Travail et puissance d`une force Théorème de l`énergie cinétique

Travail et puissance d’une force
W12 =
2
1
•
2
1
W =
2
1
r r
F dr =
2
1
Fn
F
1cos
23 ds
Ft
... = intégrale curviligne le long de la trajectoire
s = abscisse curviligne le long de la trajectoire
r
ds = d r
F
Ft
dr
trajectoire
Seule la composante de F tangente à la trajectoire (Ft) travaille;
la composante normale à la trajectoire (Fn) ne travaille pas
– Exemples: la force centripète du mouvement circulaire uniforme ne travaille pas, les
forces de liaisons (perpendiculaires au déplacement) ne travaillent pas
•
Une force dont le point d’application est immobile ne travaille pas:
– Exemple: force de frottement sur un cylindre roulant sans glisser sur un plan incliné
•
Le travail élémentaire W a le signe de la projection de F sur la direction de
mouvement:
– Exemple: le travail d’une force de frottement sec vaut W12 = –µcN (s2–s1) < 0
r r r
r
Puissance instantanée d’une force: P = W = F d r = F v
dt
dt
OS, 30 mars 2006
214
Théorème de l’énergie cinétique
(valable quelle que soit la nature des forces)
• Pour un point matériel:
r r
K 2 K1 = W12 dK = P = F v
dt
• Pour un système de points matériels:
tot
tot, ext
tot, int
dK tot = P tot, ext + P tot, int
K tot
K
=
W
+
W
2
1
12
12
dt
– Attention: les forces internes interviennent, car elles peuvent travailler !
– Cas d’un solide indéformable S (avec A, B S):
r r
r r
r
P tot, ext + P tot, int = FB v B = FB ( v A + AB)
B
B
r r
r
r r
r
r
r
= FB v A + ( AB FB ) = FB v A + AB FB
B
[
r ext r
dK tot = Fr ext vr + M
A
A dt
OS, 30 mars 2006
]
B
B
r
r
Note : W(rotation) = M O d
r
r
Rappel : K tot = 12 Mv 2G + 12 ( ˜IG )
215
démo: roulement à billes
Voiture en accélération
N
• Forces extérieures s’exerçant sur la voiture:
– Poids mg
Fair
a
– Réaction du sol N
– Frottements de la route sur les roues Froute
– Frottement de l’air sur la carrosserie Fair
Froute
• 2ème loir derNewton:
r
N = mg
r
r
mg + N + Froute + Fair = ma ma = Froute Fair
• Travail et énergie cinétique:
–
–
–
–
mg
Froute est responsable de l’accélération
mais pas du gain en énergie cinétique !
Froute ne travaille pas (roulement sans glissement)
Aucune force extérieure ne travaille sauf Fair
Le travail de Fair est négatif et cause une diminution d’énergie cinétique
Mais l’énergie cinétique augmente …
il y a des forces internes dont le travail est positif !
dK voiture = P tot, ext + P tot, int > 0
dt
123
<0
OS, 30 mars 2006
216
Travail de la force de pesanteur
(ou d’une force constante)
W12 =
2
1
r r
F dr =
2
1
r
mg eˆ z d r
trajectoire B
dr
2
= mg dz = mg(z 2 z1 )
1
z
= mgz1 mgz 2
x
O
m
trajectoire A
F=mg
y
• Le travail ne dépend que des coordonnées z des points et ;
il ne dépend pas de la trajectoire suivie entre ces deux points
• Le travail de la force de pesanteur est nul le long d’une
trajectoire fermée quelconque:
2
1 r
r r
r
W121 = mg d r + mg d r = W12 + W21 = 0
1
2
r r
• On écrit:
mg d r = 0
OS, 30 mars 2006
217
Travail de la force de rappel d’un ressort
2
= [
W12 =
1
r r
F dr =
1
2
2
1
F=–kx m
k
kx dx
x
2
kx 2 ]1 = 12 kx12 12 kx 22
O
Travail de la force de gravitation
W12 =
2
1
[
r r
F dr =
= GmM
r
]
2
1
r
eˆ r d r
1 GmM
2
123
r
dr
= GmM + GmM
r1
r2
2
• Le travail ne dépend que des
points de départ et d’arrivée
Terre
M
F
r
dr
m
trajectoire
r r
F
dr = 0
OS, 30 mars 2006
218
Forces conservatives
• Force conservative:
– force F(r) dont le travail ne dépend que des points de départ et d’arrivée
(quels que soient ces points), et non de la trajectoire entre les deux
• Propriétés:
c
c
c
c
r r r
La force F = F( r ) est conservative
r r
F d r = 0, courbe fermée
r
une fonction V( r ) telle que
2r
r
r
r
r r
1 F d r = [V( r2 ) V( r1 )], r1 , r2
r
une fonction
V(
rr) (potentiel)
r r
r
r
telle que F( r ) = V( r ), r
r
Le champ de force
F
r restr irrotationnel
r
c'est - à - dire F( r ) = 0, r
OS, 30 mars 2006
On dit que la force F
dérive du potentiel V
Abus de langage:
«potentiel» = énergie potentielle
Notions d'analyse vectorielle :
/x
r
Nabla : " = /y "
/zr
r
r
r)
Gradient : gradr V( r ) =r V(
r
r
r
Rotationnel : rot F( r ) = F( r )
219
Energie potentielle
potentiel dont une force conservative dérive
=
énergie potentielle du point matériel soumis à cette force
•
•
L’énergie potentielle est définie à une constante arbitraire près
Elle représente le travail que la force doit fournir pour amener le point
position de référence
matériel à une position de référence arbitraire:
V=
position du point matériel
r r
F dr
Exemple de force :
Energie potentielle associée :
R essort :
Pesanteur :
Gravitation :
V = 12 kx 2 + C
V = mgz + C
V = GMm/r + C
F = kx
r
r
F = mg
r
F = (GMm/r 2 ) eˆ r
r
Centrale :
F = F(r) eˆ r
r
Frottement : F = f(v) vˆ
r
V = F(r')dr' + C
0
aucune (force non conservative)
OS, 30 mars 2006
220
démo: bille dans saladier
Théorème de l’énergie
• Point matériel soumis à: r
r
des forces conservatives Fk = grad Vk ( r ) r
des forces non conservatives de résultante F NC
• Energie mécanique:
rr
r
r
r
r
E( r , v) = K(v) + V( r ) = 12 mv 2 + Vk ( r )
k
• Entre les points 1 et 2, on a:
r
r
K 2 K1 = W12 = V( r1 ) V( r2 ) + W12NC
NC
12
E 2 E1 = W
r NC r
NC
dE
=P =F v
dt
Théorème de
l’énergie
La variation (dérivée) de l’énergie mécanique est égale
au travail (à la puissance) des forces non-conservatives
– si seules des forces conservatives travaillent:
E = constante
OS, 30 mars 2006
Conservation de
l’énergie mécanique
221
démo
Cylindre oscillant sur plan incliné
• Connus:
–
–
–
–
–
–
N
Masse m du cylindre
Rayon R du cylindre
Constante k du ressort
Coefficient de frottement µc
Angle (tg > µs)
x
Fil et poulie sans masses
• Conditions initiales (t=0):
• Question:
– Pourquoi le cylindre finit-il
par s’arrêter définitivement ?
T’
v
Ffrot
E
xf
kx f
E
– x=0, v=0
– Fil tendu et T’=0
T
mg
ressort fixé
= 12 mv 2 + 12 I 2 + mg(x sin) + 12 kx 2
= position finale (équilibre)
= mg sin x f = (mg/k) sin
= E f E t =0 = (mg(x f sin) + 12 kx 2f ) 0
= 12 kx 2f
= travail des forces non conservatives
(frottements sur l’axe du cylindre
et de la poulie, amortissement du
ressort, …)
OS, 30 mars 2006
222
Au tableau
démo
Yoyo
fil
G
R
z
• Conditions initiales (à t=0): v G = 0 et z = 0
vG
mg
• Equations du mouvement:
r
r
M G = dL G /dt RF = I G
˙ = 12 mR 2 (a G /R)
F
F = 12 ma G
2g
r
=
a
r
r
G
A
3
mg + F = ma G F = mg ma G v = a t
• Solution: G 1 G 2 v G = 2a Gz = 4 gz
3
z = 2 a Gt
• Le poids est conservatif et F ne travaille pas
le problème peut être résolu par la conservation de l’énergie:
K* = 12 I G 2 = 12 ( 12 mR 2 )(v /R) 2 = 14 mv 2G
K = 12 mv 2G + K* = 43 mv 2G
E = 43 mv 2G mgz = E 0 = 0 v G = 4 gz
3
OS, 30 mars 2006
223