Homogénéité

Homogénéité
Énoncé
PCSI2 2016 – 2017
Homogénéité
Conseils pour ce TD :
• Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites.
Exercice 1 : Période d’un pendule
Lors de l’étude d’un pendule oscillant, de longueur l, pour de faibles oscillations dans le champ de
pesanteur g, la période des oscillations est
notée T : Parmi les formulesqsuivantes proposées
pour
q T,
q
q
g
gl
l
l
2π
lesquelles pourraient convenir ? : T = 2π l ;
T = 2π g ;
T =√ ;
T = g;
T 2π
gl
Exercice 2 : Intérêt de l’analyse dimensionnelle
L’énergie cinétique d’un solide en rotation est donnée par E = 21 Jω 2 où ω désigne la vitesse de
rotation du solide en rad.s−1 .
1. Quelle est la dimension du moment d’inertie J ?
2. Un élève propose pour formule du moment cinétique de la sphère J = 25 m2 R avec m la masse
du solide et R son rayon. Est-ce raisonnable ?
3. Le même élève a trouvé comme résultat du problème de mécanique que l’accélération a du
sin α−m)g
, où M et m désignent des masses et g l’accélération de la
solide était : a = (M
M +m+J/R2
pesanteur. Est-ce raisonnable du point de vue de l’homogénéité ?
Exercice 3 : Conversion d’unités
Effectuer les conversions et donner les dimensions des grandeurs concernées :
1. Votre dernier voyage a durée une heure et quinze minutes. Donner le temps du trajet en
minutes, en heures et en secondes.
2. Le jour sidéral dure TS = 86164 s, exprimer cette durée en heures, minutes et en valeurs
entières avec un mélange des unitées heures, minutes et secondes.
3. La vitesse du son dans l’air est de 340 m/s, exprimer cette vitesse appelée « Mach 1 »en km/h.
4. Le débit d’une source est de 3 litres par minute. Combien de cuves de 1m3 vous faut-il si vous
voulez récupérer toute l’eau fournie en une journée ?
Exercice 4 : Conversion d’unité
Quelle est la mesure d’une vitesse égale à 1 km.min−1 dans un système d’unités où l’unité de longueur
serait le mile marin (égal à 1852 m) et l’unité de temps serait l’heure ?
Exercice 5 : Vitesse des ondes sonores
La vitesse de propagation du son s’exprime en fonction de χ = − v1 dv
, un coefficient de compressibilité
dp
du gaz (où v désigne le volume massique et p la pression) et de sa masse volumique µ.
1. Déterminer la dimension de χ.
2. Donner l’expression de la vitesse à une constante près.
Exercice 6 : Constante gravitationnelle
L’interaction gravitationnelle se manifeste par l’apparition d’une force F entre deux masses m1 et
m2 séparées par une distance d. L’expression de la cette force est :
F =G
m1 m2
d2
1
PCSI2 2016 – 2017
Énoncé
Homogénéité
1. G étant la constante de gravitation universelle. Quelle est la dimension de G ?
2. Les planètes tournent autour du Soleil en un temps T . Ce temps est lié à la distance R de la
planète au Soleil, à la masse M du Soleil et à la constante de gravitation G. Comment ?
Exercice 7 : Energie d’une explosion nucléaire
La légende raconte que le physicien britannique Geoffrey Ingram Taylor 1 (1886-1975) aurait pu en
1950 à l’aide d’un film et en utilisant l’analyse dimensionnelle, estimer l’énergie E dégagée par une
explosion nucléaire.
Le raisonnement est le suivant : le film permet d’avoir accès à l’évolution R(t) du rayon du nuage
formé par l’explosion au cours du temps. Les paramètres influant sur ce rayon sont le temps t,
l’énergie E, et la masse volumique de l’air ρ
1. On cherche alors R, sous la forme : R = E a tb ρc . Déterminer a, b et c.
2. En estimant un rayon R = 70m après t = 1ms, quel est l’énergie dégagée par l’explosion ?
1. Il est notamment connu pour ses travaux sur la turbulence et les phénomènes non-linéaires. Je vous suggère
de consulter sur wikipedia les articles concernant : l’instabilité de Rayleigh-Taylor, l’instabilité de Taylor-Couette, le
nombre de Taylor ou encore le cône de Taylor.
2