Onde électromagnétique Exercice 1 Polarisation des ondes électromagnétiques

PC⋆ , Fabert (Metz)
Électromagnétisme , TD n°3
2012 – 2013
Onde électromagnétique
Exercice 1 Polarisation des ondes électromagnétiques
1. Décrire l’état de polarisation des ondes suivantes :
π
~ = E0 cos(ω t + k z) ~ux + E0 cos ω t + k z +
(a) E
~uy
3
π
π
~
~ux + E0 cos ω t − k z −
~uy
(b) E = E0 cos ω t − k z −
8
8
2. Donner l’expression d’une onde électromagnétique plane progressive harmonique se propageant
dans le sens des x négatifs, à polarisation circulaire droite.
Exercice 2 Onde électromagnétique
On donne la représentation complexe du champ électrique d’une onde électromagnétique dans le
vide, en coordonnées cartésiennes :
0
E cos π y exp(j (ω t − k z))
0
~ = 0
a
E
πy
α E0 sin
exp(j (ω t − k0 z))
a
où α est complexe et k0 positif.
1. Déterminer α et k0 en fonction de E0 , ω, a et c.
~ associé à cette onde.
2. Déterminer le champ magnétique B
3. Cette onde est-elle plane ? progressive ? harmonique ? transverse électrique ? transverse magnétique ?
4. Calculer le vecteur de Poynting et sa valeur moyenne dans le temps.
Exercice 3 Réflexion d’une OPPMPC
Une OPPM polarisée circulairement droite se propageant dans le vide suivant le vecteur d’onde
~k = k ~ux tombe en x = 0 sur un plan métallique parfaitement conducteur.
On admet que le champ électrique est nul en x = 0.
On choisit l’origine de temps de telle sorte que Ei,z (0,0) = 0 et Ei,y (0,0) = E0 > 0.
~ i (x,t) de l’onde incidente en fonction de x, ω, t, k
1. Écrire les composantes du champ électrique E
et E0 .
En déduire les expressions du champ magnétique et du vecteur de Poyting de l’onde incidente.
2. Quel est le vecteur d’onde de l’onde réfléchie ?
~ r (x,t) de l’onde réfléchie en fonction de x, ω,
Déterminer les composantes du champ électrique E
t, k et E0 .
Quelle est sa polarisation ?
En déduire les expressions du champ magnétique et du vecteur de Poynting de l’onde réfléchie.
Même question pour l’onde résultante (superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie).
3. Déterminer les densités surfaciques de charges et de courant à la surface du conducteur parfait.
© Matthieu Rigaut
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Exercice 4 Réflexion sur un métal réel
Une onde électromagnétique, plane, progressive, monochromatique, arrive sous incidence normale
sur un milieu conducteur, de conductivité γ, occupant le demi espace z > 0. Le vecteur d’onde de
~i = E
~ 0 e j (ω t−k0 z) .
l’onde incidente est ~k0 = k0 ~uz , son champ électrique s’écrit, en notation complexe : E
1. Établir la relation de dispersion dans le métal en faisant les approximations qui s’imposent.
2. L’onde incidente donne naissance à une onde réfléchie et à une onde transmise.
Déterminer les coefficients de réflexion r et de transmission t pour l’amplitude du champ électrique.
3. Déterminer le pouvoir réflecteur du milieu métallique défini comme le rapport de l’énergie
réfléchie et de l’énergie incidente en z = 0.
4. Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre d’axe Oz, de surface
de base S, s’étendant du plan z = 0 jusqu’à l’infini.
Comparer à la puissance transmise par l’onde incidente en z = 0. Conclusion.
Exercice 5 Dispersion dans le plasma interstellaire
Le plasma interstellaire est constitué d’électrons de masse m, de charge −e, de nombre volumique
n, en mouvement non relativiste de vitesse v, et d’ions supposés fixes. Il est localement neutre
et le reste au passage d’ondes électromagnétiques. Avec ces hypothèses, on cherche des solutions
des équations de Maxwell sous la forme d’ondes planes progressives monochromatiques (appelées
OPPM dans la suite) de vecteur d’onde ~k, de pulsation ω :
~ (~r,t) = E
~ 0 e i (~k·~r−ω t)
E
et
~ (~r,t) = B
~ 0 e i (~k·~r−ω t)
B
1. (a) Montrer que de telles solutions n’existent que si la densité de courant ~ des électrons est
elle-même une OPPM de même vecteur d’onde et de même pulsation, c’est-à-dire de la
forme :
~
~(~r,t) = ~0 e i (k·~r−ω t)
(b) Montrer que ~ est orthogonal à ~k.
2. Écrire l’équation du mouvement de l’électron et montrer que l’effet du champ magnétique y est
négligeable.
~ son colinéaires et déterminer la conductivité σ du plasma.
Montrer que les vecteur ~ et E
Commenter.
~ 0 et B
~ 0.
3. À l’aide des équations de Maxwell, exprimer ~0 en fonction de ω, ~k, E
En déduire une nouvelle expression de σ.
4. En déduire la relation de dispersion ω (k).
r
µ0 n e2
En posant K =
, établir les expressions des vitesses de phase et de groupe des ondes
m
électromagnétiques dans le plasma.
Quelle relation vérifient-t-elles ?
5. Deux trains d’ondes de longueur d’onde respectives λ1 et λ2 > λ1 sont émis au même instant
par un objet stellaire situé à une distance L.
En supposant K2 λ1 2 ≪ 1 et K2 λ2 2 ≪ 1, montrer que le terme principal dans la différence
δt = t2 − t1 des temps de réception des deux signaux est donné par :
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L K2
(λ2 2 − λ1 2 )
2
8π c
A.N. : des mesures de dispersion à partir de de signaux émis par le pulsar du Crabe conduisent
à une limite supérieure égale à 2,8.104 m−3 pour le nombre volumique n des électrons du plasma
interstellaire.
Quelle serait dans ces conditions la limite δt pour λ1 = 0,4 µm et λ2 = 0,8 µm de signaux émis
par une étoile située à L = 103 année lumière.
δt =
Exercice 6 Pression de radiation
1. Soit une onde plane, monochromatique, de fréquence ν, de propageant dans la direction et le
~ = E0 cos(ω t − k x) ~uy . On rappelle que l’éclairement
sens de ~ux , dont le champ électrique est E
E est la puissance moyenne qui traverse une surface d’aire unité perpendiculaire à la direction
de propagation.
Exprimer E en fonction de ε0 , c et E0 .
2. On considère cette onde comme un faisceau de photons se propageant dans la direction et le
sens de ~ux . L’énergie d’un photon associé à cette onde est h ν et sa quantité de mouvement est
hν
~ux .
c
(a) Exprimer le nombre N0 de photons traversant par unité de temps l’unité de surface perpendiculaire à Ox en fonction de E et de ν.
(b) L’onde arrive sur une surface plane perpendiculaire à Ox d’aire S, parfaitement réfléchissante. On étudie le rebond des photons sur cette surface.
Quelle est la quantité de mouvement reçue par la paroi au cours d’un choc photon – paroi ?
Quelle est la force subie par la paroi en fonction de E , S et c ?
Exprimer la pression p subie par la paroi en fonction de E et c puis en fonction de ε0 et
E0 .
(c) Reprendre la question ci-dessus lorsque la paroi est parfaitement absorbante.
(d) Calculer E , E0 et p sur une paroi totalement absorbante pour un laser ayant un diamètre
d = 5 mm et une puissance moyenne de 100 W (laser utilisé industriellement pour la
découpe de feuilles.)
3. (a) L’onde est maintenant absorbée par une sphère de rayon a, bien inférieure au rayon du
faisceau.
Quelle est, en fonction de E , a et c la force F~ subie par la sphère ?
(b) Le Soleil donne au voisinage de la Terre (juste au dessus de l’atmosphère terrestre) l’éclairement E = 1,4.103 W.m−2 . L’émission est isotrope, la distance Terre – Soleil est égale
à D = 150.106 km et sur une surface de dimension petites devant D, l’onde arrivant du
Soleil est quasi plane.
Quelle est la puissance P0 émise par le Soleil ?
Un objet sphérique, de rayon a, de masse volumique µ, est, dans le vide interplanétaire, à
la distance r du Soleil et absorbe totalement le rayonnement solaire.
Évaluer le rapport entre la force due à l’absorption du rayonnement solaire et la force
gravitationnelle exercée par le Soleil sur cet objet dans les deux cas suivants :
➜ cas d’une météorite : µ = 3,0.103 kg.m−3 et a = 1 m
➜ cas d’une poussière interstellaire : µ = 1,0.103 kg.m−3 et a = 0,1 µm
Commenter.
On donne la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10−11 N.m2 .kg−2 et la masse
du Soleil : MS = 2.1030 kg.
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Exercice 7 Onde cylindrique
On étudie une onde électromagnétique cylindrique, émise par des sources situées le long d’un axe
~ (M,t) = E (r) e i (ω t−k r) ~uz où
Oz. En coordonnées cylindriques d’axe Oz, le champ électrique s’écrit E
E (r) est réel dans la zone de champ lointain où k r ≫ 1. L’onde se propage dans le vide.
1. Déterminer le champ magnétique associé à ce champ électrique.
Commenter son expression.
D E
~ du vecteur de Poynting ?
2. Quelle est la valeur moyenne Π
En déduire la puissance moyenne rayonnée à traver un cylindre d’axe Oz de hauteur h = 1 m
1
et de rayon r ≫ .
k
3. En déduire l’expression de E (r) en fonction de r, P, k, ω et µ0 .
!2
1
4. En déduire la relation de dispersion reliant k et ω en négligeant les termes en
.
kr
On rappelle l’expression du laplacien d’un champ scalaire de la forme U (r,t) en coordonnées
cylindriques :
1 ∂
△U =
r ∂r
∂U
r
∂r
!
~ et B
~ et décrire la structure de l’onde.
5. Donner les champs E
Exercice 8 Rayonnement d’une antenne demi-onde
Une antenne filiforme, colinéaire à l’axe Oz, de longueur !
ℓ, centrée à l’origine, est le siège d’un
2πc
2πz
courant électrique sinusoïdal d’intensité I (z,t) = I0 cos
e j ω t avec λ =
.
λ
ω
λ
On suppose que ℓ = (antenne demi-onde).
2
On admet que cette antenne se comporte comme un ensemble de dipôles électriques oscillants
1
de moment d~p =
I (z,t) dz ~uz , i.e. qu’un élément de longueur dz est assimilable à un dipôle de
jω
dq
moment d~p = q dz ~uz avec i(z,t) = .
dt
1. Un point M est repéré par ses coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) d’origine O, d’axe Oz. Soient
(r ′ ,θ′ ,ϕ′ ) les coordonnées sphériques de M dans un système d’origine S, point de Oz, et toujours
d’axe Oz. On se place dans la zone de rayonnement, r ≫ λ.
sin θ′
sin θ
=
.
Montrer que l’on a approximativement r ′ = r − z cos θ et
r
r′
En déduire, en utilisant la formule du champ de rayonnement d’un dipôle oscillant, l’expression
~ créé par l’élément de longueur dz de l’antenne.
du champ magnétique dB
Montrer alors que le champ magnétique total rayonné en M par l’antenne est :
π
cos θ
cos
µ 0 I0
2
~
B (M,t) = j
2πr
sin θ
e j ω (t−r/c) ~uϕ
2. On admet que localement le champ électromagnétique rayonné par l’antenne a la structure
d’une onde plane progressive de direction de propagation ~ur .
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Calculer alors le vecteur de Poynting en M et sa valeur moyenne dans le temps.
Dans quelle direction rayonne-t-elle le plus d’énergie ?
Calculer la puissance
P rayonnée par l’antenne à travers une sphère de rayon r.
moyenne
π
Z π cos2
cos θ
2
dθ = 1,22.
On donne
sin θ
0
En déduire la résistance de rayonnement R de l’antenne définie par P = R Ieff 2 .
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