signe d’expressions algébriques 1) Signe d’un produit Problème : Résoudre l’inéquation suivante : (3x + 1)(5x – 2) 0 Méthode : a) On résout 3x + 1 = 0 et 5x – 2 = 0. On trouve x = -1/3 pour la première équation et x = 2/5 pour l’autre. b) On place ces deux valeurs dans l’ordre croissant dans un tableau comme suit : x - -1/3 2/5 + c) On complète le tableau précédent de la façon suivante : x - Signe de 3x+1 Signe de 5x-2 Signe de (3x+1)(5x-2) -1/3 0 + 0 2/5 + - 0 0 + + + + Explications : On commence par placer les 0 (D’après les calculs du a) ) - Si le coefficient devant x est positif, on met d’abord les signes – jusqu’au 0 puis après + Si le coefficient devant x est négatif, on fait le contraire. Ensuite, pour remplir la dernière ligne, on applique la règle des signes de la multiplication. d) On note les solutions sous la forme d’ensembles : S = ] - ; -1/3] U [2/5;+ [ 2) Signe d’un quotient III) Second degré 1) Trinôme du second degré On appelle trinôme du second degré une expression algébrique du type ax2 + bx + c avec a réel 0, b et c des réels quelconques. Exemple : 3x2+5x-2 est un trinôme du second degré. 2) Equations du second degré se ramenant au 1er degré Exemples : a) Résoudre l’équation suivante : x2 – 6x + 9 = 0 (E) On reconnaît l’identité remarquable (a - b)2 = a2-2ab+b2 En effet, (x-3)2 = x2 – 6x +9 Or (x-3)2 = 0 équivaut à x-3 = 0 D’où x = 3 Donc, l’équation (E) n’admet qu’une seule solution x = 3 b) Résoudre l’équation suivante : x2 + x – 20 = 0 Or, (x – 4)(x+5) = x2 + x –20 D’où résoudre x2 + x – 20 = 0 revient à résoudre (x – 4)(x+5) = 0 Un produit de facteurs est nul si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc : x - 4= 0 ou x+5= 0. C’est-à-dire : x = 4 ou x = -5 S = {4 ;-5} 3) Cas général On veut résoudre ax2 + bx + c = 0 avec a 0 Méthode : 1) On calcule = b2 - 4ac (le discriminant) 2) 3 cas possibles selon les valeurs de : - - Si < 0, l’équation n’a pas de solution réelle Si > 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes : x1 = b et x2 = b 2a - 2a Si = 0, l’équation admet une seule solution (=la solution double) : x = b Exemple : On reprend l’exemple précédent : x2+x-20 2a =0 On calcule = b2 – 4ac = 12 - 41(-20) = 81 = 92 > 0 donc l’équation admet deux solutions réelles distinctes x1= b = 19 = 4 et x2 = b = 19 = -5 2a 21 2a 21 Donc S = {4 ;-5}