Leçon 204: Connexité: exemples et applications

Leçon 204: Connexité: exemples et applications
Adrien Fontaine
23 décembre 2012
1
Table des matières
1 Généralités
1.1 Définitions et premières propriétés
1.2 Stabilité de la notion de connexité
1.3 Composantes connexes . . . . . .
1.4 Exemples de connexes . . . . . .
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3
3
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5
2 Application de la notion de connexité
2.1 En Analyse complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 En calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 En algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
1 GÉNÉRALITÉS
1
Généralités
1.1
Définitions et premières propriétés
Proposition 1
Soit (E, d) un espace métrique. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Il n’existe pas de partition de E en deux ouverts disjoints non vides.
2. Il n’existe pas de partition de E en deux fermés disjoints non vides.
3. Les seules parties ouvertes et fermées de E sont ∅ et E.
Démonstration : Gourdon , proposition 1p38
Définition 1
Un espace métrique vérifiant l’une des assertions de la proposition précédente est dit connexe.
Parties connexes : Soit (E, d) un espace métrique et A une partie de E. On munit A de la
distance d induite sur A. On veut savoir à quelle condition A est connexe. Les propriétés de la
topologie induite sur A entraînent facilement le résultat qui suit :
Proposition 2
La partie A de E est connexe si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est réalisée :
1. Si A ⊂ O1 ∪ O2 , où O1 et O2 sont des ouverts de E vérifiant A ∩ O1 ∩ O2 = ∅, alors
(A ∩ O1 = ∅ et A ⊂ O2 ) ou (A ∩ O2 = ∅ et A ⊂ O1 )
2. Si A ⊂ F1 ∪ F2 , où F1 et F2 sont des fermés de E vérifiant A ∩ F1 ∩ F2 = ∅, alors
(A ∩ F1 = ∅ et A ⊂ F2 ) ou (A ∩ F2 = ∅ et A ⊂ F1 )
Exemple 1
L’ensemble Q des rationnels n’est pas un connexe de R car si on se donne a ∈ R \ Q, on a
Q ⊂] − ∞, a[∪]a, +∞[.
1.2
Stabilité de la notion de connexité
Théorème 1
Soit f : (E, d) → (E 0 , d0 ) une application continue. Si E est connexe alors f (E) est connexe.
Démonstration : Gourdon, théorème 1p39
On note D = {0, 1} muni de la distance discrète δ (distance de Kronecker). L’espace métrique
(D, δ) n’est pas connexe puisque D = {0} ∪ {1} est réunion de deux fermés disjoints. Grâce à cet
espace métrique, nous allons donner une caractérisation commode des connexes.
Proposition 3
Un espace métrique (E, d) est connexe si et seulement si toute application continue f (E, d) →
4
1 GÉNÉRALITÉS
(D, δ) est constante.
Démonstration : Gourdon, proposition 3p39
Proposition 4
Soit A une partie connexe d’un espace métrique (E, d). Si une partie B de E vérifie A ⊂ B ⊂ Ā,
alors B est connexe.
Démonstration : Gourdon, proposition 4p40
Dans le cas général, une réunion de connexes n’est pas connexe (par exemple, {0} et {1} sont
connexes dans R mais {0, 1} n’est pas connexe. On a cependant le résultat qui suit :
Proposition 5
Soit (Ci )i∈I une famille de connexes d’un espace métrique (E, d) telle que
∃i0 ∈ I, ∀i ∈ I Ci ∩ Ci0 6= ∅
Alors ∪i∈I est connexe.
Démonstration : Gourdon, proposition 5p40
Remarque 1
Si (Ci )i∈I est une famille de connexes telle que ∩i∈I Ci 6= ∅, alors ∪i∈I Ci est connexe (si
x ∈ ∩i∈I Ci , tous ces connexes ont une intersection non vide avec le connexe {x}).
Dans le cas dénombrable, on a également le résultat qui suit :
Proposition 6
Soit (Ci )i∈I une famille au plus dénombrable de connexes telle que pour tout i ∈ I, i 6= 0,
Ci ∩ Ci−1 6= ∅. Alors ∪i∈I Ci est connexe.
Démonstration : Gourdon, proposition 6p40
Proposition 7
Soient (E1 , d1 ), ..., (En , dn ) des espaces métriques (en nombre fini). L’espace produit E = E1 ×
... × En est connexe si et seulement si Ei est connexe pour tout i.
Démonstration : Gourdon, proposition 7p40
1.3
Composantes connexes
Soit (E, d) un espace métrique. On considère sur (E, d) la relation
(xRy) ⇔ (∃C connexe de E tel que x ∈ C et y ∈ C)
Alors R est une relation d’équivalence. Si x ∈ E, sa classe d’équivalence, notée ẋ, est la réunion
des connexes contenant x. C’est un connexe (en effet, tous les connexes contenant x ont tous une
intersection non vide avec le connexe {x}). L’ensemble ẋ s’appelle une composante connexe de E.
5
1 GÉNÉRALITÉS
Les composantes connexes de E forment donc une partition de E. L’espace métrique E est connexe,
si et seulement si, il n’a qu’une seule composante connexe.
Les composantes connexes de E sont des fermés de E.
1.4
Exemples de connexes
Théorème 2
Les parties connexes de R sont les intervalles de R.
Démonstration : Un connexe de R est un intervalle. En effet, si C ⊂ R n’est pas un intervallen il
existe (a, b) ∈ C 2 et x ∈ R tels que a < x < b et x ∈
/ C. Mais alors C ⊂] − ∞, x[⊂]x, +∞[, donc
C n’est pas connexe.
Réciproquement, montrons qu’un intervalle I de R est connexe.
Si I est un singleton c’est immédiat. Si I]a, b[, considérons une application continue f : I → {0, 1}.
Si f n’est pas constante, il existe x < y ∈ I tels que f (x) 6= f (y), par exemple f (x) = 0 et f (y) = 1.
On considère alors l’ensemble :
Γ = {z ∈ I, z ≥ x et ∀t ∈ [x, z], f (t) = 0}
L’ensemble Γ est non vide car x ∈ Γ. De plus γ est majoré par y. Soit c = sup Γ. Comme f est
continue, f (c) = 0. De même, f étant continue en c :
∃ε > 0, ∀t ∈ [c, c + ε], δ(f (t), f (c)) <
1
2
d’où pour tout t ∈ [c, c + ε], f (t) = 0, ce qui montre que c + ε ∈ Γ. Absurde par définition de c.
Donc, f est constante et I est connexe. Tout intervalle I de R étant compris entre un intervalle
ouvert et son adhérence, on en conclut d’après la proposition 4 que tout intervalle de R est
connexe.
On en déduit le théorème suivant, fondamental en analysé réelle :
Théorème 3 (Théorème des valeurs intermédiaires)
Soit I un intervalle de R et f : I → R une application continue. Alors f (I) est un intervalle.
Démonstration : Le théorème précédent assure la connexité de I, donc f (I) est connexe d’après le
théorème 2 et donc c’est un intervalle.
Connexité par arcs :
Définition 2
Soit (E, d) un espace métrique. On appelle chemin de E toute application γ : [0, 1] → (E, d),
continue. L’image γ([0, 1]) du chemin s’appelle un arc, γ(0) l’origine de l’arc et γ(1) son extrémité.
Définition 3
Soit (E, d) un espace métrique. On dit que (E, d) est connexe par arcs si pour tout (a, b) ∈ E 2 ,
il existe un arc inclus dans E d’origine a et d’extrémité b.
Théorème 4
Un espace connexe par arcs est connexe.
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
6
Démonstration : Gourdon, théorème 4p42
Remarque 2
1. Ainsi, un convexe étant clairement connexe par arcs est connexe.
2. La réciproque du théorème est fausse. En effet, si on considère Γ le sous-ensemble de R2
défini par :
[
[
Γ = [ ({x} × R+ )] ∪ [ ({x}×] − ∞, 0[)]
x∈Q
est un connexe de R2 qui n’est pas connexe par arcs. (Gourdon, exercice 5p44).
2
Application de la notion de connexité
2.1
En Analyse complexe
Théorème 5
Soit γ un chemin fermé (γ(0) = γ(1)) continument différentiable par morceaux, Ω le complémentaire de l’arc γ relativement au plan complexe, et définissons
1 Z dζ
∀z ∈ Ω, Indγ (z) =
2πi γ ζ − z
La fonction γ est une fonction à valeurs entières sur Ω constante sur chaque composante
connexe de Ω, nulle sur la composante connexe non bornée de Ω.
Démonstration : Rudin, théorème 10.10p247
Théorème 6 (Théorème de Cauchy pour un triangle)
Soit ∆ un triangle fermé, inclus dans un ouvert Ω du plan. Soit p ∈ Ω et soit f une fonction
continue sur Ω telle que f ∈ H(Ω \ {p}). On a :
Z
f (z)dz = 0
∂∆
Démonstration : Rudin, théorème 10.13p249
Théorème 7 (Théorème de Cauchy pour un ensemble convexe)
Soit Ω un ouvert convexe, p ∈ Ω, f continue sur Ω et f ∈ H(Ω \ {p}). On a pour tout chemin
fermé continument différentiable γ dans Ω,
Z
γ
Démonstration : Rudin, théorème 10.14p250
f (z)dz = 0
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
7
Théorème 8 (Formule de Cauchy pour un ensemble convexe)
Soit γ un chemin fermé dans un ouvert convexe Ω, et soit f ∈ H(Ω). Si z ∈ Ω et si z ∈
/ Im(γ),
on a :
1 Z f (ξ)
f (z).Indγ (z) =
dξ
2πi γ ξ − z
Démonstration : Rudin, théorème 10.15p250
Conséquence : Pour tout ouvert Ω du plan, toute f ∈ H(Ω) est analytique.
Théorème 9 (Théorème des zéros isolés)
Soit Ω un ouvert connexe et soit f ∈ H(Ω). Posons,
Z(f ) = {a ∈ Ω/f (a) = 0}
Alors ou bien Z(f ) = Ω ou bien Z(f ) n’a pas de point d’accumulation dans Ω. De plus, Z(f )
est au plus dénombrable.
Démonstration : Rudin théorème 10.18p251
En d’autres termes, une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω est déterminée par ses
valeurs sur tout ensemble qui possède un point d’accumulation dans Ω. Ceci est un important
théorème d’unicité.
Remarque 3
Le théorème est en défaut si nous oublions l’hypothèse de connexité de Ω. Si Ω = Ω1 ∪ Ω2 , où
Ω1 et Ω2 sont deux ouverts disjoints, il suffit de poser f = 0 sur Ω1 et f = 1 sur Ω2 .
Théorème 10 (Théorème du maximum)
Soient Ω un domaine, f ∈ H(Ω) et B̄(a, r) ⊂ Ω où r > 0. Alors
| f (a) |≤ max | f (a + reiθ ) |
θ
et il y a égalité si et seulement si f est constante sur Ω.
Démonstration : Rudin théorème 10.24p254
Par conséquent, à moins que f ne soit constante, | f | ne possède pas de maximum local en un
point quelconque de Ω. Une conséquence immédiate de ce théorème est le fameux théorème de
d’Alembert Gauss :
Théorème 11 (Théorème de d’Alembert Gauss)
Tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine complexe.
Démonstration : Rudin, théorème 10.25p255
Enfin, citons le théorème de l’image ouverte :
Théorème 12 (Théorème de l’image ouverte)
Si f ∈ H(Ω) lorsque Ω est un ouvert connexe, alors ou bien f (Ω) est un ouvert connexe, ou
bien c’est un point.
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
8
Démonstration : Rudin, théorème 10.32p258
2.2
En calcul différentiel
Proposition 8
Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f : U → F différentiable sur un ouvert U de
E.
1. Si U est un ouvert convexe de E et si k Df (x) kL(E,F ) ≤ k pour tout x ∈ U (où k est une
constante positive), alors l’application f est k-lipschitzienne sur U , c’est à dire
k f (x) − f (y) kF ≤ k k x − y kE
2. Si U est un ouvert connexe de E et si Df (x) = 0 pour tout x ∈ U alors f est constante
sur U .
développement :
Théorème 13 (Hadamard-Lévy)
Soit f une application de classe C 1 de Rn dans lui même. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. f est un difféomorphisme de Rn sur Rn .
2. f est propre et, pour tout x ∈ Rn , la matrice jacobienne Df (x) est inversible.
Une application est dite propre si l’image réciproque de tout compact est compacte. Lorsque Rn
est l’espace de départ et d’arrivée, cela revient à dire que k f (x) k tend vers l’infini quand k x k
tend vers l’infini.
Démonstration : La preuve de ce résultat n’est pas simple, cependant si f est de classe C 2 , il y a
une preuve abordable que l’on présente ici. On suppose donc désormais que f est de classe C 2 .
– 2) ⇒ 1) : f −1 étant continue, elle envoie un compact sur un compact donc f est propre.
Ensuite, comme f −1 ◦ f = Id, on a d(f −1 )(f (x)) ◦ df (x) = Id, donc df est inversible en tout
point.
– 1. Montrons que f est surjective.
Pour cela on montre que f (Rn ) est un ouvert/fermé de Rn et donc que f (Rn ) = Rn
par connexité de Rn .
Soit y0 ∈ f (Rn ) et x0 ∈ Rn tel que f (x0 ) = y0 . D’après le théorème d’inversion locale,
f est un difféomorphisme d’un voisinage V de x0 sur un voisinage W de y0 , alors
W = f (V ) ⊂ f (Rn ), donc f (Rn est ouvert.
Soit (yk )k∈N ∈ f (Rn )N telle que yk → y ∈ Rn quand k → ∞. Posons K = {yk , k ∈
N} ∪ {y} qui est un compact de Rn . Soit (xk )k∈N tel que f (xk ) = yk pour tout k, on
a xk ∈ f −1 (K) qui est un compact puisque f est propre. Il existe donc une sous-suite
convergente xki → x dans Rn quand i → ∞. Alors par continuité de f , yki = f (xki ) →
f (x) ∈ f (Rn ) d’où par unicité de la limite y = f (x) ∈ f (Rn ), ce qui montre que f (Rn )
est fermé.
2. Montrons que f est injective.
C’est ici que l’on va utiliser l’hypothèse f ∈ C 2 .
Soit x0 ∈ Rn . On considère la fonction g(x) = f (x) − f (x0 ). Elle vérifie les deux
conditions de 2) à savoir g propre et le déterminant du jacobien est partout non nul.
Il nous faut montrer que l’ensemble S = {x/g(x) = 0} est réduit à un point {x0 }.
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
9
(a) S a un nombre fini d’éléments.
En effet, S est compact car g est propre (S = g −1 ({0})). Si S avait un nombre
infini d’éléments (xk ), il y aurait dans S un point d’accumulation q. Comme |
Jacq (g) |6= 0, il existe un voisinage V de q tel que g soit un difféomorphisme de V
sur h(V ). En particulier, g est injective. Or, dans V , il y a au moins un xk 6= q et
on a g(xk ) = g(q) = 0 ce qui contredit l’injectivité de g.
(b) Notons S = {p1 , ..., pN }. On va montrer que N = 1.
On considère la fonction
F (x) = [dg(x)]−1 g(x)
Cette fonction est bien définie et de classe C 1 sur Rn par hypothèse sur f . On
introduit alors le système différentiel suivant :
(
ẋ(t)
x(0)
= −F (x(t))
=q
où q ∈ Rn . On appelle alors trajectoire issue de q une solution du problème de
Cauchy ci-dessus. Puisque F ∈ C 1 , ce problème admet une solution maximale
définie sur [0, T ∗ [. Soit x une telle solution.
Assertion 1 : T ∗ = +∞.
En effet, pour t ∈ [0, T ∗ (, on a :
d
[g(x(t))] = dg(x(t))ẋ(t)
dt
= −dg(x(t))(dg(x(t)))−1 g(x(t))
= −g(x(t))
Donc, g(x(t)) = e−t g(q) ≤ g(q) car t ≥ 0. Donc, x(t) ∈ g −1 ([−g(q), g(q)]) qui est
un compact car g est propre. Donc, T ∗ d’après le lemme de sortie de tout compact
(ou théorème de majoration a priori).
Assertion 2 : Chaque pi est un point asymptotiquement stable. Autrement dit,
F (pi ) = 0 et ∃δ > 0 tel que si x est une trajectoire issue de q telle que | q − pi | δ
alors limt→+ inf x(t) = pi .
On a tout d’abord F (pi ) = [dg(pi )]−1 g(pi ) = 0 car g(pi ) = 0.
Ensuite, g est un difféomorphisme d’une boule B(pi , δ) sur un voisinage V de 0.
Soit ε > 0 tel que B(0, ε) ⊂ V , y ∈ B(0, ε) et posons q = g −1 (y) ∈ B(pi , δ). La
fonction x(t) = g −1 (e−t q) est la trajectoire issue de q. En effet, x(0) = g −1 (y) = q
et
ẋ(t) = d(g −1 )(e−t y)(−e−t y)
= −d(g −1 )(g(x(t))g(x(t))
= −[dg(x(t))]−1 g(x(t))
= −F (x(t))
C’est donc par unicité la trajectoire issue de q. Mais alors, limt→+∞ x(t) = limt→+∞ g −1 (e−t y) =
g −1 (0) = pi .
Soit Wi l’ensemble des points q ∈ Rn tel que la trajectoire issue de q converge vers
pi quand t → +∞.
S
Assertion 3 : Rn = N
i=1 Wi
n
Soit q ∈ R et x(t) la trajectoire issue de q. On a vu dans l’assertion 1, que x(t)
reste dans un compact pour tout t ≥ 0. Il existe donc tk → +∞ telle que x(tk )
converge vers l. Mais donc g(l) = 0 (car g(x(t)) = e−t g(q)), donc l = pi pour un
10
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
certain i.
Fixons k0 assez grand pour que x(tk ) ∈ B(pi , δ) où δ est défini dans l’assertion 2. Alors la trajectoire y(t) issue de x(tk0 ) converge vers pi . Or, la fonction
z(t) = x(t + tk0 ) est aussi trajectoire issue de x(tk0 ). Par unicité globale, on a
x(t + tk0 ) = y(t) et donc x(t) → pi lorsque t → +∞.
Assertion 4 : Chaque Wi est ouvert.
Soit q ∈ Wi et x(t) la trajectoire issue de q. Il existe par définition de Wi , T > 0
tel que | x(T ) − pi |≤ δ/2. Soit y la trajectoire issue de q 0 ∈ Rn . Par continuité des
solutions par rapport aux conditions initiales, il existe ε > 0 tel que | q − q 0 |≤ ε
implique | x(T ) − y(T ) |≤ δ/2. Alors
| y(T ) − pi |≤| y(T ) − x(T ) | + | x(T ) − pi |≤ δ
Il résulte de l’assertion 2 que y(t) converge vers pi lorsque t → +∞, i.e q 0 ∈ Wi et
B(q, ε) ⊂ Wi donc Wi est ouvert.
Assertion 5 : N = 1
Chaque Wi est un ouvert non vide et Wi ∩ Wj = ∅ si i 6= j (si N ≥ 2), et
Rn = ∪N
i=1 Wi .
Si N ≥ 2, cela contredit la connexité de Rn . Donc, N = 1 !
On peut aussi parler, si on est à l’aise avec ça, des principes du maximum faibles et forts (voir
Zuily-Queffelec p463-469).
2.3
En algèbre
Théorème 14 (Surjectivité de l’exponentielle)
Soit A ∈ GLn (C), alors il existe P ∈ C[X] tel que A = exp(P (A)). En particulier, l’application
exponentielle de Mn (C) dans Gln (C) est surjective.
Démonstration : On considère la sous-algèbre C[A] de Mn (C) engendrée par A. C’est une algèbre
commutative de dimension finie sur C, isomorphe à C[X]/(Π) avec Π le polynôme minimal de A.
Comme C[A] est un sous-espace vectoriel de dimension finie, il est fermé dans Mn (C) et donc pour
M ∈ C[A], exp(M ) étant la limite d’une suite de polynômes en M (et donc en A), on M ∈ C[A].
De plus, on a également exp(M )−1 ∈ C[A] car exp(M )−1 = exp(−M ).
Comme C[A] est une algèbre commutative, on en déduit que exp réalise un morphisme de groupes
de (C[A], +) dans (C[A]× , .).
On va maintenant montrer que l’image exp(C[A]) est un ouvert fermé de C[A]× . Pour H ∈ C[A],
on a :
exp(0 + H) = In + H + o(H 2 )
Donc, exp est différentiable en 0 ∈ C[A] et sa différentielle en 0 est l’identité qui est inversible.
On peut donc appliquer le théorème d’inversion locale : il existe un voisinage ouvert V0 de 0 et V
un voisinage ouvert de l’identité, tels que exp réalise un difféomorphisme de V0 dans V .
1. exp(C[A]) est ouvert dans (C[A]× , .) : Soit M ∈ C[A]× , comme In ∈ V , on a M ∈ M V ⊂
exp(C[A]) ⊂ C[A]. Par continuité de (M, M 0 ) 7→ M M 0 , il vient que M V est un voisinage
ouvert de M , inclus dans exp(C[A]). Donc, exp(C[A]) est un voisinage ouvert de chacun de
ses points, donc c’est un ouvert.
2. exp(C[A]) est fermé dans (C[A]× , .) : On peut écrire
c
exp(C[A]) =
[
M ∈exp(C[A])
/
MV
2 APPLICATION DE LA NOTION DE CONNEXITÉ
11
Comme M V est ouvert pour tout M , c exp(C[A]) est ouvert, et le résultat est montré.
Il nous reste à montrer que C[A]× est connexe pour conclure.
Soient M et N dans C[A]× . Soit P (X) = det(XM +(1−N )X), on note CM,N = C\{zéros de P }.
L’ensemble des zéros de P étant en nombre fini, CM,N est un ensemble connexe. L’image de CM,N
par l’application continue z 7→ zM + (1 − z)N est donc une connexe de C[A]× contenant M et
N , donc C[A]× est connexe.
En conclusion, exp(C[A]) est un ouvert-fermé de C[A]× qui est connexe, donc exp(C[A]) = C[A]× .
Proposition 9
GLn (C) est connexe.
Démonstration : Mneimné-Testard, 1.5.1p17
Corollaire 1
L’ensemble des projecteurs de rang p de Mn (C) est connexe.
Démonstration : Mneimné-Testard, 1.5.2p17
Proposition 10
Le groupe GL+
n (R) est connexe.
Démonstration : Mneimné-Testard, 2.6.1p33
Corollaire 2
−
Le groupe GLn (R) a deux composantes connexes homéomorphes, qui sont GL+
n (R) et GLn (R).
Démonstration : 2.6.2p34