Lemme du pompiste régulier

Lemme du pompiste
IFT2105
29 septembre 2015
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Lemme du pompiste - Rappel
Soit L ∈ REG. Le lemme du pompiste dit la chose suivante :
Il existe une longueur de pompage p > 1 telle que pour tout mot w ∈ L
de longueur au moins p, w peut être écrit par w = xyz avec
1. |y| ≥ 1,
2. |xy| ≤ p et
3. ∀i ≥ 0, xy i z ∈ L
En logique propositionnelle cela signifie :
(∃p > 1) ∀w ∈ Σ∗ [(w ∈ L) ∧ (|w| ≥ p)] ∃x, y, z ∈ Σ∗ (w = xyz) ∧ (|y| ≥ 1) ∧ (|xy| ≤ p) ∧ (∀i ≥ 0, xy i z ∈ L) .
Pour montrer qu’un langage n’est pas régulier, il suffit de montrer que
(∀p > 1) ∃w ∈ Σ∗ [(w ∈ L) ∧ (|w| ≥ p)] ∀x, y, z ∈ Σ∗ (w = xyz) ∧ (|y| ≥ 1) ∧ (|xy| ≤ p) ∧ (∃i ≥ 0, xy i z ∈
/ L) .
1.1
FINI
Soit L un langage fini, tous les langages finis sont réguliers (car FINI ⊂
REG), donc le lemme du pompiste doit tenir.
Or, comme xy i z ∈ L pour tout i ≥ 0, cela n’implique-t-il pas que L soit
de cardinalité infinie ? Après tout, il y a un nombre infini de i possibles.
N’a-t-on pas une contradiction ?
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Non ! Il n’y a pas de contradiction. Pour tout langage fini L, il existe
bien une longueur de pompage p telle que pour tout w ∈ L avec |w| ≥ p,
∃x, y, z avec xyz = w, |xy| ≤ p, |y| ≥ 1 et ∀i ≥ 0, xy i z ∈ L. Posons p − 1 la
longueur du mot le plus long dans L (il en existe au moins un puisque L est
fini). Ainsi, il n’existe pas de mot w ∈ L avec w ≥ p. On peut dire n’importe
quoi sur un tel mot et la proposition reste vraie par vacuité.
Montrez que les langages suivants sur Σ = {a, b}
ne sont pas réguliers
2
2.1
L = {x · an x ∈ Σ∗ et |x| = n}
On suppose que L est régulier et on montre qu’on arrive à une contradiction dans le lemme du pompiste.
Soit p ≥ 1 la longueur de pompage donnée par le lemme. Étudions le
mot w = bp ap . On a bien que w ∈ L et |w| = 2p ≥ p.
Soit xyz = w une décomposition quelconque en trois partie de w. Supposons que les deux premières conditions du lemme tiennent, soient |xy| ≤ p
et |y| ≥ 1 et montrons que la troisième condition ne peut pas tenir.
Si |xy| ≤ p et |y| ≥ 1, alors y ne contient que des b mais au moins un b.
Observons le mot donné lorsqu’on pompe une fois. xy 2 z = bp+|y| ap . Ce mot
contient strictement plus de b que de a et ne peut pas être dans le langage
L. On arrive à une contradiction et on conclut que L ∈
/ REG.
2.2
Montrons que L = {xx x ∈ Σ∗ } n’est pas régulier
Si L est régulier, alors le lemme du pompiste doit tenir
Soit p ≥ 1. Étudions le mot w = ap bp ap bp ∈ L qui peut être divisé en
trois parties xyz. Si on a que |xy| ≤ p et |y| ≥ 1, alors y ne contient que des
a et au moins un a. xy 3 z ne peut pas faire parti de L puisqu’il est de la forme
ap+2|y| bp ap bp . En particulier, on observe que la première moitié contient plus
de a que la deuxième moitié. L ne peut pas être régulier.
2
Montrons que L0 = {xy |x| = |y| et x 6= y} n’est pas
régulier
2.3
L est constitué des mots de longueur paire qui ne sont pas constitués de
deux mots identiques.
|x| = |y| et x = y} et M =
Regardons
plutôt
les
languages
L
=
{xy
{x |x| = 2n}. On a
L = M ∩ L0
On a déjà montré que L n’était pas régulier dans la question précédente.
Si M est régulier, alors on conclura que L0 ne l’est pas puisque la classe REG
est fermée sous la complémentation et sous l’intersection.
En effet, si M ∈ REG et L0 ∈ REG, alors L0 ∈ REG et M ∩ L0 = L ∈ REG
ce qui est une contradiction.
2.3.1
Montrons que M = {x |x| = 2n} est régulier
Il est décidé par l’automate suivant :
Σ
start
P
I
Σ
3
Montrez que REG est fermée sous la soustraction
d’ensemble
Soient L, M ∈ REG on rappelle la définition de soustraction sur les ensembles :
L\M ≡ L − M := L ∩ M
REG est fermée sous l’intersection et la complémentation, donc L, M ∈
REG =⇒ L ∩ M ∈ REG.
3.1
L = {ap p est premier}
Supposons que L est régulier et contradisons le lemme du pompiste.
3
Posons w = an où n est un premier et n > p + 1 (un tel n existe puisqu’il
existe un nombre infini de nombres premiers). Donc w ∈ L, |w| ≥ p.
Soit une décomposition w = xyz avec |y| ≥ 1 et |xy| ≤ p. Posons i = |xz|,
alors |xy i z| = |x| + |y| × i + |z| = |xz| + |y| × |xz| = (1 + |y|) × |xz|. Or,
(1 + |y|) et |xz| sont plus grands que 1, car
|y| ≥ 1
=⇒
1 + |y| > 1
|xy| ≤ p
=⇒
|xz| ≥ |xyz| − max |y| > p + 1 − p > 1.
et
Ainsi, |xy |xz| z| est composé. On a donc que xy |xz| z ∈
/ L et L n’est pas
régulier.
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