Examen 2007-2008 (ENSIACET et ENSAT) File

Formation La PAD
2007-2008
Probabilités et Statistique
Examen du 31 mai 2008 (ENSAT et A7)
Documents autorisés : tous les documents de la PAD ; le livre "Modélisation probabiliste et Statistique".
Barème : 6 + 6 + 8.
Exercice 1
Risques et compagnie d’assurance (probabilités conditionnelles) Une compagnie d’assurance répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les risques réduits, les
risques moyens et les gros risques. Les effectifs des ces trois classes représentent respectivement 20%, 50% et 30% de la clientèle totale. Une étude statistique a permis d’évaluer que
pour une personne donnée de l’une de ces trois classes la probabilité d’avoir un accident
dans l’année est de 0.05 pour R1 , 0.15 pour R2 et 0.30 pour R3 .
1) Si on note A l’événement "avoir un accident dans l’année" et, pour 1 6 i 6 3, Ri
l’événement "appartenir à la classe Ri " indiquer P (R1 ), P (A|R1 ), P (R2 ), P (A|R2 ), P (R3 ),
P (A|R3 ).
2) Quelle est la probabilité qu’un client choisi au hasard ait un accident dans l’année ?
En déduire P (Ac ).
3) Si un client donné n’a pas eu d’accident dans l’année quelle est la probabilité qu’il soit
dans R1 ? Il faut donc calculer ici P (R1 |Ac ).
Exercice 2
Loi de durée de vie d’un matériel électronique On note X l’instant de première
panne d’un composant électronique C compté à partir de la mise en service. Il s’agit donc
d’une variable aléatoire réelle (VAR) positive. On introduit la fonction de survie S de ce
composant comme étant définie par
1
si x 6 0
S(x) =
.
P [X > x] si x > 0
1) On suppose que C fonctionne la première fois qu’on l’utilise avec la probabilité 1 − p,
0 6 p < 1, que pour tout z > 0, x > 0 la probabilité que C tombe en panne après l’instant
z n’est pas nulle et que celle qu’il tombe en panne après z + x sachant qu’il n’était pas
encore tombé en panne avant z est la même que celle d’un composant neuf de même type
1
que C de tomber en panne après x. Ecrire, en terme de probabilité conditionnelle pour la
loi de X, la propriété qui découle de cette hypothèse et vérifier qu’ alors
(∀ x > 0), (∀ z > 0) S(x + z) = S(x) S(z).
(1)
2) Vérifier que l’égalité (1) est vraie si X admet comme loi de probabilité la loi exponentielle E(λ) de paramètre λ > 0.
Exercice 3
Essais en laboratoire. Le tableau ci-dessous donne les résultats de 10 essais en
laboratoire concernant la charge de rupture, en kg, d’un acier en fonction de sa teneur
en carbone, en pourcent. On cherche à expliquer la charge de rupture en fonction de la
teneur en carbone. On note donc ce nombre avec des variables xi et la charge de rupture
avec des variables yi et on cherche une relation y = β0 + β1 x.
xi (teneur en carbone)
yi (charge de rupture)
70
87
60
71
68
79
64
74
66
79
64
80
62
75
70
86
74
95
62
70
1) Donner l’expression des solutions βb0 et βb1 du problème des moindres carrés en fonction
n
n
n
n
X
X
X
X
2
des quantités
xi ,
yi ,
xi ,
xi yi .
i=1
i=1
i=1
i=1
2) Tracer le nuage de points et calculer l’ajustement y = βb0 + βb1 x. On donne
10
10
10
10
X
X
X
X
2
xi = 660 ,
yi = 796 ,
xi = 43736 ,
xi yi = 52832.
i=1
i=1
i=1
i=1
3) On note ei = yi − ybi où ybi est la valeur prédite par le modèle estimé à la question 2) :
ybi = βb0 + βb1 xi . On note r le coefficient de corrélation linéaire entre la teneur en carbone
et la charge de rupture
Pi=10
i=1 (xi− x)(yi− y)
r=
1/2 .
i=10
i=10
P
P
2
2
(xi− x) .
(yi− y)
i=1
i=1
Montrer que l’égalité suivante est vérifiée :
Xi=10
i=1
e2i =
Xi=10
i=1
(yi− y)2 (1 − r2 ).
2