sujet

Concours
Épreuve
:
Centrale
MATHÉMATIQUES
- Supélec 200 1
II
Filières
Partie
Notations
On désigne par AP, 9( C) l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont
les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice A E AP, 4( C) on
note ‘A la matrice transposée de A, A la matrice obtenue en conjuguant tous
les coefficients de la matrice A et rg(A)
le rang de A.
On fixe un entier n 2 2 et on considère V =J&?~,,(C) , E =An. n( C) munis des
opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement 0, et 0,.
e,=
(0)
(0 \
1
0
>...,
e2 =
.di? = GL,(C).
I.A.l)
Soit x un vecteur non nul de V. Montrer que pour tout vecteur y non
nul de V il existe une matrice inversible A telle que Ax = y.
Indication
: on peut considérer deux cas,
I.A.2)
Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par 2
tifier les réponses.
; jus-
1.B - Dans cette section 1.B - ,p
Pour (k,m)e [I 1,121’ onpose E,,, = ek ‘e,, ce qui donne une matrice à n lignes
et n colonnes dont le coefficient d’indice (i,j) vaut 1 si (ij) = (k, m) et 0 sinon.
La base canonique de E est constituée des n.* matrices E,, m, 1 2 k 5 n , 1 5 m I n .
On note Z la matrice identité, Z = c E, k.
’
Si A est une matrice élément de E et W un sous-espace vectoriel de V, A(W)
désigne l’ensemble {Awlw E W).
Si F est un sous-ensemble de E , on dit que W est stable par F si
VAG
est l’ensemble des A E E qui sont inversibles :
En déduire que la propriété P6 est vérifiée par 2.
IJ
l<k<n
exemples
b) la famille (x, y) est libre.
0)
0
e, = 0 .
(0 /
1.A - Dans cette section IA - ,p
de quelques
I
a) la famille (x, y) est liée,
L’espace vectoriel V admet pour base canonique
(1)
0
0 ,
I - Étude
PC
F,A(W)cW.
sont triangulaires
est l’ensemble des matrices T = (tk,m) l E qui
inférieures, c’est-à-dire telles que
m>k*tkm=O
I.B.l)
Montrer
que e, est vecteur propre de tout T E2.
la propriété PS pour 9
Que peut-on dire de
?
I.B.2)
Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par .-k? ; justifier les réponses.
1.C - Dans cette section 1.C - , n = 2 et 2
est un sous-ensemble de E pour
Pour tout sous-ensemble ,=!$?de E on s’intéresse aux propriétés suivantes :
lequel PS et P4 sont vérifiées.
PI : 2
contient (au moins) une matrice de rang 1 ,
Pz : 2
contient (au moins) une matrice de rang n ,
PS : 9
contient Z,
P4 : 2
est un sous-espace vectoriel de E ,
I.C.1)
On suppose que PI n’est pas vérifiée par .=!? (les matrices 2 x 2 de rang
1 appartiennent donc toutes à E\d?
le complémentaire de 2 dans E ). Soit
A E2 et h E C . Quelles sont les valeurs possibles du rang de A - hZ ? Montrer
que 2 est l’ensemble des homothéties vectorielles.
P5 : 2
est stable par produit de matrices :A,B E -!h
AB E 2,
P6 : si W est un sous-espace vectoriel de V stable par 2,
soit W = V .
I.C.2)
On suppose que PG est vérifiée par 2.
P, est vérifiée par 3.
alors soit W = {Ov}
Page 112
Montrer
qu’alors la propriété
MATHÉMATIQUES
Dans
3
toute
la suite
est donc
Filières PC
II
du problème,
un sous-espace
P4 et PS sont
vectoriel
supposées
de E stable
Partie
vérifiées
par produit
IiI.B.2)
:
matriciel.
k#m*Ek,mE
par 2
(en
En déduire que dans tous les cas 2
IIIE
On note
(
1 M~~\(OE}
i
que M,(V)
3(a, 2) E C x M,(V),
. . ..An’+’
Montrer
pour
la
matrice
A
définie
ci-dessus, la
famille
> est une famille liée.
alors que
= 0.
Z l
2.
On a donc démontré P3.
Compte tenu de la partie II -, la propriété PI est donc satisfaite. On note alors
= V.
M, une matrice de rang 1 qui appartient
qui vérifie NO.z, = x2 et on pose
On note alors N, un élément de 2
M, = M,N, M, . Montrer que (M,, M, ) est une famille libre.
1I.B - Montrer
A,A2,
que
h,Z+lL,A+...+hpAP
On suppose dans un premier temps que m 2 2 . On note alors M, un élément de
2
qui vérifie rg(M,)
= m et on considère une base (zi), <i <m de M,(V).
On
note x,,..., n, des éléments de V tels que vi E I[ 1, m] , Moxi = zi .
{ZVz,iNt2”}
- Montrer
contient une matrice inversible A.
En déduire qu’il existe un entier p > 0 et des nombres complexes (hi), <i <p tels
que h,h, f 0 et
,
et on se propose de montrer que m = 1 , ce qui établira P,.
ILA-Montrerque
9.
Trouver une combinaison linéaire de ces E k m qui donne une matrice inversible.
II -
Dans cette partie, les propriétés
PS et Ps sont supposées vérifiées
plus de PA et PS). On veut montrer qu’alors PI aussi est vérifiée.
m = min rg(M)
i
On suppose ici que c’est le contraire de (*) qui est vrai, donc
M, = I+le,
On introduit
pose
est stable par M,N, puis que
tel que 2 f 0, et MoNo = a2 .
En déduire que o < rg(M, - aM,) < rg(M,) .
à y,
matrice que l’on peut écrire
où u().wg E v \ {Ov} .
le produit scalaire canonique sur V , (u, w) H $w et pour u l V on
A, = {Lu,Ld?},
Conclure que m = 1 .
Partie
III
-
B, = {QL&Y},
Dans cette partie on suppose que n > 2 et que la dimension de 2 est supérieure
ou égale à n2 - 1 . On veut montrer que PS et Ps sont vérifiées, puis que .=$? = E ,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’hyperplan de E stable par produit matriciel.
1II.A - Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par 9 ; on note k la dimension de W . Montrer que {M l E 1M(W) c W} est un sous-espace vectoriel de E
qui contient ,=$? et dont la dimension vaut n2 - k(n - k) . En déduire que
W = {Ov} ou W = V . On a donc démontré Ps.
1II.B III.B.l)
On suppose ici :
On note alors x=
E,,,
et Z.
Montrer
que dim(znp)
(*)3k,mE
[ 1,n12,
k#m
et Ek,mE
Vect( E k,m,Z) le sous-espace vectoriel
2 1 puis que 2
c,
L .
1II.D - Soit u E V , u f 0,. Montrer que C, est un sous-espace vectoriel de V stable par 2 et que B, n’est pas réduit à {Ov) .
Montrer
alors que C, = {Ov}
et B, = V .
Montrer
que A, = V . En déduire que pour tout (x. y) E V2 il existe L, M E 2
tels que Lu, = x et tMw 0 = y, puis que toute matrice A l E de rang 1 appartient à 2
E\d?.
= (B,)
de E engendré par
contient une matrice inversible.
Page 2/2
. Montrer
que 2
= E .
. . . FIN
. . .