Devoir en temps libre n de Mathématiques 9

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
À rendre pour le Vendredi 27 Mars
Devoir en temps libre no9 de Mathématiques
Exercice 1 La propriété d'absence de mémoire
1. Montrer que si X est une variable aléatoire de loi géométrique, elle vérie la
propriété d'absence de mémoire suivante :
∀k ∈ N, ∀n ∈ N, P (X > n + k|X > n) = P (X > k)
(1)
Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.
2. Dans cette question, on cherche toutes les lois sur N∗ qui vérient la propriété
(1).
Soit X une variable aléatoire qui suit sur N∗ une loi vériant la propriété (1).
On note :
p = P (X = 1) et ∀n > 0, G(n) = P (X > n)
(a) Que vaut G(0) ?
(b) Pour k ∈ N et n ∈ N, donner une relation simple entre G(n + k), G(n)
et G(k).
(c) En déduire que la suite G(n) n∈N est une suite géométrique dont on
déterminera la raison en fonction de p.
(d) Exprimer G(n) en fonction de p et de n.
(e) En déduire la loi de X . Conclure.
[va]
Exercice 2
Partie I : Une variante de la loi géométrique
On considère une suite innie d'épreuves répétées indépendantes. On note l'évènement :
Ri = réussite à la i-ème épreuve et on suppose que la i-ème épreuve peut donner une réussite avec une probabilité
p (0 < p < 1) ou un échec avec une probabilité q = 1 − p. On note X le numéro
(aléatoire) de l'épreuve où l'on observe la deuxième réussite.
1. Écrire les évènements {X = 2}, {X = 3}, {X = 4} à l'aide des Ri et Ri et
calculer leurs probabilités respectives.
2. Calculer P (X = k) pour tout entier k .
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3. Écrire à l'aide des Ri et Ri l'évènement :
A = on n'observe jamais de deuxième succès et montrer que sa probabilité est nulle.
4. Calculer l'espérance de X .
Partie II : Une application pratique Une compagnie de métro pratique les tarifs suivants. Le ticket donnant droit à un
trajet coûte 2 euros. Les amendes sont xées à 40 euros pour la première infraction
constatée, 80 euros pour la deuxième et 400 euros pour la troisième. La probabilité
pour un voyageur d'être contrôlé au cours d'un trajet est supposée constante et
connue de la seule compagnie. Un fraudeur décide de prendre systématiquement le
métro sans payer jusqu'à la deuxième amende et d'arrêter alors de frauder. On note
T le nombre de trajets eectués jusqu'à la deuxième amende (T est le numéro du
trajet où le fraudeur est contrôlé pour la deuxième fois). On note q = 1 − p la
probabilité de faire un trajet sans contrôle.
1. Montrer que la loi de T est donnée par
P (T = k) = (k − 1)p2 q k−2 ,
k > 2.
2. Pour n ∈ N∗ , calculer P (T > n). Indication : on pourra commencer par
chercher une formule explicite pour la somme de la série entière
f (x) =
+∞
X
xk−1 ,
k=n+1
puis pour sa dérivée terme à terme.
3. Calculer numériquement P (T > 60) (pourquoi s'intéresse-t-on à cette quantité ?) lorsque p = 1/10 et p = 1/20.
4. D'un point de vue purement nancier (et donc en dehors de toute considération
de moralité), quel conseil donneriez vous au fraudeur ?
[va]
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