vecteurs exo enonces

30
Rappel sur le calcul vectoriel
**
EXERCICES
.
! ! "#$
Exercice 2.1
On considère , dans un repère orthonormé OXYZ,
les
trois
V1 = 3i 4 j + 4k ,
vecteurs :
j + 3k .
V2 = 2i + 3 j 4k et V3 = 5i
a/ calculer les modules de V 1 & V 2 et V 3 ,
b/ calculer les composantes ainsi que les modules des
A = V1 +V 2 +V 3
vecteurs :
B = 2V 1 V 2 + V 3 ,
c/
déterminer
le
vecteur
unitaire
et
porté
par
d/ calculer le produit scalaire V 1 .V 3
l’angle formé par les deux vecteurs.
e/ calculer le produit vectoriel V 2
et en déduire
V3.
Exercice 2.2
Montrer que les grandeurs de la somme et de la
Ax
Bx
différence de deux vecteurs A = Ay et B = B y
Az
Bz
exprimées en coordonnées rectangulaires
sont
respectivement :
(A
D=
(A
+ Bx ) + ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
2
2
x
x
Bx ) + ( Ay
By ) + ( Az
2
2
Exercice 2.3
Trouver la
sommes
V1 = 5i 2 j + 2k
3
des
Bz )
2
B = 2V 1 V 2 + V 3
E!F
G<HIH,)
A = V1 +V 2 +V 3
J @)<,)
K '
8+F
/D
trois
3
Exercice 2.4
a/ Montrer que la surface d’un parallélogramme est
sont
les côtés du
parallélogramme formé par les deux vecteurs .
b/ Prouver que les vecteur
2.2
8+F l, m$n,)
K<H H,) g)U h iR 8 jhIk
C +-) @o T HSPF $% H,)
A et B
Bx
Ax
B = By
A = Ay
Bz
Az
: Hp ",)< ,) E!F *!+q ?H,)
S=
( Ax + Bx )
D=
( Ax
2
+ ( Ay + By ) + ( Az + Bz )
2
Bx ) + ( Ay
2
By ) + ( Az
2
2
Bz )
2
1/ 2
1/ 2
3.2
vecteurs :
V2 = 3i + j 7k
B tels que A et B
*; )N,) O P QR - V 1 .V 3 "H!?,) M) ,) >?@A /L
. HSP+T JU<VIH,)
V2 V3
/
1/ 2
Calculer le module de la résultante ainsi que les angles
qu’elle forme avec OY , OX et OZ .
A.FIZAZI
$% & OXYZ
! "#
3 V1 = 3i 4 j + 4k :*+, ,) *-./,) * '()
. V3 = 5i j + 3k 3 V2 = 2i + 3 j 4k
. V 3 V 2 & V 1 8 9: *!;<= >?@A /)
* '() C.;<=
C %:$ >?@A /B
1/ 2
2
V3 = 4i + 7 j + 6k .
A
1.2
C = V1 +V 3
C = V1 +V 3,
S=
%& '( :
:
3
V2 = 3i + j 7k
V1 = 5i 2 j + 2k 3
. V3 = 4i + 7 j + 6k
u S PVk " ,) ;) N,) *!VIH,) *!;<= >?@A
. OZ OY , OX 8 9:
"p K.w() gx)<
gx)< " !w B
sont
Univ-BECHAR
:4.2
*@ ? iA 8p$T /)
A y+@ A B
.8+F l,) 8 9zlH,) K.w()
LMD1/SM_ST
31
Rappel sur le calcul vectoriel
perpendiculaires si
Exercice 2.5
Soit le vecteur :
(
E!F ;L<HF i<z; A K l,) iA 8p$T /B
A + B = A B *}. ,) ~hhIk )•R B K l,)
A+ B = A B
5.2
) (
) (
)
V = 2 xy + z 3 i + x 2 + 2 y j + 3 xz 2
Montrer que
grad
V =
2 k
V =0
(
) (
:K l,) i : )•R
) (
V = 2 xy + z i + x + 2 y j + 3 xz 2
3
grad
2
V = 0 iA 8p$T
V =
Exercice 2.6
1
Soient les deux vecteurs
A=
6.2
2
, B=
)
2 k
2
3
B=
4
1
3
;
A=
i F l,) 8z+,
4
Trouver ,
pour que B soit parallèle à A , puis
déterminer le vecteur unitaire pour chacun des deux
vecteurs.
- & A K l,) B K l,) gx)<; y+IT , 8+F
. HSP 9z, *h#)<H,) J @)<,) "F ' 8+F
Exercice 2.7
La résultante de deux vecteurs a 30 unités de long et
forme avec eux des angles de 25° et 50°.
Trouver la grandeur des deux vecteurs.
7.2
uPVk J @ 30 S,<= 8+F ' *!VI
.50° 25° 8+ ; )x
.8+F l,) *!;<= ‚ A
A.FIZAZI
HS
Univ-BECHAR
LMD1/SM_ST