Enoncé

Endomorphismes commutant avec les translations
On note B = (1, X ,..., X n ) la base canonique de ℝ n [X ] .
Partie I
On considère une suites de réels deux à deux distincts : (an )n∈ℕ .
Pour n ∈ ℕ∗ , on note M n la matrice carrée d’ordre n + 1 dont l’élément d’indice (i , j ) est a nj −−1i +1 .
 a 0n
a1n ⋯ ann 


n
−
1

a1n −1 ⋯ ann−1 
Autrement dit : M n = a 0

 ⋮
⋮
⋮ 

 1
1 ⋯ 1 
On pose Vn son déterminant que nous allons calculer maintenant :
1.
a 0n
a1n
a 0n −1 a1n−1
On introduit la fonction f : ℝ → ℝ définie par : f (x ) = ⋮
⋮
a0
a1
1
1
⋯ ann−1 x n
⋯ ann−−11 x n−1
⋮
⋮ .
⋯ an −1
x
⋯ 1
1
1.a
Justifier que f est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n .
Exprimer le coefficient λ de x n dans f (x ) à l’aide de l’un des termes de la suite (Vn )n∈ℕ .
1.b
Justifier que a 0 ,a1 ,...,an−1 sont racines de f .
1.c
En déduire que ∀x ∈ ℝ , f (x ) = λ∏ (x −ak ) .
n −1
k =0
1.d
∗
Conclure : ∀n ∈ ℕ ,Vn =
∏
(ai −a j ) .
0≤i <j ≤n
2.
On considère n + 1 nombres réels deux à deux distincts : a 0 ,a1 ,...,an et on considère la famille de
polynômes : C = (Pk )0≤k ≤n où Pk = (X + ak )n .
2.a
Former la matrice représentative de la famille C relative à la base B .
2.b
Etablir que C est une base de ℝ n [X ] .
Partie II
On désigne par n un entier naturel non nul.
1.
Pour tout h ∈ ℝ , on définit une application Th en posant pour tout P ∈ ℝ n [X ] : Th (P ) = P (X + h ) .
1.a
Justifier que Th est un endomorphisme de ℝ n [X ] .
1.b
Quel en est le déterminant ?
On désire déterminer l’ensemble E formée des endomorphismes ϕ de ℝ n [X ] satisfaisant la propriété :
∀h ∈ ℝ, ϕ Th = Th ϕ .
2.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau algèbre de L( ℝ n [X ]) .
3.
On note D l’endomorphisme de dérivation dans ℝ n [X ] i.e. l’application D : ℝ n [X ] → ℝ n [X ] définie
par D : P ֏ P ′ .
3.a
Etablir que D ∈ E .
3.b
Justifier que ∀k ∈ {0,1,..., n } , D k ∈ E .
3.c
Etablir que la famille (D k )0≤k ≤n est libre.
4.
Soit θ : E → ℝ n [X ] définie par θ (ϕ ) = ϕ (X n ) .
4.a
4.b
4.c
5.
Montrer que θ est une application linéaire.
Etablir que θ est injective.
Déterminer la dimension de E .
Donner une base de E .