Familles de vecteurs - cours

PCSI1
COURS - Familles finies de vecteurs d’un espace vectoriel
2016-2017
Remarque : sauf précision contraire, 𝐸 désigne un espace vectoriel sur le corps 𝕂 (𝕂 = ℝ ou ℂ).
I. Familles liées/libres dans un espace vectoriel
Rappels : si ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸, on note
𝐴 = Vect(ℱ) = Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = {𝑎1⃗𝑣1 + 𝑎2⃗𝑣2 + . . . + 𝑎𝑛⃗𝑣𝑛 ∣ (𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 ) ∈ 𝕂𝑛 }
l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de la famille ℱ : 𝐴 est l’ensemble des
vecteurs que l’on peut écrire 𝑎1⃗𝑣1 + 𝑎2⃗𝑣2 + . . . + 𝑎𝑛⃗𝑣𝑛 , où 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 désignent des scalaires (dans
𝕂). On a prouvé que 𝐴 est un sous-espace vectoriel de l’espace 𝐸 (par conséquent, 𝐴 est donc
lui-même un 𝕂-ev) : c’est même le plus petit sev de 𝐸 qui contient la famille ℱ.
De façon claire, on a toujours l’inclusion : Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛−1 ) ⊂ Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛−1 , ⃗𝑣𝑛 ).
Mais, de plus, si le vecteur ⃗𝑣𝑛 est une combinaison linéaire des autres vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛−1 (i.e)
s’il existe des scalaires 𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛−1 dans 𝕂 tels que ⃗𝑣𝑛 = 𝛼1⃗𝑣1 + 𝛼2⃗𝑣2 + . . . + 𝛼𝑛−1⃗𝑣𝑛−1 , alors on a
l’égalité : Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛−1 , ⃗𝑣𝑛 ) = Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛−1 ).
En résumé : si ⃗𝑣 ∈ Vect(ℱ), alors Vect(ℱ, ⃗𝑣 ) = Vect(ℱ).
Il y a même équivalence, car ⃗𝑣 ∈ Vect(ℱ, ⃗𝑣 ) : donc
(⃗𝑣 ∈ Vect(ℱ)) ⇔ (Vect(ℱ, ⃗𝑣 ) = Vect(ℱ)) .
ou encore
(⃗𝑣 ∈ Vect(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 )) ⇔ (Vect(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , ⃗𝑣 ) = Vect(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 )) .
Rappels : si ⃗𝑐 est une combinaison linéaire de (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ),
∙ Vect (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , ⃗𝑎) = Vect (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , ⃗𝑎 − ⃗𝑐).
(
)
∙ Vect (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , ⃗𝑐) = Vect ⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , ⃗0 = Vect (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ).
∙ par convention, on a posé : Vect(∅) = {⃗0}.
1˚) Familles liées de vecteurs de 𝐸 (dépendance linéaire)
Définition :
une famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) de 𝑛 vecteurs (𝑛 ⩾ 2) de l’espace 𝐸 est dite liée si au moins un des
vecteurs de cette famille peut s’écrire comme une combinaison linéaire des 𝑛 − 1 autres vecteurs.
Convention : une famille ℱ = (⃗𝑣1 ) de UN vecteur de 𝐸 est liée si et seulement si ⃗𝑣1 est le vecteur
nul (i.e) ssi ⃗𝑣1 = ⃗0𝐸 .
Quelques exemples :
– Toute famille ℱ contenant le vecteur nul ⃗0 = ⃗0𝐸 est nécessairement liée. En effet, si on a
ℱ = (⃗0, ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ), alors on peut écrire ⃗0 = 0.⃗𝑣1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 0.⃗𝑣𝑛 ! Le cas ℱ = (⃗0) est trivial.
– Toute famille ℱ contenant deux vecteurs colinéaires (voire égaux) est nécessairement liée. En
effet, si ℱ = (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ), où ⃗𝑏 = 𝜆.⃗𝑎, alors on peut écrire ⃗𝑏 = 𝜆.⃗𝑎 + 0.⃗𝑣1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 0.⃗𝑣𝑛 .
ATTENTION : la réciproque est fausse en général. Autrement dit : une famille dont les vecteurs
ne sont pas deux à deux colinéaires peut être liée. Par exemple, dans 𝐸 = ℝ3 , en posant
ℱ = (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) avec ⃗𝑎 = (1, 2, 3), ⃗𝑏 = (4, 5, 6), ⃗𝑐 = (7, 8, 9), la famille ℱ est liée car ⃗𝑏 = 12 ⃗𝑎 + 21 ⃗𝑐
MAIS pourtant, les vecteurs de ℱ ne sont pas deux à deux colinéaires .
– Dans le ℝ-espace vectoriel 𝐸 = 𝒜(ℝ, ℝ) des applications définies sur ℝ et à valeurs dans ℝ, on
définit les fonctions 𝑓 = cos2 , 𝑔 = sin2 , ℎ = 1̃ (fonction constante égale à 1).
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La famille ℱ = (𝑓, 𝑔, ℎ) est liée car ℎ = 𝑓 + 𝑔.
1
1
Autre exemple : la famille ℱ ′ = (exp, exp
, ch, sh) est liée car sh = 12 . exp − 12 . exp
+ 0.ch.
1
1
1
Ainsi, 𝐴 = Vect(exp, exp , ch, sh) = Vect(exp, exp , ch). Mais on a aussi (exp, exp
, ch) liée car
(
)
(
)
1
1
1
. Donc 𝐴 = Vect exp,
, ch, sh = Vect exp,
.
ch = 12 . exp + 12 . exp
exp
exp
1
En remarquant que exp = ch + sh et exp
= ch − sh, on aurait pu également prouver que
1
𝐴 = Vect (ch, sh) = Vect(exp, exp ).
Les questions sont : est-ce qu’on peut continuer à diminuer le nombre de vecteurs dans la famille
qui engendre un sous-espace vectoriel, comment déterminer les vecteurs que l’on peut "effacer",
la manière de procéder est-elle unique, obtient-on toujours "à la fin" la même famille ? le même
nombre de vecteurs ?
2˚) Familles libres de vecteurs de 𝐸 (indépendance linéaire)
Définition :
une famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 de 𝑛 vecteurs (𝑛 ⩾ 1) de l’espace 𝐸 est dite libre si elle
n’est pas liée. Ceci signifie donc qu’aucun des vecteurs de la famille ℱ ne peut s’écrire comme une
combinaison linéaires des (𝑛 − 1) AUTRES vecteurs de ℱ.
Vocabulaire : dire que la famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est libre revient à dire que les vecteurs
⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 sont linéairement indépendants.
Remarque : une famille ℱ = (⃗𝑣1 ) de UN vecteur est libre ssi ⃗𝑣1 ∕= ⃗0.
La définition de la liberté d’une famille n’est pas très exploitable sous cette forme (vérifier que
chacun des vecteurs ne peut pas s’écrire comme combinaison des autres ? ? ? pas pratique !).
On possède une caractérisation plus simple à exprimer :
Caractérisation de la liberté d’une famille :
on a l’équivalence entre les deux propositions suivantes
(1) la famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est libre
(2) la seule manière d’obtenir le vecteur nul ⃗0 avec une combinaison linéaire des vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛
est la combinaison triviale 0⃗𝑣1 + . . . + 0⃗𝑣𝑛 (i.e) la combinaison obtenue en prenant TOUS les
coefficients scalaires égaux à 0. Ceci peut encore s’écrire :
« avec (𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) ∈ 𝕂𝑛 : SI 𝜆1⃗𝑣1 + . . . + 𝜆𝑛⃗𝑣𝑛 = ⃗0, ALORS 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑛 = 0 » .
Preuve :
(⇒) Si ℱ est libre : supposons que, pour des scalaires 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ∈ 𝕂, on ait 𝜆1⃗𝑣1 + . . . + 𝜆𝑛⃗𝑣𝑛 = ⃗0.
Montrons que, nécessairement, 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑛 = 0. Raisonnons par l’absurde : supposons qu’un
de ces coefficients soit non nul : quitte à changer l’ordre et à renuméroter, on peut, par souci
de simplification d’écriture, supposer qu’il s’agit de 𝜆𝑛 ∕= 0. De l’égalité précédente, et grâce
à 𝜆𝑛 ∕= 0, on peut en tirer ⃗𝑣𝑛 = − 𝜆𝜆𝑛1 ⃗𝑣1 − 𝜆𝜆𝑛2 ⃗𝑣2 − . . . − 𝜆𝜆𝑛−1
⃗𝑣𝑛−1 , ce qui signifie que la famille
𝑛
(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est liée, ce qui est absurde (puisqu’on a supposé ℱ est libre). CQFD.
(⇐) Supposons que la seule combinaison nulle des (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) soit la combinaison triviale.
Par l’absurde : si ℱ était liée, alors au moins un des vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 peut s’écrire comme
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une combinaison linéaire des (𝑛 − 1) autres. Donc, il existe 𝑖0 ∈ {1, . . . , 𝑛} tel que ⃗𝑣𝑖0 soit une
combinaison linéaire des (𝑛 − 1) autres, ce qui signifie qu’il existe (𝑛 − 1) scalaires 𝛼𝑖 dans 𝕂
𝑛
𝑛
∑
∑
tels que : ⃗𝑣𝑖0 =
𝛼𝑖 .⃗𝑣𝑖 , d’où l’écriture 1.⃗𝑣𝑖0 −
𝛼𝑖 .⃗𝑣𝑖 = ⃗0, d’où l’absurdité, car c’est
𝑖=1,𝑖∕=𝑖0
𝑖=1,𝑖∕=𝑖0
une combinaison non triviale (le coefficient de ⃗𝑣𝑖0 est 1 ∕= 0) des vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 qui est
égale à ⃗0 (ça contredit l’hypothèse). Donc ℱ est libre.
Remarque : les preuves précédentes nécessitent d’avoir 𝑛 ⩾ 2, mais le résultat est évident
lorsque 𝑛 = 1 car :
( ℱ = (⃗𝑣1 ) est libre ) ⇔ ( ⃗𝑣1 ∕= ⃗0) ⇔ ( SI 𝜆.⃗𝑣1 = ⃗0 ALORS 𝜆 = 0 ).
Méthode pour prouver qu’une famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est libre ou liée : on commence
par supposer qu’on a l’écriture 𝜆1⃗𝑣1 + . . . + 𝜆𝑛⃗𝑣𝑛 = ⃗0 avec (𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 ) ∈ 𝕂𝑛 . Si, après examen,
ceci entraine que, NECESSAIREMENT, 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑛 = 0, alors ℱ est libre. Si, au contraire, on
trouve une solution autre que celle-ci, plus précisément si on arrive à exhiber des scalaires 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛
NON TOUS NULS (i.e au moins un des 𝜆𝑖 non nul) et vérifiant l’égalité initiale, alors on peut en
déduire que ℱ est une famille liée.
Exemples :
1. Soit ℱ = (⃗𝑢, ⃗𝑣 ), une famille de deux vecteurs de 𝐸 : (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) est liée ssi un des deux vecteurs est
une combinaison linéaire de l’autre, autrement dit ssi ⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont colinéaires. D’où :
(ℱ = (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) est liée)⇔ (⃗𝑢 et ⃗𝑣 sont colinéaires)
(ℱ = (⃗𝑢, ⃗𝑣 ) est libre )⇔ (⃗𝑢 et ⃗𝑣 ne sont pas colinéaires)
Attention : ce résultat ne se généralise pas à plus de deux vecteurs. On a déjà vu l’exemple d’une
famille de trois vecteurs de ℝ3 qui sont non-colinéaires deux à deux, mais qui est néanmoins
est liée (l’exemple était pris avec trois vecteurs coplanaires dans ℝ3 ).
2. La famille (sin, cos) est libre dans l’espace 𝒜(ℝ, ℝ). En effet, si on a 𝜆1 sin +𝜆2 cos = 0̃ : ceci
signifie que, pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ, on a 𝜆1 sin(𝑥) + 𝜆2 cos(𝑥) = 0.
En prenant successivement 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝜋2 , on en tire les égalités (𝜆1 × 0) + (𝜆2 × 1) = 0 et
(𝜆1 × 1) + (𝜆2 × 0) = 0, ce qui entraîne 𝜆2 = 0 et 𝜆1 = 0 ! D’où le résultat.
3. Dans l’espace 𝐸 = ℝ2 , prenons la famille ℱ = (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) où ⃗𝑎 = (1, 2), ⃗𝑏 = (3, 4), ⃗𝑐 = (5, 6). Supposons 𝜆1⃗𝑎 +𝜆2⃗𝑏+𝜆3⃗𝑐 = ⃗0 = (0, 0), (i.e) (𝜆1 +3𝜆2 +5𝜆3 , 2𝜆1 +4𝜆2 +6𝜆3 ) = (0, 0), d’où le système
{
𝜆1 + 3𝜆2 + 5𝜆3 = 0
. Par la méthode du pivot de Gauss (𝐿2 ← 𝐿2 − 2𝐿1 ), ce sys2𝜆1 + 4𝜆2 + 6𝜆3 = 0
{
𝜆1 + 3𝜆2 + 5𝜆3 = 0
tème est équivalent à :
: c’est un système linéaire homogène (car
− 2𝜆2 − 4𝜆3 = 0
𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 0 est une solution évidente), qui, sous cette forme, est un système échelonné,
clairement de rang 𝑟 = 2, mais à 𝑛 = 3 inconnues, donc qui possède 𝑛 − 𝑟 = 3 − 2 = 1 paramètre libre (ici 𝜆3 par exemple),
donc possède une infinité de solutions, obtenues par exemple
{
𝜆1 = 𝜆3
à l’aide du paramétrage
. Par conséquent, puisque ce système est équivalent
𝜆2 = −2𝜆3
à l’écriture 𝜆1⃗𝑎 + 𝜆2⃗𝑏 + 𝜆3⃗𝑐 = ⃗0 = (0, 0), on peut en déduire qu’il y a d’autres solutions que la
solution triviale : par exemple, en prenant 𝜆3 = 1, on obtient la combinaison ⃗𝑎 − 2⃗𝑏 + ⃗𝑐 = ⃗0, ce
qui prouve que la famille ℱ = (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) est liée.
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On peut généraliser et affirmer que, dans ℝ2 , toute famille de trois vecteurs est nécessairement
liée ! En effet, l’écriture de la combinaison nulle avec ces trois vecteurs aboutit à un système
linéaire et homogène de 2 équations linéaires, à 3 inconnues 𝜆1 , 𝜆2 , 𝜆3 , la matrice 𝑀 du système
étant alors élément de ℳ2,3 (ℝ). Le rang 𝑟 de cette matrice est au plus 2 (car elle possède 2
lignes) : de plus, il y a au moins une solution puisque le système est homogène, puis une infinité
car il y a 3 − 𝑟 ⩾ 1 paramètre(s) libre(s) !
MIEUX : ceci peut se généraliser à des espaces du type 𝕂𝑛 ! Plus précisément :
« Dans 𝕂𝑛 , toute famille contenant (𝑛 + 1) vecteurs est nécessairement liée ».
Preuve : l’écriture de la combinaison nulle de ces (𝑛+1) vecteurs est équivalente à la résolution
d’un système linéaire homogène de 𝑛 équations (obtenues par les 𝑛 composantes des vecteurs
de 𝐸 = 𝕂𝑛 ), à (𝑛 + 1) inconnues (𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛+1 , éléments de 𝕂). Le rang 𝑟 d’un tel système
est au plus 𝑛, mais, possèdant 𝑛 + 1 inconnues et une solution évidente, il a une infinité de
solutions paramétrées à l’aide de 𝑛 + 1 − 𝑟 ⩾ 1 paramètre(s) libre(s) La famille est donc liée,
car il existe une autre solution que 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑛+1 = 0.
ENCORE MIEUX : puisqu’une surfamille d’une famille liée est liée (voir ci-dessous), on a
« dans 𝕂𝑛 , toute famille contenant au moins (𝑛 + 1) vecteurs est nécessairement liée » .
ATTENTION : il n’y a pas de réciproque ! Une famille liée dans 𝕂𝑛 peut éventuellement contenir
MOINS de 𝑛+1 vecteurs. Par exemple, dans ℝ3 , avec ⃗𝑎 = (1, 0, −1), ⃗𝑏 = (2, 0, −2), ⃗𝑐 = (1, 2, 3),
les familles (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐) et (⃗𝑎, ⃗𝑏) sont liées car ⃗𝑎 et ⃗𝑏 sont colinéaires. Mais la famille (⃗𝑎, ⃗𝑐) est libre
⃗ de QUATRE
car ⃗𝑎 et ⃗𝑐 ne sont pas colinéaires. Par contre, il est certain qu’une famille (⃗𝑎, ⃗𝑏, ⃗𝑐, 𝑑)
3
vecteurs quelconques de ℝ est nécessairement liée !
TOUJOURS MIEUX : pour vérifier si une famille de 𝑝 vecteurs (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) de 𝕂𝑛 est libre ou
liée, on écrit le système correspondant à 𝜆1⃗𝑣1 +⋅ ⋅ ⋅+𝜆𝑝⃗𝑣𝑝 = ⃗0, c’est un système de 𝑛 équations à
𝑝 inconnues, de matrice 𝑀 ∈ ℳ𝑛,𝑝 (𝕂). Le système étant homogène, il a une solution évidente
(la triviale 𝜆1 = ⋅ ⋅ ⋅ = 𝜆𝑝 = 0) : par conséquent, t il a une solution unique SSI il n’y a pas de
paramètre libre SSI son rang 𝑟 est égal à 𝑝 (car l’ensemble des solutions d’un tel système se
paramètre à l’aide de 𝑝 − 𝑟 paramètres libres, voir cours sur les matrices du début d’année).
Donc, avec la matrice 𝑀 = Mat𝒞 (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) dont les colonnes sont ces 𝑝 vecteurs de 𝕂𝑛 ,
une famille de 𝑝 vecteurs de 𝕂𝑛 est libre SSI le rang de la matrice 𝑀 est 𝑝
4. Dans le 𝕂-espace vectoriel 𝕂[𝑋] des polynômes à coefficients dans 𝕂, toute famille finie de 𝑛
polynômes non nuls de degrés strictement distincts deux à deux est nécessairement libre.
Preuve : on peut renuméroter cette famille de 𝑛 polynômes non nuls par degrés croissants, (i.e)
ℱ = (𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 ) où 0 ⩽ deg(𝑃1 ) < deg(𝑃2 ) < ⋅ ⋅ ⋅ < deg(𝑃𝑛 ).
Ecrite comme ceci, on dit que la famille ℱ est une famille de polynômes de degrés échelonnés
(on dit aussi famille étagée en degrés).
𝑛
∑
Supposons que
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = 0̃, où (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝕂𝑛 . On veut prouver que tous les 𝛼𝑖 sont néces𝑖=1
sairement tous nuls (ce qui entrainera bien que ℱ est une famille libre).
Raisonnons par l’absurde : supposons qu’au moins un des 𝛼𝑖 soit non nul, et considérons alors le
plus grand indice 𝑖0 tel que 𝛼𝑖0 ∕= 0 (i.e 𝑖0 = max{𝑖∣𝛼𝑖 ∕= 0}). On aurait alors (𝑖 > 𝑖0 ) ⇒ (𝛼𝑖 = 0),
𝑖0
𝑛
∑
∑
et l’égalité
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = 0̃ peut se ré-écrire
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = 0̃ (i.e) 𝛼1 𝑃1 + . . . 𝛼𝑖0 𝑃𝑖0 = 0̃.
𝑖=1
𝑖=1
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( 𝑖
0
∑
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)
Mais, les degrés étant échelonnés, et 𝛼𝑖0 ∕= 0, on a deg
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = deg(𝑃𝑖0 ) ⩾ 0, ce qui est
𝑖=1
( 𝑖
)
𝑖0
0
∑
∑
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = 0̃ donc deg
𝛼𝑖 𝑃𝑖 = deg(0̃) = −∞ ! CQFD !
absurde car
𝑖=1
𝑖=1
A connaître : dans 𝕂[𝑋],
(deg(𝑃1 ) < deg(𝑃2 ) < ⋅ ⋅ ⋅ < deg(𝑃𝑛 )) ⇒ (𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 ) est une famille libre .
Applications :
– Dans 𝕂[𝑋], pour tout 𝑛 ⩾ 0, la famille ℱ = (1, 𝑋, 𝑋 2 , . . . , 𝑋 𝑛 ) = (𝑋 𝑖 )0⩽𝑖⩽𝑛 est une famille
libre (car de degrés échelonnés)
– Dans 𝕂[𝑋], la famille ℱ = (𝑋 + 1, 𝑋 3 − 5, 𝑋 4 − 𝑋 + 1, −5𝑋 10 + 8𝑋 + 8) est libre (car de
degrés échelonnés : 1 < 3 < 4 < 10).
– Attention : il n’y a pas de réciproque, (i.e) il existe des familles libres dans 𝕂[𝑋] qui ne soient
pas constituées de polynômes de dégrés tous distincts deux à deux. Par exemple, dans ℝ[𝑋],
la famille ℱ = (𝑋 + 1, 𝑋 − 1) est libre car, si 𝛼1 (𝑋 + 1) + 𝛼2 (𝑋 − 1) = 0̃, alors pour tout réel
𝑥, on a 𝛼1 (𝑥 + 1) + 𝛼2 (𝑥 − 1) = 0. En prenant successivement 𝑥 = 1 puis 𝑥 = −1 dans cette
égalité de fonctions, on en tire : 2𝛼1 + 0𝛼2 = 0 et 0𝛼1 − 2𝛼2 = 0, puis 𝛼1 = 𝛼2 = 0. D’où la
liberté de la famille ℱ = (𝑋 + 1, 𝑋 − 1) (pourtant constituée de deux polynômes de même
degré !). De même, on peut prouver que la famille ((𝑋 − 1)2 , (𝑋 − 1)(𝑋 − 2), (𝑋 − 2)2 ) de
trois polynômes de même degré (deux) est libre !
– Dans ℝℝ , la famille de fonctions ℱ = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , . . . , 𝑓𝑛 ) est libre, où les 𝛼𝑖 sont des réels deux
à deux distincts (par exemple 𝛼0 < 𝛼1 < ⋅ ⋅ ⋅ < 𝛼𝑛 ) et, pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑓𝑖 (𝑥) = 𝑒𝛼𝑖 𝑥 .
Proposition :
1. Toute sous-famille d’une famille libre de vecteurs de 𝐸 est encore une famille libre .
2. Toute sur -famille d’une famille liée de vecteurs de 𝐸 est encore une famille liée .
Il faut comprendre : si ℱ est une famille libre, alors la famille ℱ ′ obtenue en enlevant un ou plusieurs
vecteurs de ℱ est encore une famille libre (ℱ ′ ⊂ ℱ).
De même : si ℱ est une famille liée, alors la famille ℱ ′′ obtenue en ajoutant à ℱ un ou plusieurs
vecteurs de 𝐸 reste une famille liée (ℱ ⊂ ℱ ′′ ).
Preuve :
1. Si ℱ = (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est une famille libre, et ℱ ′ , une sous-famille de ℱ. Quitte à changer l’ordre
et à renuméroter, on peut supposer que ℱ ′ s’écrit ℱ ′ = (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) avec 𝑝 ⩽ 𝑛. Prouvons que
(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) est libre. Pour cela : si on suppose que 𝜆1⃗𝑣1 + . . . + 𝜆𝑝⃗𝑣𝑝 = ⃗0, alors on peut écrire
𝜆1⃗𝑣1 + . . . + 𝜆𝑝⃗𝑣𝑝 + 0⃗𝑣𝑝+1 + 0.⃗𝑣𝑝+2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 0⃗𝑣𝑛 = ⃗0. Mais la famille (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) étant supposée
libre, on en tire automatiquement 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑝 = 0 = 0 = . . . = 0 = 0, d’où, a fortiori,
𝜆1 = . . . = 𝜆𝑝 = 0, ce qui permet d’affirmer que la famille ℱ ′ = (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) est libre. CQFD !
Remarque : la preuve précédente nécessite de supposer 𝑛 ⩾ 1. Le résultat reste néamoins valable à condition de prendre la convention suivante :
«une famille de 0 vecteur (i.e l’ensemble vide...) est une famille libre» .
On remarquera que c’est cohérent, car elle ne peut pas être liée (en effet, comment y trouver
UN vecteur, dans cet ensemble, qui soit une combinaison des autres ?).
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2. Si ℱ ′′ est une sur-famille de ℱ, alors ℱ est une sous-famille de ℱ ′′ . Si, en plus, on suppose que
ℱ est une famille liée, alors il est imposssible que ℱ ′′ soit libre, car sinon, d’après le résultat
prouvé juste ci-dessus, on devrait avoir ℱ libre ! Donc ℱ ′′ est nécessairement liée. CQFD !
Conséquence :
« Toute famille de vecteurs de 𝕂𝑛 qui contient AU MOINS (𝑛 + 1) vecteurs est nécessairement liée.»
En effet, si ℱ ′′ désigne une famille de plus de (𝑛 + 1) vecteurs de 𝕂𝑛 , alors il est possible d’en extraire
une sous-famille ℱ contenant exactement (𝑛 + 1) vecteurs de 𝕂𝑛 , qui est donc liée (résultat déjà vu).
Alors, ℱ ′′ est liée en tant que sur-famille de ℱ, famille liée.
Proposition (unicité de la décomposition sur une famille libre)
Si la famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) est libre, si 𝑤
⃗ est une combinaison linéaire de vecteurs de ℱ (i.e)
si 𝑤
⃗ ∈ Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ), alors son écriture est unique (i.e) il y a unicité des coefficients scalaires
𝑛
∑
𝛼1 , 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑛 dans l’écriture 𝑤
⃗=
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 .
𝑖=1
Remarque : la réciproque est également vraie (et évidente par définition) :
(ℱ est libre)⇔ (tout vecteur de Vect(ℱ) a une décomposition unique sur la famille ℱ) .
𝑛
𝑛
∑
∑
Preuve : supposons que 𝑤
⃗=
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 =
𝛽𝑖⃗𝑣𝑖 , avec (𝛼1 , 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑛 , 𝛽1 , 𝛽2 , . . . , 𝛽𝑛 ) ∈ 𝕂2𝑛 .
De
𝑛
∑
𝑖=1
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 −
𝑛
∑
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝛽𝑖⃗𝑣𝑖 = 𝑤
⃗ −𝑤
⃗ = ⃗0, on tire
𝑛
∑
(𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 )⃗𝑣𝑖 = ⃗0. Ceci est une combinaison nulle
𝑖=1
des vecteurs de ℱ, famille supposée libre, donc on a nécessairement : pour tout 𝑖 ∈ {1, 2, . . . , 𝑛},
𝛼𝑖 − 𝛽𝑖 = 0 (i.e) 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 , d’où l’unicité de la décomposition !
Exemples :
1. Dans 𝒜(ℝ, ℝ), la famille (cos, sin) est libre, donc si une fonction 𝑓 s’écrit 𝑓 = 𝑎 cos +𝑏 sin mais
aussi 𝑓 = 𝑐 cos +𝑑 sin, on peut en déduire que 𝑎 = 𝑐 et 𝑏 = 𝑑 (par unicité de la décomposition
sur une famille libre).
𝑛
𝑛
∑
∑
𝑖
2. Quand on dit que deux polynômes 𝑃 =
𝑎𝑖 𝑋 et 𝑄 =
𝑏𝑖 𝑋 𝑖 sont égaux si et seulement si
𝑖=0
𝑖=0
tous leurs coefficients sont deux à deux égaux (i.e pour tout 𝑖 ∈ {0, 1, . . . , 𝑛}, 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 ), c’est la
liberté de la famille (𝑋 𝑖 )0⩽𝑖⩽𝑛 qu’on utilise.
3. Plus généralement : quand on «identifie» coefficient par coefficient dans deux décompositions
égales mais de formes différentes, il faut au préalable justifier que la famille sur laquelle on
décompose est libre, sinon on n’est pas assuré que les coefficients soient nécessairement égaux.
Un exemple : dans 𝒜(ℝ, ℝ), on définit la fonction 𝑓 par 𝑓 (𝑥) = 2 cos(2𝑥) − 3 cos2 (𝑥) + 4 sin2 (𝑥)
(pour tout réel 𝑥), autrement dit 𝑓 = 2𝑢 − 3 cos2 +4 sin2 (où, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑢(𝑥) = cos(2𝑥)).
Si on donne 𝑓 = 𝑎𝑢 + 𝑏 cos2 +𝑐 sin2 (i.e) ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 (𝑥) = 𝑎 cos(2𝑥) + 𝑏 cos2 (𝑥) + 𝑐 sin2 (𝑥), a-t-on
nécessairement (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (2, −3, 4) ? Réponse : NON ! En effet, la famille (𝑢, cos2 , sin2 ) n’est
pas libre, car ∀𝑥 ∈ ℝ, cos(2𝑥) = cos2 (𝑥) − sin2 (𝑥) (i.e) 𝑢 = cos2 − sin2 . On ne peut donc pas
identifier ! Par exemple, il est facile de voir qu’on peut écrire :
∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑓 (𝑥) = 2. cos(2𝑥) − 3. cos2 (𝑥) + 4. sin2 (𝑥) = 1. cos(2𝑥) − 2. cos2 (𝑥) + 3. sin2 (𝑥).
Autre exemple : l’écriture 𝑓 = 𝑎ch + 𝑏sh + 𝑐 exp n’est pas unique car la famille (ch, sh, exp) est
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liée (ch + sh = exp !).
Proposition (familles libres et somme directe de sev)
Si
(⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑘 , ⃗𝑒𝑘+1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) est une famille libre d’un 𝕂-ev 𝐸,
alors
les sev Vect(⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑘 ) et Vect(⃗𝑒𝑘+1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) sont en somme directe.
Preuve : si ⃗𝑣 appartient à Vect(⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑘 ) ∩ Vect(⃗𝑒𝑘+1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ), alors il existe des scalaires 𝜆𝑖 tels que
𝑘
𝑛
𝑘
𝑛
∑
∑
∑
∑
⃗𝑣 =
𝜆𝑖⃗𝑒𝑖 =
𝜆𝑖⃗𝑒𝑖 , d’où
𝜆𝑖⃗𝑒𝑖 −
𝜆𝑖⃗𝑒𝑖 = ⃗0. Par liberté de la famille (⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑘 , ⃗𝑒𝑘+1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ),
𝑖=1
𝑖=𝑘+1
𝑖=1
𝑖=𝑘+1
on en déduit 𝜆1 = . . . = 𝜆𝑘 = −𝜆𝑘+1 = . . . = −𝜆𝑛 = 0, d’où ⃗𝑣 =
𝑘
∑
0⃗𝑒𝑖 = ⃗0. On a donc prouvé
𝑖=1
Vect(⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑘 ) ∩ Vect(⃗𝑒𝑘+1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) = {⃗0}, donc les deux sev sont bien en somme directe.
Exemple :
(1, 𝑋 2 , 𝑋 4 , 𝑋 6 ) et (𝑋, 𝑋 3 , 𝑋 5 ) sont deux familles libres, Vect(1, 𝑋 2 , 𝑋 4 , 𝑋 6 ) et Vect(𝑋, 𝑋 3 , 𝑋 5 ) sont
en somme directe, et même supplémentaires dans ℝ6 [𝑋] = Vect(1, 𝑋 2 , 𝑋 4 , 𝑋 6 ) ⊕ Vect(𝑋, 𝑋 3 , 𝑋 5 ).
Petit complément : il est posssible de définir la notion de liberté pour une famille infinie.
Si 𝐼 est une partie infinie (par exemple de ℕ), et ℱ = (⃗𝑣𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille infinie de vecteurs de 𝐸,
on dit que ℱ est une famille libre si toute sous-famille finie ℱ ′ , extraite de ℱ, est libre.
Un exemple : dans 𝕂[𝑋], la famille infinie (𝑋 𝑘 )𝑘∈ℕ = (1, 𝑋, 𝑋 2 , 𝑋 3 , . . .) est libre, car toute sousfamille extraite finie est nécessairement composée de polynômes de degrés échelonnés, donc libre !
Un autre exemple : dans ℝℝ , la famille (𝑓𝛼 )𝛼∈ℝ est une famille libre (où 𝑓𝛼 (𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 ).
II. Familles génératrices d’un espace vectoriel
Définition :
une famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 de 𝑛 vecteurs (𝑛 ⩾ 1) d’un espace vectoriel 𝐸 est dite
génératrice de l’espace 𝐸 si on a 𝐸 = Vect(ℱ) = Vect(⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ).
On dit aussi que la famille ℱ engendre 𝐸.
Méthode : pour prouver que ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une famille génératrice d’un espace
𝐸, il faut et il suffit de prouver
∙ que ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 sont bien des vecteurs de 𝐸 (i.e) : ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, ⃗𝑣𝑖 ∈ 𝐸.
∙ que tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐸 peut s’écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs ⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 .
𝑛
∑
𝑛
Autrement dit : ∀⃗𝑥 ∈ 𝐸, ∃(𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝕂 , ⃗𝑥 =
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 .
𝑖=1
Rappel : par convention, on a posé Vect(∅) = Vect(⃗0) = {⃗0} .
Rappel : Vect(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) + Vect(𝑤
⃗ 1, . . . , 𝑤
⃗ 𝑝 ) = Vect(⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑛 , 𝑤
⃗ 1, . . . , 𝑤
⃗ 𝑝 ).
Complément : on peut donner un sens pour des familles infinies. Une famille ℱ = (⃗𝑣𝑖 )𝑖∈𝐼 infinie
de vecteurs d’un espace 𝐸 est génératrice de 𝐸 si tout vecteur de 𝐸 peut s’obtenir comme une
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combinaison linéaire (finie) de vecteurs de ℱ.
Par exemple, ℱ = (𝑋 𝑖 )𝑖∈ℕ est génératrice de 𝕂[𝑋] puisque, pour tout polynôme 𝑃 de 𝕂[𝑋], il existe
𝑛
∑
un entier 𝑛 ⩾ 0 et des scalaires 𝛼0 , . . . , 𝛼𝑛 dans 𝕂 tels que 𝑃 =
𝛼𝑖 𝑋 𝑖 .
𝑖=0
Quelques exemples :
1. Tout vecteur ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) de ℝ2 peut s’écrire ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 0) + 𝑦(0, 1).
Donc ℝ2 = Vect( (1, 0) , (0, 1) ), (i.e) la famille de deux vecteurs de ℝ2 , ℱ = ( (1, 0) , (0, 1) ),
est génératrice de ℝ2 .
2. La famille ℱ ′ = ((1, 2) , (3, 4)) est également génératrice de ℝ2 : en effet, il suffit de vérifier que,
pour tout ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) de ℝ2 , on peut trouver deux réels 𝑎 et 𝑏 tels que (𝑥, 𝑦) = 𝑎(1, 2) + 𝑏(3, 4).
Par résolution d’un système simple, on trouve : (𝑥, 𝑦) = ( 3𝑦
− 2𝑥).(1, 2) + (𝑥 − 𝑦2 ).(3, 4).
2
3. La famille ℱ ′′ = ((0, 1) , (1, 2) , (2, 3) ) est également génératrice de ℝ2 : en effet, si on cherche, à
(𝑥, 𝑦) fixé, des réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que (𝑥, 𝑦) = 𝑎(0, 1)+𝑏(1, 2)+𝑐(2, 3), on est amené à résoudre un
système linéaire de deux équations à trois inconnues (𝑎, 𝑏 et 𝑐), compatible, qui donne l’infinité
de solutions suivantes : {𝑎 = 𝑦 − 2𝑥 + 𝑐, 𝑏 = 𝑥 − 2𝑐, 𝑐 = 𝑐} où 𝑐 est un paramètre libre ! Il y a
donc une infinité de façon d’écrire ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) comme combinaison linéaire de vecteurs de ℱ ′′ .
Cette famille ℱ ′′ = ( (0, 1) , (1, 2) , (2, 3) ) est donc bien génératrice de ℝ2 (mais pas libre, car
il n’y a pas unicité de l’écriture en général !)
4. Soit 𝐹 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∣ 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0} : c’est un sous-espace de ℝ3 , constitué de tous les
vecteurs s’écrivant ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) avec la condition 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0, donc de tous les vecteurs
⃗𝑢 = (𝑦 − 2𝑧, 𝑦, 𝑧) = 𝑦(1, 1, 0) + 𝑧(−2, 0, 1) où 𝑦 et 𝑧 sont des paramètres libres décrivant ℝ.
Ainsi 𝐹 = Vect( (1, 1, 0) , (−2, 0, 1) ) : la famille ( (1, 1, 0) , (−2, 0, 1) ) est une famille génératrice
de l’espace 𝐹 .
5. 𝐺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∣ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0 et 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 3𝑡 = 0} est un plan (à faire).
6. La famille de fonctions (𝑦1 , 𝑦2 ) où 𝑦1 (𝑥) = 𝑒2𝑥 et 𝑦1 (𝑥) = 𝑒−3𝑥 , est une famille génératrice de
l’ensemble des solutions de l’équation différentielle 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 6𝑦 = 0.
7. La famille de suites (𝑣, 𝑤) où 𝑣𝑛 = 2𝑛 et 𝑤𝑛 = (−3)𝑛 , est une famille génératrice de l’ensemble
des suites 𝑢 vérifiant la relation 𝑢𝑛+2 + 𝑢𝑛+1 − 6𝑢𝑛 = 0 (pour tout 𝑛 ∈ ℕ).
Proposition : si ℱ est une famille génératrice de 𝐸, alors toute sur-famille ℱ ′ , constituée
en ajoutant à ℱ des vecteurs de 𝐸, est encore génératrice de 𝐸 (ℱ ⊂ ℱ ′ ).
Preuve : c’est évident, car si tout vecteur ⃗𝑥 de 𝐸 peut s’écrire comme combinaison linéaire de vecteurs
𝑛
∑
de ℱ = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 sous la forme ⃗𝑥 =
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 , alors, en supposant ℱ ′ = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑝 (avec 𝑝 > 𝑛), on peut
toujours écrire ⃗𝑥 =
𝑛
∑
𝑖=1
𝛼𝑖⃗𝑣𝑖 +
𝑝
∑
𝑖=1
0⃗𝑣𝑖 .
𝑖=𝑛+1
Attention ; : ce résultat ne tient plus si on ajoute à ℱ des vecteurs qui ne sont pas dans l’espace
𝐸 ! Par exemple, si 𝐸 = Vect( (1, 0, −1) , (1, 1, 0) ), 𝐸 est un sous-espace strict de ℝ3 (c’est le plan
d’équation «𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0»), mais la famille ( (1, 0, −1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1) ) n’est pas génératrice de
𝐸 ! (car (1, 1, 1) ∈
/ 𝐸).
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III. Bases d’un espace vectoriel
Définition : une famille ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 de 𝑛 vecteurs (𝑛 ⩾ 1) d’un espace
vectoriel 𝐸 est une base de l’espace 𝐸 si ℱ est une famille libre et génératrice de 𝐸 .
Autrement dit :
( ℱ = (⃗𝑣1 , ⃗𝑣2 , . . . , ⃗𝑣𝑛 ) = (⃗𝑣𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une base de 𝐸 ) ⇔ ( ℱ est libre et 𝐸 = Vect(ℱ) ) .
Exemples :
1. ℬ = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 ) où ⃗𝑒1 = (1, 0) et ⃗𝑒2 = (0, 1), est une base de l’espace ℝ2 . En effet, ℬ est libre car
𝛼1 (1, 0) + 𝛼2 (0, 1) = (0, 0) ⇒ (𝛼1 , 𝛼2 ) = (0, 0) ⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = 0. Puis ℬ est bien génératrice de
ℝ2 car tout vecteur ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) de ℝ2 peut s’écrire ⃗𝑢 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥(1, 0) + 𝑦(0, 1) = 𝑥⃗𝑒1 + 𝑦⃗𝑒2 .
2. De même, ℬ = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , ⃗𝑒3 ) où ⃗𝑒1 = (1, 0, 0), ⃗𝑒2 = (0, 1, 0) et ⃗𝑒3 = (0, 0, 1), est une base de ℝ3 .
3. Généralisons : ℬ = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) où ⃗𝑒1 = (1, 0, . . . , 0), ⃗𝑒2 = (0, 1, 0, . . . , 0), ..., ⃗𝑒𝑛 = (0, . . . , 0, 1),
est une base du 𝕂-espace vectoriel 𝕂𝑛 (appelée la base canonique de 𝕂𝑛 ).
4. (1, 𝑋, 𝑋 2 , . . . , 𝑋 𝑛 ) est la base canonique de 𝕂𝑛 [𝑋].
5. On rappelle qu’on note 𝐸𝑖,𝑗 la matrice de ℳ𝑛,𝑝 (𝕂) ne comportant que des zéros, sauf en ligne
𝑖 et colonne 𝑗 où se trouve l’élément 1.
La famille (𝐸𝑖,𝑗 )1⩽𝑖⩽𝑛,1⩽𝑗⩽𝑝 est la base canonique de l’ev des matrices ℳ𝑛,𝑝 (𝕂).
6. Les bases ne sont pas uniques : par exemple, on a vu que ℱ = ( (1, 2) , (3, 4) ) est une famille
génératrice de ℝ2 , qui est également
libre car
{
𝛼1 + 3𝛼2 = 0
⇒ ... ⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = 0.
𝛼1 (1, 2) + 𝛼2 (3, 4) = (0, 0) ⇒
2𝛼1 + 4𝛼2 = 0
Donc, ℱ = ( (1, 2) , (3, 4) ) est une autre base de ℝ2 .
7. ATTENTION : en tant que ℂ-espace vectoriel, on a ℂ = Vectℂ (1) car tout complexe 𝑧 ∈ ℂ
peut s’écrire 𝑧 = 𝛼.1 i.e ⃗𝑧 = 𝛼.⃗1 avec 𝛼 = 𝑧 ∈ ℂ (le corps des scalaires ici). De plus, la famille
(1) est libre (un seul vecteur non nul !), donc (1) est une base du ℂ-espace vectoriel ℂ .
MAIS : en tant que ℝ-espace vectoriel, on a ℂ = Vectℝ (1, 𝑖) car tout complexe 𝑧 ∈ ℂ peut
s’écrire 𝑧 = 𝛼1 .1 + 𝛼2 .𝑖 i.e ⃗𝑧 = 𝛼1 .⃗1 + 𝛼2 .⃗𝑖 avec 𝛼1 , 𝛼2 ∈ ℝ (le corps des scalaires ici). De plus,
la famille (1, 𝑖) est libre (dans le ℝ-ev ℂ, car (𝜆1 .1 + 𝜆2 .𝑖 = 0) ⇒ (𝜆1 = 𝜆2 = 0) car 𝜆1 , 𝜆2 sont
ici des réels), donc (1, 𝑖) est une base du ℝ-espace vectoriel ℂ .
8. Soit 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝒟2 (ℝ, ℝ) ∣ 𝑓 ′′ + 𝑓 = 0}, le ℝ-espace vectoriel des solutions de l’équation
différentielle «𝑦 ′′ + 𝑦 = 0». On sait que 𝐸 est constitué des fonctions de la forme 𝑎 cos +𝑏 sin
(où 𝑎, 𝑏 sont des réels décrivant ℝ). Donc 𝐸 = Vect(cos, sin), où la famille (cos, sin) est libre
(déjà prouvé). Donc la famille (cos, sin) est une base de l’espace 𝐸
9. Un cas extrême : on peut écrire {⃗0} = Vect(∅), où l’ensemble vide ∅ est une famille libre (car
non liée...). Par conséquent, l’ensemble vide est une base de l’espace trivial {⃗0} !
Proposition : en traduisant autrement la définition d’une base, on a
« ℬ = (⃗𝑏𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une base de l’espace 𝐸 si et seulement si tout vecteur ⃗𝑢 de 𝐸 peut s’écrire
(génératrice), et ceci de façon unique (libre) comme une combinaison linéaire des vecteurs de ℬ ».
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Ecrit autrement :
( ℬ = (⃗𝑏𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une base de 𝐸 ) ⇔ ( ∀⃗𝑢 ∈ 𝐸, ∃!(𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 ) ∈ 𝕂𝑛 , ⃗𝑢 =
𝑛
∑
𝛼𝑖⃗𝑏𝑖 )
𝑖=1
Définition : si ℬ = (⃗𝑏𝑖 )1⩽𝑖⩽𝑛 est une base de 𝐸, et si ⃗𝑢 =
𝑛
∑
𝛼𝑖⃗𝑏𝑖 , on dit que la liste (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 )
𝑖=1
(de 𝕂𝑛 ) constitue les coordonnées du vecteur ⃗𝑢 sur (/dans/par rapport à) la base ℬ.
Notation (personnelle) : on écrira
⎛
⎞
𝛼1
𝑛
⎜ 𝛼2 ⎟
∑
⎜
⎟
⃗
⃗
⃗
[⃗𝑢]ℬ = ⎜ . ⎟ = les coordonnées du vecteur ⃗𝑢 sur la base ℬ = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ), si ⃗𝑢 =
𝛼𝑖⃗𝑏𝑖 .
⎝ .. ⎠
𝑖=1
𝛼𝑛
Exemples :
⎛
⎞
𝑥1
⎜
⎟
1. Dans 𝕂𝑛 , le vecteur ⃗𝑢 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) a pour coordonnées, [⃗𝑢]𝒞 = ⎝ ... ⎠ sur la base canonique
𝑥𝑛
𝑛
𝒞 = (⃗𝑒1 , . . . , ⃗𝑒𝑛 ) de 𝕂 , car ⃗𝑢 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) = 𝑥1⃗𝑒1 + . . . + 𝑥𝑛⃗𝑒𝑛 .
2. Bien entendu, si on change de bases, les coordonnées ne sont plus les mêmes
( en général.
)
9
2
Par exemple, dans ℝ , le vecteur (9, 10) a pour coordonnées [(9, 10)]𝒞 =
sur la base
10
canonique 𝒞 = (⃗𝑒1 , ⃗𝑒2 ) de ℝ2 , mais en prenant
( la base
) ℬ = ( (1, 2) , (3, 4) ), d’après l’égalité,
−3
(9, 10) = −3(1, 2) + 4(3, 4), on a [(9, 10)]ℬ =
.
4
1
1
3. La famille de fonctions ℬ = (exp, exp
) est libre car, si 𝑎. exp +𝑏. exp
= 0̃, alors en dérivant cette
1
relation, on obtient 𝑎. exp −𝑏. exp
= 0̃ puis, en évaluant en 0 ces deux égalités de fonctions, on
1
en tire {𝑎.1 + 𝑏.1 = 0 et 𝑎.1 − 𝑏.1 = 0}, d’où 𝑎 = 𝑏 = 0. Donc, la famille ℬ = (exp, exp
) est une
1
′′
base de l’espace 𝐸 = Vect(exp, exp ) (on peut vérifier que 𝐸 = {𝑓 ∈ 𝒟2 (ℝ, ℝ) ∣ 𝑓 − 𝑓 = 0} ).
( 1 )
( 1 )
2
2
Bien entendu : ch et sh sont des éléments de 𝐸, avec [ch]ℬ =
et [sh]ℬ =
.
1
1
−
2
2
4. La famille 𝒞 = (1, 𝑋, 𝑋 2 , . . . , 𝑋 𝑛 ) = (𝑋 𝑖 )𝑖∈{0,1,...,𝑛} est une base de l’espace 𝕂𝑛 [𝑋] des polynômes à coefficients dans 𝕂 et de degrés inférieurs ou égaux à 𝑛 (la liberté est évidente, car les
degrés sont deux à deux distincts, et elle est bien génératrice par construction !).
5. Soit 𝑎 ∈ 𝕂, fixé. La famille ℬ = (1, (𝑋 − 𝑎), (𝑋 − 𝑎)2 , . . . , (𝑋 − 𝑎)𝑛 ) est une base de 𝕂𝑛 [𝑋] : en
effet, elle est libre car de degrés échelonnés, et génératrice de 𝕂𝑛 [𝑋] car, grâce à la formule de
𝑛
∑
𝑃 (𝑘) (𝑎)
Taylor, on sait que tout polynôme 𝑃 de 𝕂𝑛 [𝑋] peut s’écrire 𝑃 =
.
𝛼𝑘 (𝑋−𝑎)𝑘 où 𝛼𝑘 =
𝑘!
𝑘=0
6. On considère ici ℂ comme un ℝ-espace vectoriel. On a déjà vu que ℬ = (1, 𝑖) constitue
une
√
2𝑖𝜋
3
1
′
3
base de ℂ. On va prouver que ℬ = (1, 𝑗) est aussi une base de ℂ (où 𝑗 = 𝑒 = − 2 + 𝑖 2 ).
En effet, pour tout vecteur 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥.1 + 𝑦.𝑖 de ℂ, avec (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 , on cherche s’il
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√
existe (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 tel que 𝑧 = 𝑎.1 + 𝑏.𝑗. Ceci donne l’égalité
𝑥.1 + 𝑦.𝑖 = 𝑎.1 + 𝑏(− 12 + 𝑖 23 )
√
(i.e) 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑗, ou encore 𝑥.1 + 𝑦.𝑖 = (𝑎 − 12 𝑏).1 + 𝑏 23 .𝑖. Or la famille (1, 𝑖) est libre,
donc,
par unicité de l’écriture sur cette famille, on{peut identifier, d’où le système à résoudre :
{
𝑎 = 𝑥 + √13 𝑦
𝑎 − 12√𝑏 = 𝑥
. On observe donc qu’il y
,
que
l’on
résout
facilement
:
√2 𝑦
𝑏 =
𝑏 23 = 𝑦
3
a une solution (𝑎, 𝑏) (pour tout 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦), donc la famille (1, 𝑗) est bien génératrice, mais en
plus elle est unique, ce qui prouve également la liberté de cette famille (1, 𝑗).
Conclusion :(ℬ ′ = (1,
autre base du ℝ-espace
ℂ.
) 𝑗) est une
(
)vectoriel (
( )
)
( )
1
1
√
−
0
0
1
3
√2
, [𝑖]ℬ =
mais [𝑖]ℬ′ =
, [𝑗]ℬ′ =
, [1]ℬ = [1]ℬ′ =
!
On a [𝑗]ℬ =
2
3
√
1
1
0
2
3
7. Soit une famille de trois vecteurs ℱ = (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ′ , ⃗𝑣 ′′ ) du ℝ-espace vectoriel ℝ3 .
Cette famille ℱ est une base de ℝ3 si et seulement si tout vecteur ⃗𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) peut s’écrire, et de
façon unique, comme une combinaison linéaire des vecteurs ⃗𝑣 , ⃗𝑣 ′ , ⃗𝑣 ′′ . En posant ⃗𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧),
⃗𝑣 ′ = (𝑥′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ), ⃗𝑣 ′′ = (𝑥′′ , 𝑦 ′′ , 𝑧 ′′ ), cela revient à chercher un triplet
réels vérifiant
⎧ (𝛼, 𝛽, 𝛾) de
′
⎨ 𝑥.𝛼 + 𝑥 .𝛽 + 𝑥′′ .𝛾 = 𝑎
l’égalité 𝛼.⃗𝑣 +𝛽.⃗𝑣 ′ +𝛾.⃗𝑣 ′′ = ⃗𝑢, équivalent à la résolution du système
𝑦.𝛼 + 𝑦 ′ .𝛽 + 𝑦 ′′ .𝛾 = 𝑏 .
⎩
𝑧.𝛼 + 𝑧 ′ .𝛽 + 𝑧 ′′ .𝛾 = 𝑐
Or, il s’agit d’un système LINÉAIRE, CARRÉ, trois équations, trois inconnues.
que
⎛ On sait
⎞
𝑥 𝑥′ 𝑥′′
ce système possède une et une seule solution (𝛼, 𝛽, 𝛾) ssi sa matrice 𝑀 = ⎝ 𝑦 𝑦 ′ 𝑦 ′′ ⎠
𝑧 𝑧 ′ 𝑧 ′′
est inversible (i.e) rang(𝑀 ) = 3.
Il est donc facile de détecter si une famille de trois vecteurs est une base, ou pas, de ℝ3 .
Exemples :
(a) avec ⃗𝑣 = (1, 2, 3), ⃗𝑣 ′ = (4, 5, 6), ⃗𝑣 ′′ = (7, 8, 9), ℱ = (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ′ , ⃗𝑣 ′′ ) n’est pas une base de ℝ3
⎛
⎞
1 4 7
car rang(𝑀 ) = rang ⎝ 2 5 8 ⎠ = ⋅ ⋅ ⋅ = 2.
3 6 9
′
(b) avec ⃗𝑣 = (1, 0, 1), ⃗𝑣 = (1, 1, 1), ⃗𝑣 ′′ = (−1, 1, 2), ℱ = (⃗𝑣 , ⃗𝑣 ′ , ⃗𝑣 ′′ ) est une base de ℝ3 car
⎛
⎞
1 1 −1
rang(𝑀 ) = rang ⎝ 0 1 1 ⎠ = ⋅ ⋅ ⋅ = 3.
1 1 2
Remarque : ce résultat est bien entendu encore valable pour deux vecteurs dans ℝ2 , et on
peut le généraliser pour des familles de 𝑛 vecteurs du 𝕂-espace vectoriel 𝕂𝑛 . Autrement dit,
une famille de 𝑛 vecteurs de 𝕂𝑛 est une base de 𝕂𝑛 ssi rang(𝑀 ) = 𝑛, i.e ssi la matrice 𝑀
est inversible, où 𝑀 est la matrice carrée dont les 𝑛 colonnes sont les composantes de ces 𝑛
vecteurs. On peut adapter ce résultat à tout espace possédant une base (finie) en passant par
la matrice des coordonnées des vecteurs d’une famille. MIEUX ! : on peut même utiliser
les opérations sur les colonnes de la matrice des coordonnées des vecteurs d’une
famille afin de déterminer une base de l’espace que cette famille engendre (voir
cours).
8. Généralisation : si ℬ = (⃗𝑏1 , . . . , ⃗𝑏𝑛 ) est une base de l’ev 𝐸, et ℱ = (⃗𝑣1 , . . . , ⃗𝑣𝑝 ) une famille de
𝑝 de vecteurs de 𝐸, on note 𝑀 = Matℬ (ℱ) = ([⃗𝑣1 ]ℬ , . . . , [⃗𝑣𝑝 ]ℬ ) la matrice des coordonnées des
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vecteurs de la famille ℱ sur la base ℬ (elle appartient à ℳ𝑛,𝑝 (𝕂)). On sait déjà :
(la famille ℱ est libre)⇔ (le rang de la matrice 𝑀 = Matℬ (ℱ) est 𝑝 = card(ℱ)).
Ceci permet de prouver que toutes les bases de 𝐸 ont le même cardinal (ici 𝑛). En effet, par
l’absurde, si on dispose de deux bases ℬ et ℬ ′ de cardinaux respectifs 𝑛 et 𝑛′ avec, par exemple
(sans restriction, quitte à échnger les rôles), 𝑛 < 𝑛′ , alors comme la famille ℬ ′ est libre, sa
matrice Matℬ (ℬ ′ ) doit être de rang 𝑛′ , ce qui n’est pas possible car cette matrice comporte
𝑛 lignes avec 𝑛 < 𝑛′ (on a vu, dans le cours sur les matrices, que le rang d’une matrice est
toujours inférieur ou égal à son nombre de lignes et à son nombre de colonnes). On doit donc
avoir nécessairement 𝑛 = 𝑛′ .
Par conséquent,
∙ si 𝐸 dispose d’une base ℬ de cardinal 𝑛, alors toute famille ne comportant pas 𝑛 vecteurs
n’est pas une base de 𝐸.
∙ Et si une famille ℱ comporte 𝑛 vecteurs, alors
(ℱ est une base de 𝐸) ⇔ (le rang de Matℬ (ℱ) est 𝑛) ⇔ (Matℬ (ℱ) est inversible).
Proposition : si 𝐸1 et 𝐸2 sont deux sev supplémentaires dans 𝐸 (𝐸1 ⊕ 𝐸2 = 𝐸) alors la réunion
d’une base ℬ1 de 𝐸1 et d’une base ℬ2 de 𝐸2 donne une base ℬ = ℬ1 ∪ ℬ2 de 𝐸 appelée base adaptée
à la somme directe 𝐸1 ⊕ 𝐸2 = 𝐸.
Preuve : tout vecteur ⃗𝑣 de 𝐸 = 𝐸1 ⊕ 𝐸2 s’écrit, de manière unique, sous la forme ⃗𝑣 = ⃗𝑣1 + ⃗𝑣2 avec
⃗𝑣1 ∈ 𝐸1 et ⃗𝑣2 ∈ 𝐸2 . Puis, ⃗𝑣1 se décompose de manière unique sur la base ℬ1 , de même pour 𝑣2 sur la
base ℬ2 . D’où l’écriture de ⃗𝑣 sur ℬ = ℬ1 ∪ ℬ2 , nécessairement unique par somme directe de 𝐸1 et 𝐸2 .
Mieux : on a même une réciproque !
Proposition :
si 𝐸1 et 𝐸2 sont deux sev dans 𝐸 de bases respectives ℬ1 et ℬ2 , alors on a l’équivalence :
(𝐸1 ⊕ 𝐸2 = 𝐸)⇔ (ℬ1 ∪ ℬ2 est une base de 𝐸)
.
Complément : on peut étendre la notion de base pour des familles infinies. Ainsi, une famille
infinie ℬ = (⃗𝑏𝑖 )𝑖∈𝐼 est une base de 𝐸 si elle est libre et génératrice de 𝐸 (avec les définitions vues
précédemment).
Par exemple : 𝒞 = (𝑋 𝑖 )𝑖∈ℕ = (𝑋 0 , 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , . . .) est une base de l’espace des polynômes 𝕂[𝑋].
Autre exemple : dans ℝℕ , l’espace vectoriel des suites réelles, pour tout 𝑘 ∈ ℕ, on définit la suite 𝑏[𝑘]
par :
∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑏[𝑘]𝑛 = 0 si 𝑛 ∕= 𝑘, et 𝑏[𝑘]𝑛 = 1 si 𝑛 = 𝑘
qu’on peut noter
𝑏[𝑘] = (0, 0, . . . ,{0, 1, 0, 0, 0, . . . . . .) où le 1 est en (𝑘 + 1)-ième position.
0 si 𝑛 ∕= 𝑘
Autrement dit, 𝑏[𝑘]𝑛 = 𝛿𝑘,𝑛 =
, où 𝛿𝑘,𝑛 =symbole de Kronecker.
1 si 𝑛 = 𝑘
La famille ℬ = (𝑏[𝑘])𝑘∈ℕ n’est pas une base de ℝℕ : en effet, la suite 𝑢 constante égale à 1 ne peut
pas s’écrire comme une somme finie des 𝑏[𝑘] !
Par contre, en notant 𝒮 l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang (stationnaires nulles),
on vérifie facilement que ℬ = (𝑏[𝑘])𝑘∈ℕ est une base de 𝒮.
Un exemple : la suite 𝑣 définie par 𝑣𝑛 = 2𝑛 pour 0 ⩽ 𝑛 ⩽ 5 et 𝑣𝑛 = 0 si 𝑛 ⩾ 6 se décompose en
𝑣 = 1𝑏[0] + 2𝑏[1] + 4𝑏[2] + 8𝑏[3] + 16𝑏[4] + 32𝑏[5].
–12/12–
Lycée Faidherbe, Lille