Calcul intégral Primitives d’une fonction sur un intervalle 31 Cliquez ici pour télécharger l’ouvrage complet. COURS © Bordas Définition et propriétés des primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. ● On dit qu’une fonction F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si, pour tout x de I, F ′ ( x ) = f ( x ). ● Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. ● Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I par G ( x ) = F ( x ) + k , où k désigne un nombre réel quelconque. (Les deux primitives F et G diffèrent de la constante k.) ● Si x 0 est un élément de I et y 0 un réel quelconque, alors il existe une primitive F et une seule de f sur I telle que F ( x 0 ) = y 0 . Primitives des fonctions usuelles ● Soit f une fonction définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. (a et k désignent des nombres réels quelconques.) Intervalle I f(x) F(x) 0 k a ax + k x n ( n ∈ , n 1) 1 ------------ x n + 1 + k n+1 ]–∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[ 1 ----2x 1 – --- + k x ]–∞ ; 0 [ ou ]0 ; + ∞[ 1 ----n- ( n ∈ , n 2) x 1 -+k – ---------------------------( n – 1 ) xn – 1 ]0 ; + ∞[ 1 --x ln ( x ) + k ]0 ; + ∞[ 1 -------x 2 x+k ex ex + k Maths Tle ES ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE ■ 65 Calcul intégral Règles de calcul ● Si F et G sont des primitives des fonctions f et g sur un intervalle I, alors une primitive de f + g sur I est F + G. ● Si λ est un nombre réel fixé et si F est une primitive de f sur I, alors une primitive de λ f sur I est λ F . Fonction f Une primitive de f sur I uu′ 1 2 --- u 2 u n u ′ (n ∈ , n 1) 1 ------------ u n + 1 n+1 u′ -----2 (u ≠ 0 ) u 1 – ---u u′ -----n- (u ≠ 0 ; n ∈ , n 2) u 1 – ----------------------------( n – 1 ) un – 1 u′ ----- (u 0 ) u ln u u′ -------- (u 0 ) u 2 u u ′e u eu © Bordas ● Le tableau suivant est obtenu à partir de la propriété de dérivation d’une fonction composée. Soit u une fonction dérivable sur I de dérivée u ′. EXERCICE Énoncé Soit f et F les fonctions définies sur par : f ( x ) = 3 x 2 + 14 x – 4 et F ( x ) = x 3 + 7 x 2 – 4 x + 9. Démontrer que F est une primitive de f sur . Résolution Il suffit de vérifier que, pour tout x de , F ′ ( x ) = f ( x ). F est un polynôme, donc une somme de fonctions dérivables sur , et a pour dérivée F ′ ( x ) = 3 x 2 + 14 x – 4. Pour tout réel x, F ′ ( x ) = f ( x ), donc F est une primitive de f sur . 66 ■ ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Maths Tle ES