EXERCICE 2 : VRAI

E XERCICE 1
1. Ecrire la division euclidienne de 500 par 17.
2. Ecrire la division euclidienne de −500 par 17.
3. Le quotient d’un entier naturel A dans sa division euclidienne par 3 est 7.
Quels sont les restes possibles ? En déduire toutes les valeurs de A possibles.
4. Déterminer les entiers naturels n qui divisés par 4 donnent un quotient égal au reste.
E XERCICE 2 : VRAI - FAUX ( 5 PTS )
On considère deux nombres entiers naturels a et b.
On suppose que la division euclidienne de a par b s’écrit a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier votre réponse.
Affirmation 1 : 2r est le reste de la division euclidienne de 2a par b
Affirmation 2 : 2r est le reste de la division euclidienne de 2a par 2b
Affirmation 3 : −r est le reste de la division euclidienne de −a par b
E XERCICE 3 ( 5 PTS )
On considère deux nombres entiers relatifs a et b.
On appelle combinaison linéaire entière de a et b toute expression de la forme
u × a + v × b où u et v sont des nombres entiers relatifs.
Par exemple −3a + 5b est une combinaison linéaire entière de a et b
1. Soit d un nombre entier relatif.
Montrer que si d divise a et d divise b
alors
d divise toute combinaison linéaire de a et b
2. En déduire tous les nombres entiers relatifs tels que :
(n + 3) divise (100n + 308)
3. UU Déterminer de même tous les nombres entiers relatifs tels que :
(n + 1) divise n2 + 3n + 13 UU
1
E XERCICE 4 ( 5 PTS )
1. L’algorithme ci-dessous affiche la somme des diviseurs d’un nombre entier N .
Compléter les parties manquantes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
VARIABLES
N EST_DU_TYPE NOMBRE
S EST_DU_TYPE NOMBRE
j EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE .............
S PREND_LA_VALEUR .................
POUR j ALLANT_DE ..................
DEBUT_POUR
SI (...............) ALORS
DEBUT_SI
S PREND_LA_VALEUR .............
FIN_SI
FIN_POUR
AFFICHER S
FIN_ALGORITHME
2. Jo la science a utilisé ce programme , il a entré un nombre N et il s’aperçoit que le programme affiche
le nombre N + 1
Que peut on dire du nombre N ?
3. Jo la science, que rien n’arrête a essayé le programme avec N = 2100
Quelle valeur le programme a-t-il affichée ?
Formulaire
Pour tout nombre 6= 1 :
1 + q + q2 + · · · · · · · · · + qn =
2
q n+1 − 1
q−1
E XERCICE 1 : CORRECTION
1. Division euclidienne de 500 par 17 :
2. Division euclidienne de −500 par 17 :
500 = 29 × 17 + 7
−500 = −30 × 17 + 10
3. Le quotient d’un entier relatif A dans sa division euclidienne par 3 est 7.
Les restes possibles sont :
0 , 1 ou 2
Les valeurs de A possibles sont :
A = 3 × 7 + 0 = 21 ; A = 3 × 7 + 1 = 22 ; A = 3 × 7 + 2 = 23
4. Entiers naturels n qui divisés par 4 donnent un quotient égal au reste.
Les entiers naturels n cherchés sont de la forme : n = 4r + r = 5r avec 0 ≤ r < 4
Il y a donc 4 possibilités : 0; 5; 10; 15
3
E XERCICE 2 : C ORRECTION
On considère deux nombres entiers naturels a et b.
On suppose que la division euclidienne de a par b s’écrit a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Affirmation 1 : FAUSSE
2r est le reste de la division euclidienne de 2a par b
Contre-exemple : la division euclidienne de 10 par 4 s’écrit : 10 = 2 × 4 + 2
Mais : la division euclidienne de 20 par 4 s’écrit : 20 = 5 × 4 + 0 et 0 n’est pas égal à 2 × 2
En fait : a = b × q + r donne bien 2a = b × 2q + 2r
Mais la condition 0 ≤ r < b ne donne pas tooujours 0 ≤ 2r < b
Affirmation 2 : VRAIE
2r est le reste de la division euclidienne de 2a par 2b
On a a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Donc : 2a = 2b × q + 2r
Et : 0 ≤ r < b donne 0 ≤ 2r < 2b
Affirmation 3 : FAUSSE
−r est le reste de la division euclidienne de −a par b
Un reste est toujours positif ou nul
4
E XERCICE 3 : C ORRECTION
On considère deux nombres entiers relatifs a et b.
1. Soit d un nombre entier relatif.
On suppose que d divise a et d divise b
On a donc : il existe deux nombres entiers relatifs p et q tels que : a = d × p et b = d × q
Donc pour tout u et v entiers relatifs : u × a + v × b = u × d × p + v × d × q = d × (up + vq)
Or up + vq est un entier relatif
Donc :
d divise toute comninaison linéaire de a et b
2. Nombres entiers relatifs tels que :
(n + 3) divise (100n + 308)
(n + 3) divise 100(n + 3) et (100n + 308) donc :
(n + 3) divise (100n + 308) − 100(n + 3) = 8
Les diviseurs de 8 étant −8 ; −4 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 4 et 8
On obtient :
n = −11 ; n = −7 ; n = −5 ; n = −4 ; n = −2 ; n = −1 ; n = 1 ; n = 5
3. Nombres entiers relatifs tels que : (n + 1) divise n2 + 3n + 13
(n + 1) divise (n + 1)2 et n2 + 3n + 13 donc :
(n + 1) divise n2 + 3n + 13 − n2 − 2n − 1 = n + 12
Donc : (n + 1) divise (n + 12) − (n + 1) = 11 Les diviseurs de 11 étant −11 ; −1 ; 1 et 11
On obtient :
n = −12 ; n = −2 ; n = 0 ; n = 10
5
E XERCICE 4 ( 5 PTS )
1. L’algorithme ci-dessous affiche la somme des diviseurs d’un nombre entier N .
Compléter les parties manquantes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
VARIABLES
N EST_DU_TYPE NOMBRE
S EST_DU_TYPE NOMBRE
j EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE N
S PREND_LA_VALEUR 0
POUR j ALLANT_DE 1 à N
DEBUT_POUR
SI (N % j ==0) ALORS
DEBUT_SI
S PREND_LA_VALEUR S+j
FIN_SI
FIN_POUR
AFFICHER S
FIN_ALGORITHME
2. Jo la science a utilisé ce programme , il a entré un nombre N et il s’aperçoit que le programme affiche
le nombre N + 1
Le nombre N n’admet que deux diviseurs N et 1
Il est donc premier
3. Jo la science, que rien n’arrête a essayé le programme avec N = 2100
Les diviseurs de 2100 sont toutes les puissances de 2 jusqu’à 2100
i=100
X
2101 − 1
La somme des diviseurs est donc donnée par :
2i =
2−1
i=0
C’est à dire :
2101 − 1
Formulaire
Pour tout nombre 6= 1 :
1 + q + q2 + · · · · · · · · · + qn =
6
q n+1 − 1
q−1