Complexes et géométrie : TICE

Complexes et géométrie : TICE
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Complexes et géométrie : TICE
1. Figure. Distances et angles
a) Avec Geogebra : soit O l’origine du repère, A et B deux points quelconques.
Tracer le triangle isocèle rectangle en O direct OAA0 , le triangle isocèle rectangle en O indirect OBB 0 .
Tracer les milieux C, D, E, F de [AB], [AA0 ], [A0 B 0 ], [B 0 B].
Tracer le quadrilatère CDEF . Observer sa forme lorsque A et B varient. Faire
une conjecture.
b) Démontrer cette conjecture en utilisant les nombres complexes : appeler a et
b les affixes de A et B et calculer les affixes des autres points en fonction de a
et b. Traduire la propriété à démontrer et prouver qu’elle est vérifiée.
c) Tracer la droite (OE). Comparer sa direction avec celle de (AB).
Conjecturer une propriété restant vraie lorsque A et B varient. Démontrer
cette propriété avec les affixes.
d) Faire afficher par Geogebra les distances OE et AB. Conjecturer une relation entre OE et AB restant vraie lorsque A et B varient. Démontrer cette
propriété avec les affixes.
2. Figure, angle polaire, cosinus
→
− →
−
a) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O; i , j . On appelle
√
A le point associé au nombre complexe zA = 3 + i. On construit les points
B et C de telle manière que OABC soit un carré direct. Faire une figure.
Sur la figure, mesurer l’angle polaire de A et celui de B
b) Démontrer que l’angle polaire de A est bien celui qui a été conjecturé (pour
cela, utiliser la distance OA)
De même pour celui de B (utiliser des propriétés géométriques)
Calculer ensuite l’affixe de B.
En déduire la valeur exacte du cosinus de l’angle polaire de B.
3. Triangles
→
− →
−
a) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;
√ u , v ). Les
points
A, B√ et C sont définis par leurs affixes respectives a = 3 − 3i, b =
√
2 3, c = 3 3 + i. Soit G le centre de gravité du triangle OAB.
Soit D le point d’affixe d tel que OGCD soit un parallélogramme.
Tracer le triangle OAB et conjecturer sa nature.
Conjecturer une propriété concernant les points B, C et G.
Tracer le triangle OAD et conjecturer sa nature.
Tracer le cercle passant par O, G et B, et conjecturer une propriété.
b) Démontrer les propriétés conjecturées
4. Rotation, homothétie, suite de points
a) Soit M0 le point d’affixe 4. Tracer le point M1 tel que le triangle OM0 M1 soit
rectangle en M1 , isocèle direct.
Pour cela on pourra effectuer une rotation de centre O suivie d’une homothétie
de centre O.
On continue ensuite le procédé :
OM1 M2 est rectangle en M2 , isocèle direct.
OM2 M3 est rectangle en M3 , isocèle direct.
Conjecturer l’affixe de M3 .
b) Démontrer la propriété conjecturée en calculant les affixes des points
M1 , M2 , M3 . Pour faciliter les calculs, on pourra d’abord déterminer la formule générale qui donne l’affixe de Mn+1 en fonction de celle de Mn .
5. Fonction complexe. Lieu d’un point
a) Soit f la fonction définie sur C par f (z) = z − 1 − i
Soit A un point quelconque d’affixe z et B le point d’affixe f (z). Tracer B à
partir de A par une construction géométrique (symétrie, translation).
Soit M le milieu de [AB] Tracer le lieu de M lorsque A varie dans tout le
plan. Pour cela, sélectionner le point M et choisir activer la trace. Puis faire
bouger le point A et observer la figure ainsi formée.
Conjecturer le résultat.
b) Démontrer la propriété conjecturée
6. Triangle isocèle rectangle, homothétie, milieu
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a) Soit A le point d’affixe 3i et B le point d’affixe 1 + i.
Tracer C tel que ABC soit un triangle isocèle rectangle direct en C.
√
Soit D l’image de A par l’homothétie de centre C et de rapport 3.
Soit E le milieu de [BD].
Que peut-on conjecturer pour le triangle BCE ?
b) Démontrer la conjecture
7. Division
a) Soit A le point d’affixe a =
√
3 − i, B d’affixe b = 1 − i. et C d’affixe c =
a
.
b
Soit B 0 le point d’affixe b2 .
Tracer les points A, B, B 0 et C et les triangles OAB 0 et OBC.
Conjecturer la nature de ces triangles, ainsi que celle des triangles OBB 0 et
OAC.
b) Démontrer la propriété conjecturée en utilisant les affixes des points.
On pourra commencer par le triangle OAB 0 , puis remarquer que les nombres
b et c s’obtiennent en divisant respectivement b0 et a par un même nombre.
La nature de OAC se déduit de celle de OBB 0 par un procédé analogue.
8. Cercle
a) Soit A un point quelconque du cercle de diamètre [OV ] avec V d’affixe i.
Soit z l’affixe de A, A0 le point d’affixe z 0 = z − i, et A00 le point d’affixe
z 00 = iz.
Tracer les points A0 et A00 d’affixes z 0 et z 00 (utiliser des transformations).
En observant la figure, conjecturer une propriété concernant les points O, A0
et A00 .
b) Démontrer la propriété conjecturée en utilisant les affixes des points.
9. Inversion
a) Avec Geogebra : soit O l’origine du repère. Tracer le cercle trigonométrique,
puis la droite d’équation x = 1. Tracer un point mobile A sur cette droite.
1
Le but est de tracer le point A0 de la demi-droite [OA) tel que OA0 =
OA
et de conjecturer son lieu géométrique (l’ensemble de ses positions) lorsque A
varie sur la droite.
−−→
−→
On pourra d’abord exprimer le vecteur OA0 en fonction du vecteur OA et de
−→
la distance OA. Puis, avec Geogebra, définir le vecteur OA, la distance OA,
−−→
le vecteur OA0 et finalement le point A0 .
Tracer le lieu de A0 . Conjecturer la nature et les éléments de ce lieu.
b) Démontrer la propriété conjecturée en utilisant les affixes des points.