Cours condense TES integration

Terminale ES
Intégration
Intégrale d’une fonction continue et positive
Définition
Dans un repère orthogonal (O,I,J), on appelle unité d’aire (notée
u.a.) l’aire du rectangle OIKJ, où K est le point de coordonnées (1;1).
I Notion d’intégrale : cas d’une fonction continue et positive
Définition
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
Le domaine situé sous la courbe C est le domaine situé entre C,
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Définition
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
L’intégrale de a à b de la fonction f est l’aire, en unités d’aire, du domaine situé sous sa
courbe C.
b
On la note ⌠
⌡a f(x)dx (lire « intégrale de a à b de f »).
Conséquence :
b
Pour toute fonction continue et positive sur [a;b], ⌠
⌡a f(x)dx est un nombre réel positif ou
nul.
Remarques :
• On dit que x est une variable muette car elle n’intervient pas dans le résultat.
b
b
b
Ainsi : ⌠
⌡a f(x)dx = ⌠
⌡a f(t)dt = ⌠
⌡a f(u)du
•
C’est le mathématicien allemand Leibniz (1646 – 1716) qui a introduit le symbole ∫. Il
s’agit d’un S, initiale du mot latin « summa » (sommation).
II Propriétés
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
a
• Il résulte de la définition que ⌠
⌡a f(x)dx ;
• Il résulte de l’additivité des aires la propriété suivante nommée relation de Chasles.
Pour tous réels a, b, c tels que a ≤ b ≤ c :
c
b
c
⌠
⌡a f(x)dx = ⌠
⌡a f(x)dx + ⌠
⌡b f(x)dx
• On peut utiliser l’invariance de l’aire par translation ou symétrie.
Exemple : les deux polygones sont superposables par translation.
4
8
Donc ⌠
⌡0 f(x)dx = ⌠
⌡4 f(x)dx
Notion de primitives
III Théorème fondamental
Théorème
Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b], alors la fonction F définie
x
par F(x) = ⌠
⌡a f(t)dt est dérivable sur [a;b] et a pour dérivée f.
1
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Exemple :
f est la fonction définie sur [0;2] par f(x) = 3x.
f est continue et positive sur [0;2].
x
Pour x ∈ [0;2], F(x) = ⌠
⌡0 f(t)dt est l’aire, en unités d’aire, du
triangle OAB avec A(x;0) et B(x;f(x)). Ainsi, F(x) =
x×3x 3
= x²
2
2
3
F est dérivable sur [0;2] et F’(x) = ×2x = 3x = f(x)
2
IV Primitives d’une fonction sur un intervalle
Définition
f est une fonction définie sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivable sur I et que F’ = f.
Exemple :
1
3
3x + 5 est une primitive sur
1
En effet, F est dérivable sur F’(x) = ×3x² = x².
3
La fonction F : x
de la fonction f : x
x²
Propriété :
f est une fonction définie sur un intervalle I et qui admet une primitive F sur I.
1. L’ensemble des primitives de f sur I est constitué par les fonctions G définies sur I par
G(x) = F(x) + C où C décrit .
2. Il existe une primitive de f sur I et une seule telle que G(x0) = y0 où x0 est un nombre
réel donné de I et y0 est un nombre réel donné.
Remarque
Si f est une fonction continue et positive sur [a;b], alors x
x
⌠
⌡a f(t)dt est la primitive de
f sur [a;b] qui s’annule en a.
Calcul de primitives
V Fonctions continues et primitives
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Exemple :
La fonction inverse est continue sur ]0; + ∞[, donc elle admet des primitives sur ]0; + ∞[.
1
Or, on sait que pour tout x > 0, ln’(x) = donc les primitives de x sont les fonctions
x
x
ln(x) + C avec C ∈ .
Remarque :
La fonction x
exp(-x²) est continue sur
n’en connait pas de primitive « explicite ».
, donc elle admet des primitives sur
, mais on
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Intégration
VI Formulaire de primitives
Ces formules s’obtiennent par lecture inverse des formules connues de dérivées.
Par la suite, C désigne un nombre réel.
Primitives de fonctions usuelles
f est définie sur I
par f(x) =
Les primitives de f sur I
sont définies par F(x) = ….
k (avec k ∈
kx + C
1
x² + C
2
x
xn (n ∈
)
1
x
-
)
L’intervalle I = ….
1
x²
1
x
ex
1 n+1
x +C
n+1
ln(x) + C
]0; + ∞ [
1
+C
x
]- ∞;0[ ou ]0; + ∞[
2 x+C
]0; + ∞[
ex + C
Primitives et opérations sur les fonctions
u est une fonction dérivable sur I.
Fonction f
Primitives de f sur I
uu'
1
u² + C
2
u’
u²
-
u‘eu
eu + C
1
+C
u
Conditions sur u
u(x) ≠ 0 sur I
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Intégration
Intégrale d’une fonction de signe quelconque
VII Calcul d’une intégrale
Cas d’une fonction continue et positive
Propriété :
f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a;b] et F est une primitive de f sur
[a;b].
b
⌠
⌡a f(x)dx = F(b) - F(a)
Cas d’une fonction continue et de signe quelconque
Définition
f est une fonction continue sur un intervalle [a;b].
L’intégrale de a à b de f est le nombre réel F(b) – F(a) où F est une primitive de f sur
b
[a;b]. On note encore ⌠
⌡a f(x)dx.
b
Pour calculer ⌠
⌡a f(x)dx on détermine d’abord une primitive F de f sur [a;b] et on écrit :
b
b
⌠
⌡a f(x)dx = [F(x)]a = F(b) – F(a)
Exemple :
5
1

1


⌠ 51
1
I =   x - 2 dx =  x² - 2x = ×5² - 2×5 –  ×(-2)² - 2×(-2)
8
-2 8
8


⌡-24
25 1
25-10×8 - 1×4 – 4
91
I=
10 – - 4 =
=8
2
8
8
VIII Valeur moyenne
Définition
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle [a;b] (avec a < b) est le nombre
1
⌠ bf(x)dx
µ défini par : µ =
b - a⌡a
Interprétation graphique : cas où f est positive sur [a;b]
Dans un repère orthogonal, C est la courbe représentative de la fonction f.
b
Alors ⌠
⌡a f(x)dx = µ(b – a)
Donc l’aire du domaine situé sous la courbe C est égale à l’aire du rectangle (en vert cicontre) de dimensions µ et (b – a).
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