TS 3 DEVOIR : PROBABILITES CONDITIONNELLES Octobre 2 009

TS 3
EXERCICE 1:
DEVOIR : PROBABILITES CONDITIONNELLES
Octobre 2 009
EXERCICE 2:
Un professeur d'une classe de terminale donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et
propose deux réponses par question: l'une juste et l'autre fausse.
On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse.
On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse.
A chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses
données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la
troisième, on lui associera le résultat (J,F,F).
I
Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles?
II On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendantes pour chacune
d'elles.
Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats.
1. Soient les évènements: A: "Le résultat contient exactement une réponse juste."
B: "Le résultat contient au moins une réponse juste."
Calculer les probabilités de ces deux évènements.
2. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante: il donne 1 point pour une
réponse juste et 0 point pour une réponse fausse.
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Quelles sont les valeurs prises par X?
b) Donner la loi de probabilité de X sous forme de tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.
3. Dans cette question le professeur change sa façon de noter les copies, il procède comme ceci:
il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,5 point pour une réponse fausse.
On appelle Y la nouvelle variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève.
a) Donner la loi de probabilité de Y sous forme de tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique E(Y) de Y. Comparer et interpréter avec le résultat obtenu pour X.
CORRECTION DE L'EXERCICE 1
PARTIE A
0,5
2. a. D'après les données p  M =1 – p  I  – pO
p  M =1 – 0,08 – 0,82=0,1
F
b. p  M ∩F  =0,25×0,1=0,025
c. I,Oet M forment une partition de l'ensemble des
employés , d'après la formule des probabilités
totales:
I
0,5
F
0,08
0,6
0,82
p  F = p  F ∩I  p  F ∩O  p  F ∩M 
= 0,08×0,50,82×0,60,025
F
O
0,4
F
0,1
=0,557
0,25
F
M
0,75
F
PARTIE B: ATTENTION à ce qui est donné
●
La probabilité qu'il n'y ait pas de panne et que l'alarme se déclanche est égale à 0,002:
ceci se traduit par p  B∩A  =0,002 C'est une intersection car il y a et .
●
La probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme ne se déclanche pas est égale à 0,003:
ceci se traduit p  B∩A  =0,003
C'est une intersection car il y a et .
●
La probabilité qu'une panne se produise est égale à 0,04:
ceci se traduit p  B  =0,04
1. I l est demandé de calculer la probabilité qu'une panne survienne et que l'alarme se déclanche, il faut donc
calculer: p  B∩A  :
1ére méthode:pour cela je peux utiliser l'égalité avec p  B  × p B  A  , je connais P  B  , je ne connais pas
p  B∩ A  0,003
p B  A  mais je peux le calculer .Car p B  A   p B  A =1
=
=0,075
et P B  A  =
p  B
0,04
Donc p B  A  =1−0,075=0,925
Ce qui donne p  B∩A  = p  B  × p B  A =0,04×0,925=0,037
Il n'y avait pas d'erreur dans le texte!
2nd méthode (encore plus simple)
A et A forment une partition de l'univers donc p  B  = p  B∩A   p  B∩A 
p  B∩A  = p  B  − p  B∩ A =0,04−0,003=0,037
2. La probabilité que l'alarme se déclanche p  A = p  B∩ A  p  B∩ A  =0,0370,002=0,039
Car B et B forment une partition de l'univers et j'ai utilisé la formule des probabilités totales.
3.
pA  B =
p  A∩B  0,037
=
≈0,949
p  A
0,039
CORRECTION EXERCICE 2:
I
2nd question
1ère question
3ème question
Triplet
X
Y
J
(J;J;J)
3
3
F
(J;J;F)
2
1,5
J
(J;F;J)
2
1,5
F
(J;F;F)
1
0
J
(F;J;J)
2
1,5
F
(F;J;F)
1
0
J
(F;F;J)
1
0
F
(F;F;F)
0
0
J
J
F
J
F
F
Il y a 8 résultats possibles.
nombre de triplet avec un seul J 3
=
8
8
nombre de triplet avec au moins un J 7
p  B=
=
8
8
2°) a) Les valeurs prises par X sont: 0;1;2;3.
b)
xi
0
1
II 1°) p  A  =
2
3
3
3
8
8
1
3
3
1 3 6 3 12 3
c) E  X =0× 1× 2× 3× =   = = =1,5
8
8
8
8 8 8 8 8 2
3°) a)
yi
0
1,5
1
8
p  X =x i 
p  Y = yi 
1
8
4
8
3
8
3
1
8
4
3
1 7,5
≈0,94
b) E  Y =0× 1,5× 3× =
8
8
8 8
Si l'élève répond au hasard aux questions, il a plus de chance d'avoir des points avec la première notation qu'avec
la deuxième.