Exercices révision compo 1T Première S 1 Exercices révision compo 1T Première S 2 Exercices révision compo 1T Première S 3 Exercices révision compo 1T Première S Calcul de dérivées 3 1) f(x) = x² + 2x pour x 4 2) f(x) = -5x² + 3 pour x 4 3) f(x) = 2 x – x + 4 pour x + 3 4) f(x) = x + pour x R* x 5) f(x) = 3 pour x * x² + 1 6) f(x) = x–2 pour x \ {3} x-3 7) f(x) = 1 – x + 8) f(x) = 3 pour x * x² x² pour x x² + 1 9) f(x) = -2(x + 1)² pour x 10) f(x) = 3x x pour x + 3x3 3 11) f(x) = + + 2 6 5 12) f(x) = 2 – 3x pour x \ {4}. x-4 13) f(x) = -3x3 + 2x² + 2 pour x 1 -4 14) f(x) = pour x \ 1 – 2x 2 15) f(x) = 2x + 3 + 1 pour x * x 16) f(x) = (3 – 2x)² pour x -1 17) f(x) = pour x \ {1} x-1 4 18) f(x) = 3x3 – x² pour x 5 19) f(x) = 3x pour x \ {-2} x+2 20) f(x) = (x + 1)² pour x 3 4 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION Lien vers animation GeoGebra 1) a) b) Le repère est A,I,J) avec I [AB] et J [AC] et AI = AJ = 1 Une équation de la droite (BC) est : y= Soit : y = c) yC – y B (x – xB) + yB xC – xB 3–0 3 3 (x – 4) + 0 = - (x – 4) = - x + 3 0-4 4 4 Comme M [BC], alors les coordonnées de M (xM ;yM) vérifient la relation 3 yM= - xM + 3. 4 2) a) 3 ² AM² = (xM – xA)² + (yM – yA)² = x² + y² = x² + - x + 3 4 5 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION AM² = x² + 9 25 9 3 x² - 2 x3 + 9 = x² - x + 9 16 16 2 4 36² 144 25 x – + 25 16 25 = 36 36² 144 25 x² - 2x + + 25 25² 25 16 = 25 25 36² 144 36 25 x² - 2 x + + 16 16 25² 25 25 16 = 25 9 81 + 144 x² - x + 16 2 25 = 25 9 x² - x + 9 = AM² 16 2 Donc la forme canonique de Donc f(x) = AM² = b) 36² 144 25 9 25 x – + x² - x + 9 est 25 16 2 16 25 36² 144 25 x – + . 25 16 25 f(x) = a(x - )² + avec a = 25 36 144 ;= et = 16 25 25 Comme a > 0, la fonction polynôme du second degré f admet un minimum en 36 x== . 25 La distance minimale AM correspondante est = 144 . 25 Le point M a alors pour coordonnées : 36 3 36 36 48 = (1,44 ;1,92) ;- +3= ; 25 4 25 25 25 Soit l la longueur ajoutée : (l > 0) (l + 5)² = l² + 10l + 25 (l + 4)² + (l + 3)² = l² + 8l + 16 + l² + 6l + 9 = 2l² + 14l + 25 (l + 5)² - [(l + 4)² + (l + 3)²] = -l² - 4l < 0 (car l > 0). L’égalité de Pythagore ne peut être vérifiée. Donc le nouveau triangle ne sera pas rectangle. 6 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION 1) L’ouvrier touche 89 + 2) a) b) S(t) = 8t + 80 - 89 = 72 + 4 = 76 € 2 80 - 8t = 8t + 40 – 4t = 4t + 40 2 S est une fonction affine de coefficient 4 positif ; donc S est une fonction croissante sur ]0 ;10]. 4t + 40 40 3) a) f(t) = =4+ t t b) 1 La fonction t est décroissante sur ]0 ;10]. t La fonction t 40 est aussi décroissante sur ]0 ;10] car 40 > 0. t Donc la fonction f est décroissante sur ]0 ;10]. c) Il faut résoudre l’équation f(t) = 8 40 40 f(t) = 16 4+ = 16 = 12 t t t= 40 10 = 12 3 L’ouvrier devra travailler environ 3 h 20 min pour doubler son salaire horaire de base. 7 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION 1) Soit Ma ; 1 un point de H. a le coefficient de la tangente en M à H est f’(a) avec f(x) = f’(x) = - 1 x 1 1 ; donc f’(a) = x² a² f’(a) = k Comme k < 0, - 1 =k a² - a² = - 1 k (k < 0 donc k 0) 1 1 > 0, l’équation a² = - admet deux solutions a1 = k k - 1 et a2 = k - 1 k Les deux points de H en lesquels les tangentes en H ont pour coefficients directeur k sont donc : A1 - 1 ;k -k et A2 1 - ; k -k. 2) A1 et A2 sont symétriques par rapport à l’origine du repère O. Lien vers une animation GeoGebra 8 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION 1) La moyenne est x = La variance est V = V 1,797 + 1,813 + …. + 1,817 18,084 = = 1,8084 10 10 (1,797 - T )² + (1,813 - T )² + …. + (1,817 - T )² 0,002196400 0,0002196 10 L’écart-type est = 2) 10 V 0,0148 n - 1 = 10 - 1 = 3 2 20,0148 x 1,8084 – 1,7985 3 n-1 x + 2 n-1 1,8084 + 20,0148 1,8183 3 Donc I95% = [1,7985 ;1,8183] 9 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION Calcul de dérivées 3 1) f(x) = x² + 2x pour x 4 3 3 f’(x) = 2x + 2 = x + 2 4 2 2) f(x) = -5x² + 3 pour x 4 f(x) = - 5 3 x² + 4 4 5 5 f’(x) = - 2x + 0 = - x 4 2 3) f(x) = 2 x – x + 4 pour x + f’(x) = 21 2 x 4) f(x) = x + f’(x) = 1 – 5) f(x) = -1+0= 1 x -1= x–x x 3 pour x R* x 3 x² 3 pour x * x² + 1 1 f(x) = k avec k = 3 et v(x) = x² + 1 v(x) f’(x) = k -v’(x) [v(x)]² Or v’(x) = 2x -2x -6x Donc f’(x) = 3 (x² + 1)² (x² + 1)² 6) f(x) = x–2 pour x \ {3} x-3 f(x) = u(x) avec u(x) = x – 2 et v(x) = x – 3 v(x) f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x) [v(x)]² Or u’(x) = 1 et v’(x) = 1 1(x – 3) – (x – 2)1 -1 Donc f’(x) = = (x – 3)² (x – 3)² 7) f(x) = 1 – x + 3 pour x * x² f(x) = u(x) + v(x) avec u(x) = 1 – x et v(x) = k avec k = 3 et w(x) = x² w(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) w’(x) v’(x) = -k [w(x)]² 10 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION Or u’(x) = -1 et w’(x) = 2x 6x 6 6 – x3 -2x Donc f’(x) = -1 - 3 = - 1 + 4 = - 1 + 3 = x x x3 (x²)² 8) f(x) = x² pour x x² + 1 f(x) = u(x) avec u(x) = x² et v(x) = x² + 1 v(x) f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x) [v(x)]² Or u’(x)= 2x et v’(x) = 2x 2x(x² + 1) – x²2x 2x3 + 2x – 2x3 2x Donc f’(x) = = = (x² + 1)² (x² + 1)² (x² + 1)² 9) f(x) = -2(x + 1)² pour x f(x) = ku(x) avec k = -2 et u(x) = x + 1 f’(x) = k2u’(x)u(x) Or u’(x) = 1 Donc f’(x) = -221(x + 1) = -4(x + 1) 10) f(x) = 3x x pour x + f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = 3x et v(x) = f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) 1 Or u’(x) = 3 et v’(x) = 2 x x 1 3 x 3 x x 3 Donc f’(x) = 3 x3x =3 x+ =3 x+ = 3 x + x 2 x 2 x x 2 2 x 3 9 f’(x) = 3 + x = x 2 2 Autre méthode : f(x) = 3xx1/2 = 3x1 + ½ = 3x3/2 9 9 3 f’(x) =3 x3/2 – 1 = x1/2 = x 2 2 2 11) f(x) = 3x3 3 + + 6 5 2 3 3x² f’(x) = 3x² + 0 + 0 = 6 2 12) f(x) = 2 – 3x pour x \ {4}. x-4 f(x) = u(x) avec u(x) = 2 – 3x et v(x) = x – 4 v(x) f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x) [v(x)]² Or u’(x) = -3 et v’(x) = 1 -3(x – 4) – (2 – 3x)1 -3x + 12 – 2 + 3x 10 Donc f’(x) = = = (x – 4)² (x – 4)² (x – 4)² 11 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION 13) f(x) = -3x3 + 2x² + 2 pour x f’(x) = -33x² + 22x + 0 = - 9x² + 4x 1 -4 14) f(x) = pour x \ 1 – 2x 2 1 f(x) = k avec k = -4 et v(x) = 1 - 2x v(x) f’(x) = k -v’(x) [v(x)]² Or v’(x) = -2 Donc f’(x) = -42 -8 = (1 – 2x)² (1 – 2x)² 15) f(x) = 2x + 3 + f(x) = 2 + 0 – 1 pour x * x 1 2x² - 1 = x² x² 16) f(x) = (3 – 2x)² pour x f(x) = [u(x)]² avec u(x) = 3 – 2x f’(x) = 2u’(x)u(x) Or u’(x) = -2 Donc f’(x) = 2(-2)(3 – 2x) = -4(3 – 2x) 17) f(x) = -1 pour x \ {1} x-1 1 f(x) = k avec k = -1 et v(x) = x – 1 v(x) f’(x) = k -v’(x) [v(x)]² Or v'(x) = 1 1 -1 Donc f’(x) = -1 = (x – 1)² (x - 1)² 4 18) f(x) = 3x3 – x² pour x 5 4 8 f(x) = 33x² - 2x = 9x² - x 5 5 19) f(x) = 3x pour x \ {-2} x+2 f(x) = u(x) avec u(x) = 3x et v(x) = x + 2 v(x) f’(x) = u’(x)v(x) – u(x)v’(x) [v(x)]² Or u’(x) = 3 et v’(x) = 1 12 Exercices révision compo 1T Première S CORRECTION Donc f’(x) = 20) f(x) = 3(x + 2) – 3x1 3x + 6 – 3x 6 = = (x + 2)² (x + 2)² (x + 2)² (x + 1)² pour x 3 f(x) = k[u(x)]² avec k = 1 et u(x) = x + 1 3 f’(x) = k2u’(x)u(x) Or u’(x) = 1 1 2 Donc f’(x) = 21(x + 1) = (x + 1) 3 3 13