J. 4784 CONCOURS ESIM Entrepreneur Industrie - Session 2003 Filière MP EPREUVE DE MATHEMATIQUES 1 (algèbre) Durée : 3 heures Calculatrices interdites Mn(%) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n. O(n) désigne le groupe orthogonal d'ordre n et fn l'application de Mn(%) dans % définie par : cmij . 1<iljln On désigne par II II la norme définie sur Mn(%) par llMll= M m Imijl. 1G j S n (dl,d2,....,dk,....dn) étant un Clément de %n, on désigne par Diag(dk) la matrice diagonale dont la diagonale est (dl,d2,....,dk,....dn). t/ M = (mij)l<ij- E Mn(%), fn(M) = Résultats préliminaires : 1) Démontrer que fn est une forme linéaire sur Mn(%). Est-elle continue ? 2) a) Démontrer que : b' M E O(n), IlMll I 1. b) Montrer que O(n) est un fermé dans l'espace vectoriel normé (Mn(%),ll II). 3) Justifier l'existence d'une matrice An appartenant à O(n) telle que : b' M E O(n), fn(M) 5 fn(An). Le but du problème est de déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini. 1) Dans cette partie n est fixé. On désigne par A,,, An2,..., A,, les colonnes de la matrice A, et on note : A, = [A,,, A,,, A,,]. On fixe deux indices i et j tels que 1 5 i < j 5 n, et on désigne par Bn la matrice carrée d'ordre n dont les colonnes sont égales à Bn1, B a , .....B, ,avec : B k = A& si k est différent de i et j Bni = (COS(t))Ani - (sin(t))Anj Bnj = (sin(t))Ani+ (COS(t))Anj. ---Y 1) Démontrer que la matrice Bn appartient à O(n). page 113 Tournez la page S.V.P. 2) Déterminer deux réels h et p tels que : fn(An) - fn(Bn) = h( 1-cos(t)) + psin(t). 3 ) En considérant un équivalent de l'expression précédente quand t tend vers O, démontrer que p = o. 1 j Endéduireque = caki . k=l k=l Pour toute la suite du problème, le nombre réel précédent est noté Oij. C%j II) On désigne par C, la matrice carrée d'ordre n telle que : Cij = O si j>i, CU = 1 si jri. On désigne par Jn la matrice carrée d'ordre n dont la sous-diagonale est formée de 1 et tous les autres coefficients sont nuls. 1) a) Exprimer Cn sous la forme d'un polynôme en Jm b) Montrer que Cn est inversible et que (CJ-1 d'ordre n. = In - Jn , où In désigne la matrice identité 2 ) a) Montrer que pour tout M E Mn(%), fn(M) = Trwe(CnM). b) Montrer que CnAn = (Oij)l<ija . En déduire que CnAn est une matrice symétrique. 3 ) On pose Un = f((Cn)-')An . a) Démontrer que la matrice Un est symétrique. b) Montrer que fn(An) = Trace((U3-l). 4) On pose V, = Montrer que V, est la matrice carrée d'ordre n telle que : la diagonale est formée de 2, sauf le dernier Clément qui est égal à 1, la sur-diagonale et la sous-diagonale sont formées de -1 et les autres coefficients sont nuls. Vn = . O -1 2 -1 . .O-11 page 213 III) 1) On désigne par P, le polynôme caractéristique de V,. On pose P o o = 1, Pl(X) = 1 - X pour tout X réel. Montrer que : Pn(X) = (2 - X)Pn,lO<) - Pna(X), pour tout X réel et tout entier naturel n supérieur ou égal à 2. 2) On pose x = 4sin28 . Montrer que Pn(X) = cos(2n+1)8 cos(e) . 3) En déduire les zéros du polynôme Pn, puis les valeurs absolues des valeurs propres de la matrice (Un>-'. 4) a) Justifier que (Un)-' est diagonalisable et que (Un)-l= PDP-1 où P est une matrice orthogonale et D = Diag(dk). b) On suppose que certains dk sont négatifs. Soit D = diag()dk)).On définit une matrice A' par CnA' = PD'P-l. i) Vérifier que Trace (C,A') > Trace (C,A,). ii) Montrer que A' est orthogonale. iii) Conclure. 1 5 ) En déduire que fn(An) = 5 n-1 1 1 . 2k+l It k=O sin(=?) 1 It IV) o n pose +(O = sin(t) et h = 2pn+1) n-1 1) Montrer que 2fn(An) = C+((2k+l)h) . k=O 2) Montrer que : (2n+ 1)h (2n-l)h l+(t)dt I4hfn(An) I2h+(h) + j+(t)dt h h . 3) Déterminer un équivalent quand h tend vers O de /- dt . h 4) Déterminer un équivalent de fn(An) quand n tend vers l'infini. Fin de l'énoncé page 313