resume math jan 2010

Mathématique : résumé Chapitre 1 : introduction Addition et multiplication : Binaires : opérations sur deux opérandes Internes et partout définies : ∀x, y ∈UnEnsemble : ∃( x ∗ y ) ∈UnEnsemble où ∗ représente + ou × . Commutatives : ∀x, y : x ∗ y = y ∗ x Associatives : ∀x, y,z : ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z) €
€
€ €
Disposent d
’un n
eutre :
€
+ : 0 : ∀x : x + 0 = x €
× : 1: ∀x : x × 1 = x 0 est même absorbant pour × : ∀x : x × 0 = 0 € €
€
Grâce à l€
’associativité, on peut même définir ces opérations comme des opérations n-­‐aires : opérations sur n opérandes. € €
Résultat pour + Résultat pour × x1 + x 2 + ...+ x n x1 × x 2 × ... × x n n opérandes x n 1 opérande x x x 0 opérande 0 1 €
€
dans le cas ou n = 0 le résultat est le neutre de l’opération considérée €
€
€€
€
€
Distributivité : × distribue + : ∀x, y,z : ( x × y ) + ( x × y ) = x × ( y + z) (Le contraire n’est pas correct : + NE distribue PAS × ) Symétrisable : 2 opérandes sont dites symétriques si leur composée par + ou × €
€ €
donne le neutre de l’opération. €
€
∀x∃y : ( x + y = 0)  opposé OU ( x × y = 1) inverse Dans , tous les éléments ont un opposé et seul -­‐1 et 1 ont un €inverse. €
€
⚠Vrai dans  mais pas forcément dans tous les ensembles. €
Chapitre 2 : arithmétique Division Euclidienne : Opération sur deux opérandes : m = dividende, d = diviseur m = q : quotient division entière d
m ÷ d = r : reste modulo : reste de la division euclidienne  q et r sont les seuls entiers qui respectent ces trois affirmations : m = ( d × q) + r
€
€
r ≥0
r<d
Comment faire la division euclidienne, visuellement : On place la valeur de m sur la droite, on va chercher le multiple de d le plus proche en € direction de −∞ pour la division euclidienne (de sorte que le reste soit positif) et en direction de 0 pour les langages Java et Pascal par exemple (de sorte que le reste soit du même signe que m). Le multiple auquel on arrive est q et l’écart entre ce q et m est le reste r (non signé / du même signe que m). €
La relation | signifie : b | a = b est diviseur de a Ex : 5|15 = VRAI Quelques propriétés : ∀a : a | a
€
OU / a est multiple de b OU 5|12 = FAUX €
∀a,b,c : ( a | b) ( a | c ) ⇒ ( a | b + c ) ( a | b − c )
∀a,b,c : ( a | b) ( a | c ) ⇒ ( a | b × c )
∀a,b,c : ( a | b) (b | c ) ⇒ ( a | c )
∀a,b ∈ Naturels : ( a | b) (b | a) ⇒ ( a = b)
€
r = a ÷ b = a modulo b = 0 €
Lors du calcul « modulo n », chaque entier est remplacé par le reste de sa division par n. Malheureusement, si n n’est pas un nombre premier, on obtient un ensemble dans lequel, par exemple, un produit peut s’annuler sans qu’aucun des facteurs ne soit nul, ou d’autres incohérences qui peuvent être dérangeantes. Ex : modulo 8 : 3 x 4 = 0… C’est pourquoi on se cantine souvent au calcul « modulo n » avec un n premier. Propriété intéressante : (à partir d’ici, ÷ signifiera « modulo ») ∀a,b,c,n : (( a + b) × c ) ÷ n = (( a ÷ n ) + (b ÷ n )) × (c ÷ n ) ÷ n [
€
€
€
€
€
€
€
€
]
 Ceci peut faciliter considérablement les calculs !!! Exemple : calcul de 389 ÷1037€ 1° : décomposer 89 en une somme de puissances de 2 : €
89 = 64 +16 + 8 +1 = (2 6 + 2 4 + 2 3 + 2 0 ) = 364 × 316 × 38 × 31 Donc : 389 €
2° : calculer toutes les puissances de 3 successives, modulo 1037 : 31 ÷1037 = 3 € 2
= 9 € 34 ÷1037 3 ÷1037 = 9 2 ÷1037 = 81 38 ÷1037 = 81 2 ÷1037 = 339 16
3 ÷1037 = 339 2 ÷1037 = 851 2
332 ÷1037
€ = 851 2 ÷1037 = 375 64
3 ÷1037€ = 375 ÷1037 = 630 3° : effectuer € le calcul trouvé en 1 : 89
3 ÷1037 €
= ( 364 ÷1037) × ( 316 ÷1037) × ( 38 ÷1037) × ( 31 ÷1037) ÷1037
€
389 ÷1037 = (630 × 851 × 339 × 3) ÷1037
[
]
389 ÷1037 = 1017
Les nombres premiers : Un nombre premier est un nombre admettant 2 diviseurs : 1 et lui même (1 n’est donc pas premier car il n’en a qu’un seul). Les nombres premiers sont comme les « atomes » de l’arithmétique : tout nombre peut s’écrire d’une et une seule manière comme produit de nombres premiers. Ex : 1802 = 2 x 2 x 5 x 7 x 13 Factoriser un nombre en un produit de nombre premiers est un « problème difficile » càd qu’il peut prendre un temps énorme car cela nécessite un nombre d’opération immense : on teste la divisibilité par d, on incrémente éventuellement d, et on recommence, jusqu’à atteindre la racine carrée du nombre souhaité… Par contre, vérifier que tel produit est bien la factorisation est très simple. Plus grand commun diviseur : deux nombres naturels ont toujours au moins 1 diviseur en commun : 1, le plus grand des diviseurs commun est noté : pgcd(a,b) Plus petit commun multiple : deux nombres naturels ont toujours un multiple en commun : leur produit. Le plus petit commun multiple est noté : ppcm(a,b) Dans tous les cas, on a : pgcd(a,b) * ppcm(a,b) = a x b Algorithme d’Euclide pour trouver le pgcd : Soient a et b deux naturels ≥ 2 et soit r le reste de la division euclidienne de a par b On a donc, de par la théorie : a = (b × q) + r Si r = 0  pgcd(a,b) € = b Sinon, pgcd(a,b) = pgcd(b,r) Ex : €
a = 980 b = 378 pgc d (980,378) =
⇒ 980 = 378 × 2 + 224 ⇒ pgcd( 378,224 )
⇒ 378 = 224 × 1+154 ⇒ pgcd(224,154 )
⇒ 224 = 154 × 1+ 70 ⇒ pgcd(154,70)
⇒ 154 = 70 × 2 + [14 ] ⇒ pgcd( 70,14 )
⇒ 70 = 14 × 5 + 0 ⇒ [14 ]
Le pgcd est donc le dernier reste non nul. Théorème de Bézout : ∀a,b ∈ N 0 ,∃α , β ∈ Z : pgcd(a,b) = a × α + b × β En français, le pgcd de deux nombre peut toujours s’écrire comme une combinaison linéaire de ces deux nombres. €
Expriment le reste actuel en fonction de m et d à cette étape € Comment trouver les coefficients α et β ? Dresser le tableau suivant : (⚠ l’étape 1 est à la 3ème ligne) Ici : m = 1330 et d = 602
€
€
N° étape m d r q α / / 1 2 3 4 5 … €
1330 602 126 96 28 602 126 96 28 14 1330 602 126 96 28 14 0 2 €
=
4 1 3 2 €
€
β 1 0 0 1 €
1 -­‐2 −4
q
×
α
β
q
=
=
i−1
i−2 − i × βi−1 = 9 − i
5 -­‐11 -­‐19 42 € € €€
Coefficients de Bezout  pgcd(1330,602) = 14 = ( −19) × 1330 + 42 × 602 Remarques : le pgcd est multiple de tous les autres diviseurs commun de a et b : ∀a,b,c : (c | a) (c | b) ⇒ (c | pgcd(a,b)) parmi les diviseurs de a et b, seul le pgcd peut s’écrire sous la forme a × α + b × β : ∀a,b,d : ( d | a) ( d | b) (∃α, β : d = a × α + b × β) ⇒ d = pgcd(a,b) €
€
€
€
€
Deux nombres sont dits « premiers entre eux » si leur seul diviseur commun est 1, donc si : pgcd(a,b) = 1 ⇔ ∃α , β :1 = a × α + b × β ⇔ a(resp. b) est inversible modulo b(resp. a) Remarques : Si est premier, et si a n’en € p€
€ est pas un multiple, a et p sont premiers entre eux Si a divise b × c , et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c : ∀a,b,c : ( a | b × c ) ( pgcd(a,b) = 1) ⇒ ( a | c ) Si m est multiple de a et b, premiers entre eux, alors m est multiple de a × b : €
∀a,b,m : ( a | m) (b | m) ( pgcd(a,b) = 1) ⇒ ( a × b | m) €
Calculer un inverse modulo n : €
Soient n = 910 et a = 291 : l’inverse de 291 modulo 910 se calcule en dressant le €
tableau suivant : On a donc 1 ÷ 910 = (910 × α ) ÷ 910 + (291 × ( −369)) ÷ 910  modulo 910 : 1 = 291 × ( −369)  ( −369) ÷ 910 = 541  a −1 = 541 €
Application € : résoudre des équations en modulo n : Ex : m€
odulo 97 : 57 × x = 24 On inverse 57 modulo 97 : 57 −1 = 80 x = 24 × 80 = 77 €
x = 74 modulo 100 : 6 × €
On inverse 6 modulo 100 : ∄ (n’existe pas) € On cherche par tâtonnement et on trouve 2 solutions : x = 29, x = 79  Encore une preuve qu’il vaut mieux calculer modulo un nombre premier (tous les €
nombres sont inversibles) €
Chapitre 3 : cryptage Ce chapitre ne sera pas résumé ici, cfr. Notes power point. Chapitre 4 : logique des propositions €
Ici on ne se préoccupera que de savoir si une proposition a une valeur de vérité VRAI ou FAUSSE, pas de savoir si elle a du sens, afin d’éviter les paradoxes. En logique, on se dote de propositions élémentaires, notées pi et de connecteurs (ex : négation, conjonction, disjonction, …). Négation : ¬p =! p = not ( p) =| p = ... ¬ €
On peut dresser un tableau de vérité dans lequel 1 vaut vrai et 0 faux : 0 1 1 0 0 1 ∧ €
€
Conjonction : p1 ∧ p2 = p₁ and p₂ = … 0 0 0 1 0 1 €
0 1 ∨ Disjonction : p1 ∨ p2 = p₁ or p₂ = … €
0 0 1 1 1 1 €
Le tableau €
de vérité permet d’établir la valeur de vérité d’une proposition en fonction de ses propositions élémentaires. Le nombre de ligne du tableau est égal à 2 exposant le nombre de propositions élémentaires. Propriétés des connecteurs : Double négation : ¬¬p = p p ∧ q = q ∧ p Commutativité : ET p ∨ q = q ∨ p Associativité : ( p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r) ( p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r) € Distributivité: p ∧ (q ∨ r) = ( p ∧ q) ∨ (€p ∧ r) €
p ∨ (q ∧ r) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) € p ∧ p = p Idempotence € : p ∨ p = p € De Morgan : ¬( p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q €
¬( p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q €
€
Remarques : €
p ∧ ¬p = 0
€
p ∨ ¬p = 1
Il n’y a pas de priorité naturelle de ∧ sur ∨ , ni l’inverse. 0 est absorbant pour ∧ et 1 est absorbant pour ∨ . €
€
€
€
Les propositions suivantes définissent l’implication : ¬( p ∧ ¬q)
€
¬p ∨ q
p⇒q
p est l’antécédent, q est le conséquent. Le seul cas ou l’implication est fausse est si q est faux et p est vrai. € Si p ⇒ q est vrai, on dit : p est condition suffisante de q q est condition nécessaire (ou logique) de p Equivalence : p ⇔ q = ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) Disjonction exclusive : p ⊕ q = ( p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) €
Equivalence et disjonction sont négation l’une de l’autre : ¬( p ⇔ q) = p ⊕ q €
Une tautologie est une proposition dont la valeur de vérité est toujours vraie.  très utiles pour les démonstrations, elles valident le raisonnement. €
Ex : la règle du « modus ponens » : p ∧ ( p ⇒ q) ⇒ q En d’autre termes : si une implication est vraie et si son antécédent est vrai, alors le conséquent est vrai aussi €
Comment s’en servir : exemple : Essayons de prouver que : ( p ∧ q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ (q ⇒ r)) p ∧ q ⇒ r Supposé vrai 1° : p ⇒ (q ⇒ r) A prouver €
€
p ∧ q ⇒ r Supposé vrai 2° : €
p q
⇒
r A prouver €
p ∧ q ⇒ r 3° : Supposé vrai p €
q A prouver r €
Il ne reste alors qu’à appliquer le « modus ponens » et la démonstration est finie. €
€
Les électriciens utilisent une notation spéciale : ¬p devient p , ∧  × et ∨  +. Dans ce contexte (SEULEMENT), × est prioritaire sur +. On retrouve les priorités classiques : p × 1 = p p + 0 = p p × 0 = 0 €
€ € €
€
p×q=q× p
€
p+q =q+ p
p × (q
€ × r) = ( p × q)€× r
p + (q + r) = ( p + q) + r
p × (q + r) = ( p × q) + ( p × r)
Et on en ajoute des plus spéciales : p +1 = 1
p + (q × r) = ( p + q) × ( p + r)
p× p= p
p+ p = p
p= p
p× p=0
p + p =1
p+q = p ×q
p ×q = p+q
€
Les électroniciens s’intéressent beaucoup à deux connecteurs : nand et nor : nand 0 1 nor 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 p nand q = p × q p nor q = p + q Pourquoi s’y intéresser ? Ces deux connecteurs sont dits « universels », càd qu’ils suffisent chacun pour construire n’importe quel autre connecteur. €: négation : p nand p =€
Ex p × p = p (
) (
)
conjonction : (p nand q) nand (p nand q) = p × q × p × q = p × q + p × q = p × q €
€
Chapitre 5 : logique des prédicats €
Contrairement au chapitre précédent ou l’on s’intéressait aux proposition seules(pᵢ), dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux prédicats, càd les propositions dépendant d’une ou de plusieurs variables (appelons les pi ( x ) ). La valeur de vérité de p( x ) dépend donc de la valeur numérique de x. €
La valeur de vérité de ∀x : p( x ) n’est vraie que si p( x ) est vrai pour toutes les valeurs de x. ∀ est appelé € quantificateur universel, il peut être lu « pour tout ». La valeur de vérité de ∃x : p( x ) n’est vrai que s’il existe au moins une valeur de x pour €
€
laquelle p( x ) existe. ∃ est appelé quantificateur existentiel, il peut être lu « il existe ». Un prédicat d€u type : ∀x : (x × y = x) dont la valeur dépend de y est appelé un prédicat en y : il vaut €vrai si y est égal à 1 et faux s’il vaut toute autre valeur. €
La variable y, non quantifiée, est dite libre. La variable x, quantifiée, est dite liée. €
Le prédicat est équivalent à ∀z : (z × y = z) . ⚠ Les quantificateurs ∀ et ∃ ne sont pas commutatifs : ∀x∃y : p( x, y) n’est pas équivalente à ∃y∀x : p( x, y ) ! En fait on a une implication : ∃y∀x : p( x, y ) ⇒ ∀x∃y : p( x, y ) . €
Les quantificateurs €
€sont commutatifs ssi ils sont €de même nature et consécutifs. €
€
Comment nier un quantificateur ? ¬(∀x : p( x )) ⇔ ∃x : (¬p( x ))
¬(∃x : p( x )) ⇔ ∀x : (¬p( x ))
Les quantificateurs sont chacun associés aux un connecteurs de la manière suivante : ∀ et ∧ : €
∀x : ( p( x ) ∧ q( x )) ⇔ (∀x : p( x )) ∧ (∀x : q( x )) ∃ et ∧ : ∃x : ( p( x ) ∧ q( x )) ⇒ (∃x : p( x )) ∧ (∃x : q( x )) €
€€ ∀ et ∨ : ∃x : ( p( x ) ∨ q( x )) ⇔ (∃x : p( x )) ∨ (∃x : q( x )) €
€€ ∃ et ∨ : €
€
∀x
:
p
x
(
)
( ∨ q( x )) ⇐ (∀x : p( x )) ∨ (∀x : q( x )) €
€€
€ La notation ∃!x : p( x ) est un raccourci pour ∃x : p( x ) ∧ ∀y,z : ( p( y ) ∧ p( z) ⇒ ( y = z)) €€cette affirmation €revient Nier à écrire ∀x : ¬p( x ) ∨ ∃y,z(( y ≠ z) ∧ p( y ) ∧ p( z)) €
€
€
€
Chapitre 6 : ensembles Un ensemble est une collection non structurée d’objets, à priori quelconques. Pour signifier l’appartenance à un ensemble, on écrit : x ∈ E . Soit l’objet appartient à l’ensemble soit il n’y appartient pas, il ne peut y appartenir plusieurs fois. Le nombre d’éléments dans l’ensemble est appelé cardinal (ou puissance) de €
l’ensemble et se note #E ou E . La représentation d’un ensemble sous la forme d’une courbe fermée (ou patate), est appelée diagramme de Venn. L’appartenance d’un objet à l’ensemble, est symbolisée par €
un point dans la patate. On peut écrire un ensemble en extension en listant tous ses éléments : E = {3,Chaussette,Juliette,vert} (ici E = 4 ) Lorsqu’il n’y à pas d’ambigüité, on se permet souvent de suggérer une partie des éléments : E = {' a','b',...,' m'} OU E = {1,2,3,...} €
€
On peut aussi décrire un ensemble en compréhension en énonçant un critère d’appartenance à cet ensemble : €
€
E = x ( x ∈ Z ) ∧ ( x 2 < 4 ) {
}
On utilise parfois une notation mixte : E = 2 p, p +1,3p + 7 ( p ∈ N 0 ) € Parmi les ensembles, il en est un qui est important : l’ensemble vide, seul ensemble sans aucun éléments, de cardinal 0. Il s’écrit de différentes façons : €
V = { } = ∅ Le prédicat x ∈ ∅ est toujours faux. Par contre, ∀x ∈ ∅ : p( x ) est toujours vrai. €
Remarques : €
Un ensemble ne s’appartient pas. E ∈ E est toujours faux ! €
Donc, l’affirmation suivante, signifiant E est composé d’un élément : l’ensemble E est fausse : E = { E }, même si E = ∅, en effet, {∅} est un ensemble de cardinal 1, un singleton. €
{
€
}
€
€
Inclusion : On raccourci l’écriture ∀x : (( x ∈ A) ⇒ ( x ∈ B)) par A ⊆ B . La négation de ceci est ∃x : (( x ∈ A) ∧ ( x ∉ B)) . Propriétés de l’inclusion : ∅ ∈ E est toujours vrai : le vide appartient € à chaque ensemble. €
Tout ensemble est inclus à lui même : E ⊆ E € égaux sont inclus l’un dans l’autre : Deux ensembles ∀A,B : (( A ⊆ B) ∧ ( B ⊆ A)) ⇔ ( A = B) €
: (( A ⊆ B) ∧ ( B ⊆ C )) ⇒ ( A ⊆ C ) L’inclusion est transitive : ∀A,B,C
€
⚠
L’appartenance n’est pas transitive ! €
L’ensemble de tous les s€
ous ensembles de E s’appelle le power set de E. Il se note P ( E ) . E = {1,2,3}
Ex : On a toujours P ( E ) = 2 E P ( E ) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}, E }
€
On peut effectuer des opérations sur des ensembles : €
€ Intersection : A B = { x ( x ∈ A) ∧ ( x ∈ B)} Union : A B = { x ( x ∈ A) ∨ ( x ∈ B)} Différence : A − B = { x ( x ∈ A) ∧ ( x ∉ B)} €
Différence symétrique : €
A ⊕ B = { x ( x ∈ A) ⊕ ( x ∈ B)} = ( A B) − ( A B) = ( A − B) ( B − A) €
Si l’on travaille dans un « univers de référence » E : € Le complémentaire de A : A = { x ( x ∈ E ) ∧ ( x ∉ A)} = E − A €
€
€
€
€
€
€
€
€
Ainsi on peut écrire : A − B = A B Sur le power set de l’univers, on a les propriétés suivantes : €
A B = B A A B = B A €
A( BC ) = ( A B) C
A( BC ) = ( A B) C
A∅ = A €
A E = A
A∅ = ∅
A E = E
A( BC ) = ( A B) ( AC )
A( BC ) = ( A B) ( AC )
A A = A € A A = A A = A ∅ = E E = ∅ A A = ∅ € A A = E A B = A B A B = A B €
La différence symétrique est associative : A ⊕ ( B ⊕ C ) = ( A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ B ⊕ C €
A ⊕ B ⊕ C est l’ensemble des éléments appartenant à 1! ensemble ou aux trois. €
€
€
Un ensemble est équipotent à un autre si chacun de ses élément peut être mis en correspondance « one to one » avec ceux de l’autre (il faut pour cela que les deux ensembles aient les même cardinal. Un ensemble est dit infini s’il est équipotent à une de ses parties propres. Un ensemble est dit dénombrable s’il est équipotent à une partie de l’ensemble N. Tout sous ensemble d’un ensemble dénombrable est lui-­‐même dénombrable. Une union de deux ensembles dénombrable est dénombrable. Chapitre 7 : combinatoires  De combien de façon peut-­‐on ranger 4 éléments distincts ? On a 4 choix pour le premier, 3 pour le second, …, 1 seul choix pour le dernier, donc au total on a 4.3.2.1 = 4! choix. Il s’agit d’une permutation : Pn = n!  De combien de façon peut-­‐on choisir et ranger 4 éléments parmi 6 ? On a 6 façon de choisir le premier, 5 pour le second, … 3 pour le dernier, donc au total on à 6.5.4.3 = 6!/2! c€
hoix possibles. n!
Il s’agit ici d’un arrangement de k éléments pris parmi n : Ank =
(n − k )!
 De combien de façon peut-­‐on choisir sans les ranger 4 éléments parmi 6 ? Appelons T le travail consistant à choisir et ranger 4 éléments parmi les 6. α €
T peut être décomposé en 2 travaux successifs indépendants : β1 Choisir 4 éléments parmi les 6 β2 Ranger 4 éléments €
On a donc α = β1 × β2 €
6!
Or on connaît α ( A46 ) et β2 ( P4 ) €
: β1 = A46 / P4 = 2!×4!
€
n!
Si on généralise : choisir k éléments parmi n peut se faire de Cnk =
manières. € €
k!× ( n − k )!
€ € € € € €
⚠ Ce nombre est également le nombre de sous ensemble de cardinal k dans un ensemble de n éléments. €
Propriété : Cnk = Cnn −k  De combien de façon peut on ranger 7 objets dont 3 sont identiques ? €
Il faut d’abord choisir 3 places parmi 7 pour mettre les objets identiques : C73 Ensuite il faut ranger les 4 autres : P4 7!
7!
 C73 × P4 =
× 4!= 3!×4!
3!
€
Généralisons : rangement de n éléments dont n1,n 2 ,... sont identiques : €
n!
Pnn1 ,n 2 ,... =
n1!×n 2!×...
€
€
 De combien de façon peut on ranger n éléments « en rond » ? Nbr rangements circulaires de n éléments = ( n −1)! €
€
Chapitre 8 : récurrence et récursivité Principe : pour prouver ∀n ≥ n 0 : p( n ) : On prouve p( n 0 ) pas initial On prouve p( k ) ⇒ p( k +1) pas récurrent Donc, on suppose € que p( k ) est vrai et on essaye de prouver p( k +1) . €
Chapitre €9 : matrices €
Pas dans la matière. Non résumé ici. Chapitre 10 et suivants €
Cfr. Les pdf donnés en introduction aux séances d’exercices et les exercices eux même. Le reste est de l’entrainement. Bon travail !