1 - Fascicule d`arithmétique

1.
A propos des nombres entiers
Aristote (384-322)
Pour les PYTHAGORICIENS, eux aussi, le seul nombre,
c’est le nombre mathématique ; seulement le nombre n’est plus
séparé, mais, au contraire, c’est lui qui, dans ce système,
constitue les substances sensibles. Ils construisent, en effet,
l’Univers entier au moyen de nombres ; seulement ces nombres
ne sont pas composés d’unités abstraites, mais ils attribuent aux
unités l’étendue. Quant à expliquer la constitution de la
première unité douée d’étendue, c’est là pour eux un écueil
manifeste. (Métaphysique, M, 6, 1080 b 15-21, vol. 2, pp. 74445)
Kronecker (1823-1891)
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist
Menschenwerk. (Jahresber. DMV 2, S, 19, in : Les nombres,
Vuibert, Paris, 1999, chap. 1, p. 2)
Les entiers naturels
Les mathématiciens distinguent plusieurs ensembles de nombres et les désignent par des
symboles spécifiques. Le premier de ces ensembles, à partir duquel tous les autres ensembles de
nombres peuvent être construits, est l’ensemble des nombres entiers naturels. Cet ensemble a
pour symbole : ! et contient les éléments suivants : ! = 0;1;2;3;...
{
}
On définit, dans l’ensemble des entiers naturels, deux opérations : l’addition et la multiplication.
Ces deux opérations satisfont à plusieurs propriétés telles que :
-
A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer une somme, notée a + b , qui
est elle-même un nombre naturel. On dit que l’opération d’addition est interne dans ! .
-
L’opération d’addition est commutative, c’est-à-dire que a + b = b + a , pour tous
nombres naturels a et b.
-
L’opération d’addition est associative, c’est-à-dire que a + (b + c) = (a + b) + c , pour tous
nombres naturels a, b et c.
-
L’opération d’addition possède un élément neutre, le nombre 0, c’est-à-dire que
a + 0 = a , pour tout nombre naturel a.
-
A toute paire de nombres naturels a et b, on peut associer un produit, noté a ! b (notation
que l’on abrège souvent par ab ), qui est lui-même un nombre naturel. On dit que
l’opération de multiplication est interne dans ! .
-
L’opération de multiplication est commutative, c’est-à-dire que a ! b = b! a , pour tous
nombres naturels a et b.
-
L’opération de multiplication est associative, c’est-à-dire que a !(b! c) = (a ! b) ! c , pour
tous nombres naturels a, b et c.
C. Aebi & M. Cuénod
1
-
Le lien fondamental entre la multiplication et l’addition est la distributivité de la
multiplication sur l’addition, c’est-à-dire que a !(b + c) = a ! b + a ! c .
L’ensembles des entiers naturels est ordonné dans le sens où si l’on prend deux nombres naturels
a et b de trois choses l’une, soit a est égal à b, soit a est plus petit que b, soit b est plus petit que
a. Lorsque a est plus petit que b on note cette relation symboliquement par a < b , et si b est plus
grand que a par b > a . Cette relation d’ordre satisfait à différentes propriétés telles que :
-
Si a < b et si b < c , alors a < c . On dit que la relation d’ordre est transitive.
-
Si a < b , alors a + c < b + c pour tout nombre naturel c.
-
Si a < b , alors a ! c < b! c pour tout nombre naturel, non nul, c.
Les entiers relatifs
Le zéro, comme les nombres négatifs, n’ont obtenu le statut de nombre que tardivement comme
en témoigne ce texte d’un mathématicien indien du VIIe siècle ap. J.-C., Brahmagupta
Brahmagupta (628)
Une dette moins zéro est une dette.
Un bien moins zéro est un bien.
Zéro (shûnya) moins zéro est nul (kham).
Une dette retranchée de zéro est un bien.
Alors qu’un bien retranché de zéro est une dette.
Le produit de zéro par une dette ou par un bien est zéro.
Le produit de zéro par lui-même est nul.
Le produit ou le quotient de deux biens est un bien.
Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien.
Le produit ou le quotient d’une dette par un bien est une dette.
Le produit ou le quotient d’un bien par une dette est une dette.
(Brahmagupta, Brâhmasphutasiddhânta, in : Ifrah G., Histoire universelle des chiffres,
T. 1, p. 976)
Lorsque l’on cherche à résoudre une équation dans l’ensemble des entiers naturels il se peut que
celle-ci ne possède pas de solution exprimable sous la forme d’un entier naturel comme par
exemple l’équation x + 3 = 2 , et plus généralement les équations du type x + a = b avec a > b .
C’est ainsi que les mathématiciens ont construit un ensemble de nombres plus vaste incluant les
solutions de ce type d’équation de la manière suivante : pour chaque entier naturel a, on définit
un nombre, son opposé, !a , tel que a + !a = 0 . Ce nouvel ensemble est l'ensemble des
( )
nombres entiers relatifs qui a pour symbole ! , et contient les éléments suivants :
! = ...;! 2;! 1;0;+ 1;+ 2;...
{
}
Euler (1774)
18. Puisque les nombres négatifs peuvent être considérés comme des dettes, en tant que
les nombres positifs indiquent des biens effectifs, on peut dire que les nombres négatifs
sont moins que rien. (...)
21. (…) Je me contenterai de faire remarquer ici d’avance que toutes ces formules +1–1,
+2–2 , +3–3 &c. valent 0 ou rien. Ensuite que +2–5 vaut –3 car si quelqu’un a 2 écus &
qu’il en doive 5, non seulement il n’a rien, mais il doit encore 3 écus. (...)
33. Il nous reste à résoudre encore ce cas où – est multiplié par –, ou par exemple –a par
–b. Il est évident d’abord que, quant aux lettres, le produit sera ab ; mais il est incertain
encore si c’est le signe + ou le signe – qu’il faut mettre devant ce produit ; tout ce que
C. Aebi & M. Cuénod
2
l’on sait, c’est que ce sera ou l’un ou l’autre de ce signes. Or je dis que ce ne peut être le
signe – : car –a par +b donne –ab & –a par –b ne peut produire le même résultat que
–a par +b, mais il doit en résulter l’opposé, c’est-à-dire +ab ;
(Euler, Élémens d’Algèbre, trad. française, 1774, pp. 11-21)
Le zéro, de par sa nature, pose un certain nombre de problèmes (notamment lors de la division).
Raison pour laquelle les mathématiciens ont créé le symbole * qu’ils accolent aux symboles
désignant les ensembles de nombres pour préciser que ces ensembles ne contiennent pas le zéro.
Ainsi :
!! = { 1;2;3;...}
!! = {...;" 2;" 1;+ 1;+ 2;...} etc…
Pour signifier qu’un nombre fait partie d’un ensemble les mathématiciens notent cette relation de
la manière suivante : 3 !! , ce qui signifie « le nombre 3 appartient à l’ensemble des nombres
entiers naturels » ou que « le nombre 3 est un élément de l’ensemble des entiers naturels »
De manière analogue on écrira !3 "! , mais !3 "!
Pour signifier que tous les éléments d’un ensemble A font partie d’un autre ensemble B, les
mathématiciens notent cette relation de la manière suivante : A ! B , ce qui se lit : « l’ensemble
A est inclus dans l’ensemble B, ainsi, par exemple, ! ! " ; ou encore l’ensemble des entiers
naturels pairs est inclus dans l’ensemble des entiers naturels.
1.1
Généralités
Exercice 1.1.1
Définir clairement le concept de parité puis démontrer les propositions suivantes que l’on trouve
dans le livre VII des Éléments d’Euclide :
Euclide (IIIe siècle av. J.-C.)
IX. 21.
Si des nombres pairs en quantité quelconque sont ajoutés, le tout est pair.
IX. 22.
Si des nombres impairs en quantité quelconque sont ajoutés, et que leur multitude
soit paire, le tout sera pair.
IX. 23.
Si des nombres impairs en quantité quelconque sont ajoutés, et que leur multitude
soit impaire, le tout aussi sera impair.
IX. 24.
Si à partir d’un nombre pair un pair est retranché, le reste sera pair.
IX. 25.
Si à partir d’un nombre pair un impair est retranché, le reste sera impair.
IX. 26.
Si à partir d’un nombre impair un impair est retranché, le reste sera pair.
IX. 27.
Si à partir d’un nombre impair un pair est retranché, le reste sera impair.
IX. 28.
Si un nombre impair multipliant un pair produit un certain nombre, le produit sera
pair.
IX. 29.
Si un nombre impair multipliant un nombre impair produit un certain nombre, le
produit sera impair.
IX. 30.
Si un nombre impair mesure un nombre pair, il mesurera aussi sa moitié.
C. Aebi & M. Cuénod
3
Exercice 1.1.2
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier vos réponses.
a) Le quotient de deux nombres pairs est un nombre pair.
b) Le cube d’un nombre pair est un nombre pair.
c) Si le carré d’un nombre est pair, alors ce nombre est pair.
d) La somme de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de 4.
e) La somme de deux entiers consécutifs est toujours divisible par 3 ; 5 ou 7.
f) La différence des carrés de deux impairs consécutifs est toujours un multiple de 8.
Exercice 1.1.3
a) Par quel chiffre se terminent les nombres suivants? 2100 ; 7100 ; 17·225 ; 1735·1335
b) Sachant que 210 = 1024 ! 103 , trouver une règle approximative pour obtenir le nombre de
chiffres de 2 n , où n est un nombre entier quelconque.
c) Compléter pour obtenir des égalités vraies
17 ! 225 = 229 + 2.....
60500 + 12 = 12 ! (........+ ........)
12500 + 20350 = 8! (.......+ ........)
d) L’écriture en base 10 d’une puissance de 2 peut-elle se terminer par les chiffres 34 ?
e) Écrire 2007 sous la forme d’une somme de puissances de 2 tous distincts.
Exercice 1.1.4
Calculer, observer, formuler une conjecture, et la prouver lorsque c’est possible.
2!2 +1=
22 ! 2 + 1 =
a)
222 ! 2 + 1 =
...
9 !9 + 8 =
99 !9 + 8 =
b)
999 !9 + 8 =
...
32 =
2
c) 33 =
3332 =
...
62 ! 52 =
d)
562 ! 452 =
5562 ! 4452 =
55562 ! 44452 =
Exercice 1.1.5
a) Sachant que 1234567892 = 15241578750190521 calculer 1234567902.
b) Calculer
1234567902 – 1234567892
98765432112 – 2·9876543211·9876543209 + 98765432092
C. Aebi & M. Cuénod
4
c) Observer, conjecturer et généraliser.
12 = 1
112 =121
1112 = 12321
11112 = 1234321
Puis calculer 123'456'7892 + 2 !9876543211!9876543209 + 98765432092
1.2
Les nombres figurés
Définition :
On appelle nombre figuré les nombres que l’on peut associer à une figure
polygonale régulière.
Exemple : Ainsi les nombres représentés ci-dessous 1, 3 et 6 sont appelés des
nombres triangulaires.
Exercice 1.2.1
a) Donner les huit premiers nombres triangulaires (de T1 à T8).
b) En disposant le double des nombres triangulaires sous la forme d’un rectangle montrez que le
n !(n + 1)
ne nombre triangulaire peut s’écrire Tn =
.
2
c) Démontrer que !n "N on a 8·Tn+ 1 = ( 2·n + 1 )2 .
Exercice 1.2.2
Quels sont les entiers pouvant s’écrire sous la dorme d’une somme d’entiers consécutifs ?
Exemples : 3 car 1+ 2 = 3 ; 14 car 2 + 3+ 4 + 5 = 14 .
Exercice 1.2.3
a) Donner les cinq premiers nombres carrés.
b) Donner une expression pour le nième nombre carré.
c) Montrer que le nième nombre carré est la somme des n premiers nombres impairs.
d) Montrer que la somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré.
C. Aebi & M. Cuénod
5
Exercice 1.2.4
a) Donner les huit premiers nombres pentagonaux et donner une expression pour le nième
nombre pentagonal.
P1
P2
P3
P4
P5
b) Vérifier que tout nombre pentagonal est égal à son côté augmenté de
trois fois le triangulaire de rang précédent, c’est-à-dire Pn = n + Tn!1 (voir
figure ci-contre).
c) Vérifier le lien entre les nombres pentagonaux et triangulaires : 3! Pn = T3!n"1
1.3
La relation de divisibilité
Préambule. Les nombres a = 2360 – 1 et b = 21110 + 1
Est-il vrai que a + b est divisible par 13 ?
Définition :
sont divisibles par 13.
Soit deux nombres entiers a ( ! 0 ) et b. On dit que a divise b, ce que l’on note
a b , s’il existe un entier c tel que b = a ! c . Le nombre a est alors un diviseur du
nombre b et le nombre b est un multiple du nombre a.
Par exemple 3 12 car 12 = 3! 4 .
{
}
L’ensemble des diviseurs de b se note Divb . Exemple: Div12 = 1;12;2,6;3;4 .
Chez Euclide cette notion est remplacée par celle de mesurabilité : a mesure b si a ! b et
a ! c = b pour c !N .
Exercice 1.3.1
Démontrer les propriétés élémentaires suivantes, pour a, b et c des nombres entiers > 0 :
a) Si a | b et b | c alors a | c
(transitivité de la divisibilité).
b) Si a | b et a | c alors a | (b ± c) .
c) Si a ! b , alors Diva ! Divb = Diva ! Divb"a .
d) Déduire de c) qu’en effectuant de soustractions répétées on a Diva ! Divb = Divpgcd (a ;b) .
C. Aebi & M. Cuénod
6
Exercice 1.3.2
Un critère de divisibilité est une règle permettant de reconnaître rapidement, sans effectuer la
division, si un nombre donné est divisible ou non par un autre.
Énoncer un critère de divisibilité par 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 25; 36; 40; 75; 125 et
chercher à justifier vos critères ainsi trouvés.
Exercice 1.3.3
Pour différentes valeurs de n , vérifier, puis démontrer que
a) n2 ! n est un multiple de 2.
b) n7 ! n est un multiple de 42.
Exercice 1.3.4
a) Prouver que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 6.
b) Démontrer que si a et b sont deux entiers, alors a ! b!(b2 " a 2 ) est un multiple de 3.
c) Prouver que la différence des carrés de deux nombres impairs est toujours divisible par 8.
Exercice 1.3.5
Choisir au hasard cinq nombres consécutifs a, b, c, d et e. Vérifier que
a) a + b + c + d + e est un multiple de 5.
b) a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 est un multiple de 5.
Exercice 1.3.6
Un nombre est divisible par 11 si, et seulement si, la différence entre la somme des chiffres de
rang impair et la somme des chiffres de rang pair est divisible par 11.
Vérifiez ce critère sur quelques exemples et justifiez-le.
Exercice 1.3.7
On trouve dans le Talmud de Babylone la règle suivante: un nombre est divisible par 7 si, et
seulement si, la somme du nombre formé par les deux derniers chiffres et du double du nombre
formé par les autres chiffres est divisible par 7. Par exemple: 12’313 est divisible par 7 car
13+ 2 !123 = 259 est divisible par 7.
Vérifier ce critère sur quelques exemples et trouver un autre critère de divisibilité par 7.
Exercice 1.3.8
Tout nombre de la forme abcabc est un multiple de 7, de 11 et de 13. Pourquoi?
C. Aebi & M. Cuénod
7
1.4
Les nombres premiers
Définitions : 1. Un nombre entier naturel n ( n !!" ) est premier s’il admet exactement deux
diviseurs : 1 et n.
2. Tout nombre entier naturel possédant plus de deux diviseurs est composé.
Conséquence :
Le nombre 1 est appelé une unité et n’est ni composé, ni premier.
Chez Euclide la définition est la suivante :
Df. VII.12 Un nombre premier est celui [qui est] mesuré par une unité seule.
Exercice 1.4.1
a) Énumérer l’ensemble des nombres premiers plus petit que 100.
b) Les nombres suivants sont-ils premiers : 187 ; 389 ; 841 ; 899 ?
c) Élaborer un algorithme permettant de prouver qu’un nombre donné est premier.
Questions.
Existe-t-il une infinité de nombres premiers ? Si oui, comment se répartissent-ils ? Existe-t-il une
formule permettant de tous les énumérer ? Y a-t-il un algorithme ‘rapide’ qui permet de les
identifier ? Quelles relations existe-t-il entre les nombres composés et les nombres premiers ?
Une réponse partielle à la dernière question est donnée par Euclide.
VII. 31
Tout nombre composé est mesuré par un certain nombre premier.
A
B
C
Soit un nombre composé A. Je dis que A est mesuré par un certain nombre premier.
En effet, puisque A est composé, un certain nombre le mesurera. Qu’il le mesure et que ce soit B.
Et si B est premier, ce qui était prescrit aura été fait. S’il est composé, un certain nombre le
mesurera. Qu’il le mesure et que ce soit C. Et puisque C mesure B et que B mesure A, le [nombre] C
mesure donc aussi A. Et, d’une part si C est premier, ce qui a été prescrit aura été fait, d’autre part
s’il est composé, un certain nombre le mesurera. Alors l’investigation étant poursuivie de cette
façon, un certain nombre premier sera trouvé qui mesurera [A]. Car s’il ne s’en trouvait pas, des
nombres en quantité illimitée mesureraient le nombre A, dont chacun serait plus petit que le
précédent ; ce qui est impossible dans les nombres. Donc un certain nombre premier sera trouvé qui
mesurera le [nombre] précédent et qui mesurera aussi A. Donc tout nombre composé est mesuré par
un certain nombre premier. Ce qu’il fallait démontrer.
VII. 32
Tout nombre est soit premier soit mesuré par un certain nombre premier.
A
Soit un nombre A. Je dis que A est soit premier, soit mesuré par un certain nombre premier.
Or d’une part si A est premier, ce qui était prescrit aura été fait. D’autre part s’il est composé, un
certain nombre premier le mesurera (VII. 31). Donc tout nombre est soit premier soit mesuré par un
certain nombre premier. Ce qu’il fallait démontrer..
C. Aebi & M. Cuénod
8
Exercice 1.4.2
Étudier attentivement les deux propositions VII.31 et VII.32 d’Euclide.
La réponse à la première question se trouve chez Euclide, dans le Livre IX, proposition 20.
IX.20. Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée.
L’idée de la preuve est de partir d’un nombre fini de nombres premiers, comme par exemple 2, 3
et 5 puis de construire à partir de ces derniers un nombre N qui est soit premier, soit divisible par
un nombre premier autre que 2, 3 et 5.
Le nombre N en question s’obtient en posant N = 2·3·5 + 1
Exercice 1.4.3
a) Justifier la raison pour laquelle N n’est pas divisible par 2, 3 et 5.
Votre argument peut-il être généralisé ? Si non, trouver un autre argument généralisable.
b) En observant la forma particulière des nombres ci-dessous déduire la raison pour laquelle ils
sont tous premiers.
263 = 2 !3!11!13" 5!7 !17 ; 389 = 5·11·17 – 2·3·7·13 et 619 = 3!13!17 ! 23" 2 !5!7 !11!19 .
Les nombres premiers jouent un rôle essentiel dans la science des nombres : l’arithmétique. Ils
sont en effet les briques élémentaires à partir desquelles tous les autres nombres entiers peuvent
s’exprimer. Ce rôle primordial est tout entier contenu dans le théorème suivant.
Théorème.
Un nombre composé ne se résoud que d’une seule manière, en facteurs premiers
(Gauss C. F., Recherches arithmétiques (1807),)
Ce théorème signifie ainsi que tout nombre composé est factorisable en un produit de nombres
premiers et que cette factorisation est unique. Ce résultat est connu comme le théorème
fondamental de l’arithmétique.
La démonstration rigoureuse et complète de ce théorème est due à C.F. Gauss. Néanmoins l’on
trouve dans les Eléments d’Euclide, soit près de vingt et un siècles auparavant, au Livre VII, une
proposition clé sur laquelle repose le théorème fondamental suivant : VII. 30. Si deux nombres
se multipliant l’un l’autre produisent un certain < nombre > et si un certain nombre premier
mesure leur produit, il mesurera aussi l’un des nombres initiaux.
Exercice 1.4.4
a) Décomposer les nombres 350, 50'193 et 111'111 en un produit de nombres premiers.
b) Si l’on note n! = 1! 2 !3!...! n , qui se lit « n factorielle », alors décomposer n! en un produit de
nombres premiers pour n ! 2;3;...;8 .
{
}
c) Quel est l’exposant de l’entier 3 dans la décomposition de 100! ?
d) Quels sont tous les nombres premiers p pour lesquels p + 10 et p + 14 sont premiers.
C. Aebi & M. Cuénod
9
Exercice 1.4.5
En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, extraire les racines carrées
suivantes:
324; 784; 7056; 9801; 12321 .
Exercice 1.4.6
Décomposer en produit de facteurs premiers les entiers ci-dessous en les écrivant d’abord sous la
forme d’une différence de deux carrés et en s’aidant de l’identité a 2 ! b2 = (a + b) "(a ! b) .
Exemple : 143 = 144 ! 1 = 122 ! 12 = (12 ! 1) "(12 + 1) = 11"13 .
a) 399
b) 221
c) 391
d) 117
e) 9991
f) 323
g) 135
h) 231
i) 119
j) 171
k) 299
l) 9919
Exercice 1.4.7
a) Si n = 0;1;2;3;... , alors n2 ! n + 17 est un nombre premier. Vrai ou Faux ? Et n2 ! n + 41
(Euler L., 1743) ?
b) Montrer, en vous aidant d’une calculatrice, que 229 ! 1 est composé (Euler, 1729 dans E26).
Indication : Les diviseurs premiers de 229 ! 1 sont de la forme 2 ! k ! 29 + 1 où k !! .
Exercice 1.4.8
a) Pour quels entiers n est-ce que n2 ! 4 est premier ? Et pour 4n2 ! 5n ! 6 ?
b) Trouver une famille infinie de nombres naturels n pour lesquels 2 n ! 1 est composé.
Exercice 1.4.9
Considérons l’ensemble P des nombres pairs. On dira qu’un entier est irréductible dans P s’il ne
peut s’écrire comme produit d’éléments de P. Exemples : 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; ....
Tout entier de P se décompose-t-il de manière unique en produit de facteurs irréductibles ?
Exercice 1.4.10
a) Quel est le nombre de diviseurs de 2·3·5 ?
b) Énumérer méthodiquement tous les diviseurs de 23 · 32 en commençant par ceux qui ne sont
pas divisibles par 3, puis par ceux qui ne sont pas divisibles par 32, puis enfin ceux qui sont
divisibles par 32.
c) Combien 360 admet-il de diviseurs, sachant que 360 = 23·32·5 ?
d) Dénombrer les diviseurs des entiers ci-dessous, sans les énumérer.
80 ; 125 ; 78 ; 600 ; 945 ; 1012 ; 2·3·4·5·6 ; 11·12·13 ; 25·26·27
C. Aebi & M. Cuénod
10
Exercice 1.4.11
n
On appelle nombre de Fermat les nombres de la forme Fn = 22 + 1 où n !! .
a) Calculer « à la main » Fn pour n = 0,1, 2, 3, 4 et 5.
n
b) Le mathématicien P. Fermat (1601-1665) croyait que 22 + 1 était toujours premier1. Or Euler
qui montra, vers 1730, que tout diviseur premier d’un nombre de Fermat, Fn , doit être de la
forme k ! 2 n+1 + 1 où k !! 2. En utilisant ce résultat et en vous aidant de votre calculatrice
déterminer quels sont les nombres de Fermat, dans la liste étable ci-dessus, qui sont premiers.
c) A l’âge de 19 ans, Gauss (1777-1855) a démontré le théorème suivant : On peut, avec une
règle et un compas, construire un polygone régulier à n sommets si, n est un nombre premier de
Fermat ou le produit de nombres premiers de Fermat distincts.Trouver tous les polygones
réguliers à n sommets où n est impair et inférieur à 100.
Exercice 1.4.11
Une des plus célèbres conjectures des mathématiques est la conjecture de Goldbach, qui dans
une lettre à Euler de 1742, affirme que : « Tout nombre pair supérieur à 2 est somme de deux
nombres premiers »
a) Montrer que cette affirmation est vraie pour les nombres inférieurs à 20.
b) Cette décomposition est-elle unique ?
Exercice 1.4.12
On appelle nombres premiers jumeaux, des nombres premiers qui sont séparés par le nombre
pair 2. Ainsi 3 et 5 sont des nombres premiers jumeaux.
a) Donner d’autres exemples de nombres premiers jumeaux.
Les mathématiciens pensent qu’il en existe une infinité, mais pour l’instant, ils ne sont pas
encore parvenus à le prouver. Cependant, il n’est pas inintéressant de se poser des questions
élémentaires à leur sujet.
Supposons que a et b soient des premiers jumeaux (avec a < b ) :
b) Est-il toujours vrai que a ! b + 1 est un carré parfait ?
c) En fait, pour des entiers supérieurs à quatre : - la somme de deux premiers jumeaux est
divisible par 12 et la différence des carrés de deux premiers jumeaux est divisible par 24.
Pourquoi ?
1
« Mais voici ce que j’admire le plus : c’est que je suis quasi persuadé que tous les nombres progressifs augmentés
de l’unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme 3, 5,
17, 257, 65'537, 4’294’967'297, … Je n’ai pas de démonstration exacte, mais j’ai exclu si grande quantité de
diviseurs par démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j’aurois peine
à me dédire.» (Fermat P., Lettre à Frenicle, août 1640)
2
Actuellement, le plus grand nombre de Fermat dont on connaisse la factorisation complète est F11 dont le plus
grand des cinq diviseurs premiers a 560 chiffres. En ce qui concerne F12 . On sait qu’il est composé mais c’est le
plus petit nombre de Fermat dont on ne connaisse pas la factorisation complète. Quant à F14 c’est le plus petit
nombre de Fermat composé dont on ne connaisse aucun diviseur premier. Aujourd’hui on ne sait toujours pas s’il
existe d’autres nombres premiers de Fermat que les quatre premiers de Fermat !
C. Aebi & M. Cuénod
11
1.5
Les nombres parfaits, déficients et abondants
Définition :
Un nombre est parfait3 s’il est égal à la somme de ses diviseurs (à l’exception de
lui-même ; on parle alors de diviseurs propres). Par exemple le nombre 6 est
parfait car ses diviseurs sont 1, 2 et 3 et 1+2+3=6.
Si cette somme est inférieure au nombre lui-même alors le nombre est dit
déficient, et si elle est supérieure, il est dit abondant.
Exercice 1.5.1
a) Donner quelques exemples de nombres abondants et déficients inférieurs à 100.
b) Il existe deux nombres parfaits inférieurs à 100. Lesquels ?
c) Tout nombre premier est déficient ! Vrai ou faux ?
d) Il n’existe pas de nombres abondants impairs ! Vrai ou faux ?
e) Déterminer le plus petit nombre abondant impair4.
Indication : Il est plus petit que 1000 et il est divisible par trois nombres premiers distincts.
Exercice 1.5.2
a) Prouver que 496 et 8128 sont bien des nombres parfaits.
(Indication. exploiter la décomposition en facteurs premiers)
b) En vous appuyant sur les observations effectuées au sujet des quatre nombres parfaits
découverts, chercher le 5e nombre parfait puis le 6e.
Exercice 1.5.3
On trouve chez Euclide (IX. 36) une méthode permettant d’obtenir d’éventuels nombres parfaits.
Cette proposition peut s’énoncer ainsi :
(
)
Proposition : Si 1+ 2 + 22 + 23 + ...+ 2 n = 2 n+1 ! 1 est un nombre premier, alors 2 n ! 2 n+1 " 1 est
un nombre parfait.
Démontrer cette proposition en faisant la somme de tous les diviseurs propres du nombre
2 n ! 2 n+1 " 1
(
)
Le critère d’Euclide permet de construire des nombres parfaits qui sont pairs.
Deux questions se posent alors :
1. Le critère d’Euclide permet-il de trouver tous les nombres pairs parfaits ? La réponse
positive à cette question sera donnée par Euler en 1747.
2. Existe-t-il des nombres parfaits impairs ? On ne sait toujours pas répondre à cette
question (été 2007) !
3
« Un nombre parfait est celui qui est égal à la somme de ses parties, c’est-à-dire des nombres qui le mesurent. »
(Euclide, Les Eléments, Df. VII. 23)
4
C’est à Bachet de Méziriac (1581-1638) que l’on doit cette découverte.
C. Aebi & M. Cuénod
12
Exercice 1.5.4
En 1640 Frenicle lance le défi à Fermat de déterminer tous les nombres parfaits entre 1020 et
1022 . Relever le défi en vous aidant de l’exercice 1.4.7.
Il y a encore une autre question à propos des nombres parfaits à laquelle on ne sait toujours pas
répondre (été 2007) : existe-t-il une infinité de nombres parfaits ?
Exercice 1.5.5
Rechercher quel est aujourd’hui le plus grand nombre parfait connu.
Estimer le nombre de pages nécessaires à son écriture si l’on utilise des caractères 8 pour
l’écrire.
1.6
Les notions de ppcm et de pgcd
L’algorithme le plus élémentaire qui permet de trouver le plus grand commun diviseur (pgcd) de
deux nombres entiers est celui décrit dans la proposition 2 du livre VII des Éléments d’Euclide.
Il s’appelle plus communément l’algorithme d’Euclide et il repose sur la propriété suivante :
si 0 < a < b sont des entiers alors le pgcd(a,b) = pgcd(a,b – a)
Exercice 1.6.1
a) Justifier l’égalité ci-dessus.
b) Observer attentivement sur un exemple ce qui se passe si nous itérons l’égalité ci-dessus :
pgdc(48 ; 84) = pgdc(48 ; 84 – 48 ) = pgdc(48 ; 36) = pgdc(48 – 36 ; 36) = pgdc(12 ; 36) =
pgdc(12 ; 24) = pgdc(12 ; 12) = 12
En conclusion, pour trouver le pgdc de deux entiers, il est possible de n’avoir recours qu’à des
soustractions répétées !
c) Utiliser l’algorithme ci-dessus pour déterminer les pgcd(143,182) et le pgcd(247,299)
Autre technique. Nous avons vu que tout nombre entier peut-être décomposé, de manière
unique, en un produit de nombres premiers. Ce résultat permet de calculer le Plus Grand
Commun Diviseur (pgcd) et le Plus Petit Commun Multiple (ppcm) de deux entiers naturels, à
condition que les décompositions en facteurs premiers ne soient pas trop laborieuses :
- Le pgcd de deux entiers naturels est obtenu en prenant les nombres premiers figurant dans la
décomposition de chacun des deux nombres, affectés du plus petit des deux exposants.
- Le ppcm s’obtient, par contre, en prenant les facteurs premiers figurant au moins dans l’un des
deux nombres, affectés du plus grand des deux exposants.
Exemple : le pgcd de 2450 = 2 !52 !7 2 et de 5145 = 3!5!7 3 est 245 = 5!7 2 et leur ppcm est
51450 = 2 !3!52 !7 3 .
Exercice 1.6.2
Justifier l’identité a·b = pgcd(a,b)·ppcm(a,b) pour tous nombres naturels a et b.
Exercice 1.6.3
Calculer à l’aide de l’un et/ou de l’autre des algorithmes les ppcm et pgcd de :
C. Aebi & M. Cuénod
13
a) 374 et 2 499
b) 10 647 et 3 003
c) 4567 et 4576
d) 3721 et 3599.
Exercice 1.6.4
Deux nombres dont le pgcd est 1 sont premiers entre eux.
a) Trouver deux nombres non premiers mais premiers entre eux.
b) Vérifier que pgcd (14,611) = 1 . En déduire le pgcd (322, 546, 611)
Exercice 1.6.5
Un rectangle de dimensions m ! n (deux entiers naturels) est pavé par m·n petits carreaux
isométriques. Combien de la diagonale du rectangle croisera-t-elle de petits carreaux ?
n
m
Exercice 1.6.6
Choisir deux nombres entiers a et b composés et premiers entre eux.
a) Calculer leur somme s = a + b , et leur produit, p = a ! b .
b) Calculer les nombres suivants: pgcd(a ; s) ; pgcd(s ; p).
c) Trouver le nombre de diviseurs de a, de b, et de p.
d) Trouver la somme des diviseurs de a, de b et de p.
1.7
Somme et différence de carrés
Définition :
On appelle triplet pythagoricien un ensemble de trois nombres entiers, a, b et c
(avec a < b < c ) tel que a 2 + b2 = c 2 .
Exemple : 3, 4 et 5 forment un triplet pythagoricien, car 32 + 42 = 52 .
Exercice 1.7.1
Observez attentivement les triplets pythagoriciens ci-dessous et vérifier chacune des égalités.
12 + 02 = 12 ;
32 + 42 = 52 ;
52 + 122 = 132 ;
72 + 242 = 252
Trouvez un autre triplet ayant la même « forme » que les précédents.
Conjecturez une formule générale exprimant un triplet pythagoricien quelconque ayant cette
forme, testez cette formule sur des entiers supérieurs à 100, puis prouvez-la.
C. Aebi & M. Cuénod
14
Exercice 1.7.2
a) Donner d’autres triplets pythagoriciens.
b) Montrer que si (a;b;c) est un triplet pythagoricien, il en est de même pour le triplet
(ka;kb;kc) où k est un entier quelconque.
c) Calculer les premiers termes de la suite : 1;1+ 3;1+ 3+ 5;1+ 3+ 5 + 7;... .
d) Donner le terme général de cette suite, élaborer une conjecture concernant les termes de cette
suite et démontrer votre résultat.
e) À partir du résultat précédent donner plusieurs autres triplets pythagoriciens et décrire leur
caractéristique.
(
f) Vérifier que x 2 ! y 2 ;2xy; x 2 + y 2
)
x,y "! et x > y
sont tous des triplets pythagoriciens.
Exercice 1.7.3
Un triplet pythagoricien est dit primitif si le pgcd de ses trois termes est 1.
a) Démontrer que si (a, b, c) est un triplet primitif alors c est forcément impair.
b) En déduire que si b est pair alors b = 2xy , a = x2 – y2 et c = x2 + y2 pour des entiers naturels x
et y premiers entre eux, de parité différente.
Exercice 1.7.4
Observez que :
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = 212
Est-ce que cela fait partie d’une configuration générale ?
Exercice 1.7.5
Quels sont les entiers pouvant s’écrire sous la forme d’une différence de deux carrés ?
Exercice 1.7.6
Quels sont les entiers pouvant s’écrire sous la forme d’une somme d’entiers consécutifs ?
C. Aebi & M. Cuénod
15
1.8
La relation de congruence
Exercice 1.8.1
Euler (1795)
1.
On a vu, dans la première Partie5, comment une quantité inconnue se détermine
par une seule équation, et comment on peut déterminer deux inconnues moyennant deux
équations, trois inconnues moyennant trois équations, et ainsi de suite ; en sorte qu’il
faut toujours autant d’équations qu’il y a d’inconnues à déterminer, du moins quand la
question elle-même est déterminée.
Lors donc que la question ne fournit pas autant d’équations qu’on est obligé
d’admettre d’inconnues, il y en a de celles-ci qui restent indéterminées, et qui dépendent
de notre volonté ; et cela fait qu’on nomme ces sortes de questions des problèmes
indéterminés. Ils font le sujet d’une branche particulière de l’analyse, et on appelle cette
partie l’analyse indéterminée.
2.
Comme dans ces cas on peut prendre pour une, ou pour plusieurs inconnues,
tels nombres qu’on veut, ils admettent aussi plusieurs solutions.
Cependant, comme d’un autre côté on ajoute ordinairement la condition que les
nombres cherchés doivent être des nombres entiers et même positifs, ou du moins des
nombres rationnels, le nombre de toutes les solutions possibles de ces questions se
trouve borné par-là ; de sorte que souvent il n’y en a que très peu de possibles ; que
d’autres fois il y en a une infinité, mais qui ne se présentent pas à l’esprit facilement ;
que quelquefois enfin il n’y en a aucune de possible. Il arrive par-là que cette partie de
l’analyse demande souvent des artifices tout-à-fait particuliers, et qu’elle sert beaucoup
à aiguiser l’esprit des Commençans, et à leur donner de l’adresse dans le calcul. (Euler
L., Elemens d’algèbre, IIe partie)
a) Euler propose alors le problème suivant : « Partager 25 en deux parties, dont l’une soit
divisible par 2, et l’autre soit divisible par 3. » (Euler L., Élémens d’algèbre, IIe partie)
b) « Un fermier achète à la fois des chevaux et des bœufs pour la somme de 1770 écus ; il paye
31 écus pour chaque cheval, et 21 écus pour chaque bœuf. Combien a-t-il acheté de chevaux et
de bœufs ? » (Euler L., Élémens d’algèbre, IIe partie)
Définition :
Soit deux nombres entiers a et b. On dit que a « est congrus à » b, modulo n
( n !!" ) si ces deux nombres laissent le même reste lorsqu’ils sont divisés par n,
ou encore lorsque a ! b est un multiple de n.
Exemple 13 et 37 sont congrus à 1 modulo 3, car 37 ! 13 = 24 qui est bien un
multiple de 3.
On note cette relation de congruence
a ! b (mod n) " a # b = k $ n (k %!)
5
L. Euler a rédigé un traité d’algèbre en deux parties, Elémens d’algèbre, dont la première partie traite de problèmes
algébriques « classiques ».
C. Aebi & M. Cuénod
16
Exercice 1.8.2
( a + c ! b + d (mod n)
$$
a ! b (mod n) "$
Démontrer les trois propriétés suivantes. Si
# alors ) a & c ! b & d (mod n)
c ! d (mod n) $
$ a ' c ! b' d (mod n)
%
$*
Exercice 1.8.3
Pour tout a !! et pour tout n !!" , montrer que:
a) a ! a (mod n) (on dit que la relation ! est réflexive)
b) Si a ! b (mod n) , alors b ! a (mod n) (on dit que la relation ! est symétrique)
c) Si a ! b (mod n) et si b ! c (mod n) , alors a ! c (mod n) (on dit que la relation ! est
transitive).
Définition :
Une relation qui satisfait aux trois propriétés ci-dessus est une relation
d’équivalence. La relation modulo n partage les nombres entiers ! en n classes
d’équivalence, c’est-à-dire en n sous-ensembles disjoints. Par exemple la relation
modulo 3 détermine 3 classes d’équivalence, 3 sous-ensembles de ! : les
multiples de 3 (3k), les multiples de 3 plus 1 ( 3k + 1 ) et les multiples de 3 plus 2
( 3k + 2 ),
•
classes
{
d’équivalence
}
1= n !! n = 3k + 1
•
{
que
l’on
note
•
{
}
0 = n !! n = 3k ,
}
et 2 = n !! n = 3k + 2 . L’ensemble de ces trois classes
d’équivalence se note ! 3 .
Exercice 1.8.4
Etablir le tableau des valeurs des opération d’addition et de multiplication dans ! 3 , ! 4 , ! 5 et
!6 .
Exercice 1.8.5
Résoudre, dans ! , les équations suivantes
a) x + 3 ! 2(mod12)
b) 2x + 4 ! 3(mod5)
c) 2x + 1 ! 4(mod 6)
d) 2x + 1 ! 3(mod 6)
e) x 2 ! 1(mod 3)
f) x 2 ! x (mod5)
g) x 2 ! x (mod 6)
h) x 2 ! x + 1(mod5)
i) x 2 ! x + 1(mod 6)
j) x 2 + x + 1 ! 0(mod 4)
k) 8x ! 3(mod 6)
l) 8x ! 4(mod 6)
m) 9x ! 2(mod 6)
n) 5x ! 6(mod 7)
C. Aebi & M. Cuénod
17
Exercice 1.8.6
a) Quelles sont les solutions entières de l’équation 5x ! 6 y = 4 ? (On parle d’équations
diophantiennes)
b) Résoudre les équations diophantiennes suivantes : 8x + 6 y = 10 , 8x + 6 y = 9 et
226x + 51y = 1 .
Exercice 1.8.7
De combien de manières peut-on peser 25 kg de marchandises à l’aide de poids de 2 et de 3 kg ?
Exercice 1.8.8
Peut-on trouver sur la droite d’équation 35x + 84 y = 150 des points à coordonnées entières ?
Exercice 1.8.9
Les pièces d’un franc ont un diamètre de 23 mm, celles de 50 centinmes un diamètre de 18 mm.
En alignant de telles pièces, peut-on obtenir une longueur égale à 10cm ? A 1 m ?
Exercice 1.8.10
a) Problème de N.Tartaglia.
Comment faire pour transporter d’une rivière exactement 6 litres d’eau, si l’on a à disposition,
pour en mesurer la quantité, que deux récipients non gradués, l’un de 4 litres, l’autre de 9
litres?
b) Une amphore contient 8 litres d’eau. Comment partager ce contenu en deux parts égales, si
l’on dispose de deux amphores vides, l’une de 5 litres, l’autre de 3 litres. On considère qu’il y a
transvasement chaque fois que l’on verse de l’eau d’un récipient dans un autre.
Exercice 1.8.11
Parmi les seize satellites de la planète Jupiter, les quatre plus importants effectuent
respectivement leur révolution en 42 heures, 85 heures, 172 heures et 400 heures environ. Ce
sont Io, Europe, Ganymède et Callisto.
a) Dans combien de temps ces quatre satellites se retrouveront-ils dans les mêmes positions
relatives qu’ils occupent aujourd’hui?
b) Combien de révolutions chacun d’eux aura-t-il accomplies dans ce temps?
Exercice 1.8.12
Étudier l’algorithme suivant, proposé en 1955 par Kaprekar, mathématicien indou.
a) Choisir un nombre de trois chiffres.
b) Ordonner ses chiffres dans l’ordre décroissant, puis dans l’ordre croissant.
c) Calculer la différence des deux nombres ainsi obtenus.
d) Répéter les étapes b) et c) avec ce nouveau nombre.
e) Qu’observe-t-on après un certain nombre d’étape ? Pourquoi ?
C. Aebi & M. Cuénod
18
2.
A propos des nombres rationnels
Lorsque l’on cherche à résoudre une équation dans l’ensemble des entiers il se peut que celle-ci
ne possède pas de solution exprimable sous la forme d’un entier comme par exemple l’équation
2x + 3 = 6 , et plus généralement les équations du type a ! x + b = c avec a qui ne divise pas c ! b .
C’est ainsi que les mathématiciens ont construit un ensemble de nombres plus vaste incluant les
solutions de ce type d’équation de la manière suivante : pour chaque entier non nul a, on définit
1
1
un nombre, son inverse, a !1 ou , tel que a ! a "1 = a ! = 1 . Ce nouvel ensemble est l'ensemble
a
a
des nombres rationnels ou fractionnaires a pour symbole : ! et contient les éléments suivants :
#a
&
! = $ a !" et b !"" '
%b
(
Exercice 2.1
Donner l’écriture décimale des nombres fractionnaires suivants
a)
1 3 7 15 31
; ; ;
;
2 4 8 16 32
b)
1 1 1 1 1
; ;
;
;
3 7 11 13 17
c)
1
1
1
1
1
;
;
;
;
11 111 1111 11111 111111
Exercice 2.2
Donner l’écriture fractionnaire irréductible des nombres suivants
0,375 : 1,2 ; 0,65 ; 0,249 ; 0,027 ; 0,9 ; 10,013
Exercice 2.3
Justifier l’affirmation suivante : Tout nombre rationnel a une écriture décimale périodique ou
finie et réciproquement tout nombre dont l’écriture décimale est périodique ou finie est un
nombre rationnel.
Exercice 2.4
1
admet une écriture décimale finie en base 10 et une écriture
2
décimale périodique en base 3.
a) Montrer que la fraction
b) Déterminer cette période et déduire de ce résultat qu’en base 3, 0,2=1 .
c) Montrer qu’en base 4, 0,3 = 1 .
Exercice 2.5
Ranger les nombres suivants dans un ordre croissant.
a) 0,35 ; 0,349 ; 0,35 ; 0,349 ; 0,35 ; 0,349
b)
7 34 84 25 3 341
.
;
;
;
; ;
9 45 111 33 4 450
C. Aebi & M. Cuénod
19
Exercice 2.6
Effectuer les calculs suivants.
a) 1,13+ 4,7
b) 0,75 ! 0,26
d) 0,45!0,3
e)
g)
h)
0,1
c) 7 !0,16
( )
9,91
f) 1,85
3,11
i)
0,4
2
0,694
Exercice 2.7
En utilisant les règles du compte est bon, construire le plus grand nombre possible à partir des
quatre nombres rationnels : (Indication : chacune des réponses est supérieure à 500)
a)
3 8 5 1
; ; ;
4 11 2 12
b)
6 7 8 9 10
; ; ; ;
5 6 7 8 9
c)
1 9 2 11 3
; ; ; ;
4 10 7 10 10
Exercice 2.8
a) La somme de deux nombres rationnels est-elle nécessairement rationnelle ?
b) Le produit de deux nombres rationnels est-il nécessairement rationnel ?
c) L’inverse d’un nombre rationnel est-il nécessairement rationnel ?
Exercice 2.9
Démontrer la proposition suivante :
Proposition : L’ensemble des nombres rationnels est dense dans lui-même, c’est-à-dire qu’entre
deux nombres rationnels distincts il existe un nombre rationnel.
Exercice 2.10
Calculer et donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
a) 1+
b) 1+
1
1
1
1
1
; 1+
; 1+
; 1+
; 1+
1
1
1
1
1
1+
1+
1+
1+
1
1
1
1
1+
1+
1+
1
1
1
1+
1+
1
1
1+
1
1
; 1+
2
C. Aebi & M. Cuénod
1
2+
1
2
1
; 1+
2+
1
2+
1
; 1+
1
2
1
2+
2+
1
; 1+
1
2+
1
2+
1
2
1
2+
2+
1
2+
1
2
20
Exercice 2.11
a) Etablissez la période du code décimal de 1/7. Multipliez par 7 cette période du code décimal.
Qu’obtenez-vous ?
b) Faites de même avec les fractions 1/3, 1/11, 1/13, 1/101, 1/37 et 1/17.
Exercice 2.12
Dans l’arithmétique égyptienne on rencontre des calculs avec des fractions. Ces fractions, à
l’exception de la fraction 2/3 (et quelques rares fois la fraction ¾), sont exprimées par des
rapports où le numérateur de la fraction est le nombre 1. On appelle ces fractions des
quantièmes. Pour compliquer encore le tout les scribes égyptiens exprimaient leur résultat en
somme de quantièmes distincts, ainsi ¾ ne s’exprimait pas ¼+ ¼ + ¼ mais ½ + ¼ .
Développer en quantièmes distincts les fractions suivantes :
2 15 25 2
, , et .
5 8 11 17
Exercice 2.13
Vérifier les égalités suivantes et les utiliser pour écrire les fractions précédentes comme somme
de quantièmes.
a)
1
1
1
=
+
n n + 1 n !(n + 1)
c)
b)
2
1
1
=
+
3n 2n 6n
d)
2 1 1
1
1
= +
+ +
n n 2n 3n 6n
2
1
1
=
+
n n + 1 n !(n + 1)
2
2
Exercice 2.14
Le Papyrus de Rhind présente plusieurs algorithmes permettant la décomposition d’une fraction
donnée en somme de quantièmes. Ainsi le problème R. 61 indique-t-il comment calculer les 2/3
d’une quantité en quantièmes.
Ahmōse (1788-1580 av. J.-C.)
Extraire les 2/3 d’une fraction.
Si on te dit :
que sont les 2/3 de 1/5 ?
Tu dois prendre sa moitié
et sa sixième partie ; ceci est ses 2/3.
Voilà ce qu’il faut faire de la même façon
pour n’importe quelle fraction
qui se présentera.
(R. 61B, in : Couchoud S., Mathématiques égyptiennes, p. 24)
Donner une transcription de la méthode contenue dans ce texte et calculer, à l’aide de cette
méthode, les 2/3 des nombres suivants : 12 , ½ , 27 , 3,1 , 6/7.
C. Aebi & M. Cuénod
21
Exercice 2.15
1 3 7 17 41 99
On donne les premiers termes d’une suite , , , , , , ...
1 2 5 12 29 70
a) Trouver les trois termes suivants.
b) Elever au carré chaque terme de la suite, puis calculer le code décimal correspondant.
c) Comparer les résultats avec ceux obtenus à l’exercice 2.10 b.
Exercice 2.16
1 2 3 5 8 13
On donne les premiers termes d’une suite , , , , , , ...
1 1 2 3 5 8
a) Trouver les trois termes suivants.
b) Pour chaque terme de la suite, calculer le code décimal correspondant et comparer à
1+ 5
.
2
c) Comparer les résultats avec ceux obtenus à l’exercice 2.10 a
C. Aebi & M. Cuénod
22
3.
A propos des nombres réels
Lorsque l’on cherche à résoudre une équation dans l’ensemble des nombres rationnels il se peut
que celle-ci ne possède pas de solution exprimable sous la forme d’une fraction comme par
exemple l’équation x 2 = 2 . C’est ainsi que les mathématiciens ont construit un ensemble de
nombres plus vaste qui a pour symbole : ! .
Cet ensemble contient tous les nombres pouvant être approchés arbitrairement près par des
nombres rationnels (ou décimaux).
Exercice 3.1
a) Le carré d’un nombre pair est-il un nombre pair ?
b) Le carré d’un nombre impair est-il un nombre pair ?
c) Si le carré d’un nombre est un nombre pair, ce nombre est-il pair ?
d) On envisage un carré dont l’aire mesure deux unités de surface. Le côté de ce carré est-il un
nombre fractionnaire ? Pourquoi ?
e) Le carré d’un multiple de 3 est-il un multiple de 3 ? Et le carré d’un nombre qui n’est pas un
multiple de 3 peut-il être un multiple de 3 ?
f) Si le carré d’un nombre est un multiple de 3, ce nombre est-il un multiple de 3 ?
g) On envisage un carré dont l’aire mesure trois unités de surface. Le côté de ce carré peut-il être
un nombre fractionnaire ? Pourquoi ?
Exercice 3.2
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels.
3, 6, 2 + 3, 3 2 .
Exercice 3.3
Les nombres 2 3 et 3 3 sont des nombres irrationnels.
Que dire de leur somme ? De leur produit ? De leur quotient ?
Exercice 3.4
Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
a)
9 + 16 = 25
b)
899 ! 99 = 800
c)
2 + 8 = 18
Exercice 3.5
Extraire le plus possible de facteurs carrés des racines suivantes
18, 243, 400, 80, 21 ! 21, 6 ! 10 ! 15, 21 ! 14.
Exercice 3.6
Développer les produits ci-dessous, puis réduire au maximum
3!(3+ 3), 2 !(1+ 2), ( 5 + 3) !( 5 " 3), (5 + 2)2 , (2 3 " 5 2) !(3 3 " 2).
C. Aebi & M. Cuénod
23
Exercice 3.7
Compléter par > ; < ou = en justifiant systématiquement par des calculs.
a)
c)
e)
g)
6 ! 8 ..........
24
54
( 7)
2
.......... 0,66
11+ 6 2 .......... (3 + 2)2
10 + 8 ..........
11 + 7
b)
2 32 + 4 8 .......... 4 2 2
d)
75
..........
48
f)
2 + 3 ..........
1,44
2+3
h) 2 10 + 90 ..........
250
Exercice 3.8
Calculer, observer et formuler une conjecture.
1!3+ 1 = ...; 2 ! 4 + 1 = ...; 3!5 + 1 = ...; 4 !6 + 1 = ....
Exercice 3.9
Calculer, observer et formuler une conjecture.
1
2 !1
!
1
2 +1
= ...;
1
3 !1
!
1
3 +1
= ...;
1
4 !1
!
1
4 +1
= ....
Exercice 3.10
Encadrer les racines carrées
significatifs.
2;
9,8 ;
75 à l’aide de deux nombres avec trois chiffres
Exercice 3.11
Méthode de Héron d’Alexandrie (IIe siècle av. J. -C.) pour approximer la racine carrée d’un
nombre positif a.
" u =1
$$ 1
1
a . La suite u1 , u2 , u3 , ... est une suite de valeurs approchées de
#
u
=
!(u
+
$ n+1 2 n u )
n
$%
a a a
en est de même pour la suite des nombres , , , ....
u1 u2 u3
Utiliser cette méthode pour approcher les racines carrées
chiffres significatifs.
a . Il
2, 11, 75, 0,5. avec quatre
Exercice 3.12
Un corps, lâché sans vitesse initiale, tombe en chute libre et parcourt pendant le temps t (en
9,81!t 2
secondes) a distance d (en mètres) donnée par la formule d =
.
2
C. Aebi & M. Cuénod
24
a) Quelle distance est parcourue en 1 s ? En 2 s ? En 10 s ?
b) Combien de temps dure une chute de 10 m ? De 40 m ? De 1000 m ?
C. Aebi & M. Cuénod
25
Exercice 3.13
Soit a et b, deux nombres positifs, tels a < b. Montrer que a < a ! b <
a+b
< b.
2
Exercice 3.14
a) Montrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnelle.
b) Montrer que le produit d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnel.
c) Montrer qu’il existe toujours un nombre rationnel entre deux nombres rationnels.
d) Montrer qu’il existe toujours un nombre rationnel entre deux nombres irrationnels.
e) Montrer qu’il existe toujours un nombre irrationnel entre deux nombres irrationnels.
f) Montrer qu’il existe toujours un nombre irrationnel entre deux nombres rationnels.
Exercice 3.15
Vérifier si les triangles, dont les dimensions sont données ci- dessous, sont rectangles, puis dans
ce cas seulement, déterminer leur aire et leur périmètre.
a) 12 ; 7 ! 23 ; 7 + 23
b) 2 3 ! 5
;
5 + 3 3 ; 3,5
c) 4 2 ! 3 3 ; 2 2 + 6 3 ; 5 7
d) 2 5 + 6 2
; 13 ; 4 2 ! 2 5
Exercice 3.16
Démontrer qu’il ne peut exister de triangle rectangle dont l’hypoténuse et le périmètre sont
rationnels et l’aire est irrationnelle.
Exercice 3.17
Lesquelles des égalités ci-dessous sont-elles vraies ?
a) 445! =
c)
3
!
+ 1398
203
7 + 50 ! 2 = 1
C. Aebi & M. Cuénod
b)
3
(
2 = 10 ! 8 " 62
)
d) 538 = 164 2 + 178 3 ! 5
26
4.
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