Examen de Relativité - Espace d`authentification univ
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Université de Bretagne Occidentale UFR Sciences & Techniques Licence 1ère année Parcours 3 Mai 2013 durée : 1 heure 30 Examen de Relativité Calculatrices autorisées. Bonne chance, bon courage! 1. Soient deux vecteurs, et , dans le plan Oxy. On effectue une transformation passive, par exemple, en tournant les axes Ox et Oy d’un angle θ autour de l’axe Oz. Quelle proposition est correcte ? (a) les composantes des vecteurs changent mais les vecteurs sont les mêmes, et donc leur produit scalaire est invariant. (b) tout reste invariant : les composantes des vecteurs, et leur produit scalaire ne changent pas. (c) les composantes des vecteurs reste invariantes mais leur produit scalaire change. 2. Soit un vecteur de l'espace euclidien a trois dimensions . Un nouveau vecteur est obtenu par une rotation d’un angle θ autour de l'axe des z (transformation active). Ecrire sous forme matricielle les composantes de en fonction de celles de . 3. L'expérience de Michelson et Morley était significative parce qu'elle a montré que : (a) l'effet du mouvement de la terre sur la vitesse de la lumière a pu être mis en évidence. (b) la vitesse de la terre est toujours moins grande que celle de la lumière. (c) la vitesse de la lumière est indépendante du mouvement de l'observateur (d) la terre a une accélération absolue. Laquelle de ces propositions est-elle correcte ? 4. L'énergie totale relativiste d'une particule de masse au repos m et de vitesse v peut être écrite comme où , . Utilisez un développement en série pour en fonction de β, ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre (négligez , ). Montrez qu'il y reste alors un terme constant plus un deuxième terme qui dépend de la vitesse. Interprétez le deuxième terme. 5. Utilisez 343.4 m/s pour la vitesse du son. (a) Un jour sans vent Usain Bolt court à 10 m/s vers une cloche qui émet un son de fréquence 261.6 Hz. Mais Bolt remarque que le son apparaît aigu. Calculer la fréquence qu'il entend. (b) Le lendemain il y a un vent de 10 m/s. Bolt cours à 10m/s vers la même cloche avec le vent dans le dos (l'air apparaît stationnaire autour de lui). Mais Bolt remarque que le son de la cloche apparaît même un petit peu plus aigu que la veille. Calculer la fréquence qu'il entend. 6. On considère deux référentiels, R et R’ dont les axes sont parallèles et dont les origines coïncident à l’instant t’ = t = 0. Le référentiel R’ se déplace à la vitesse constante v par rapport à R et le mouvement relatif est dans la direction Oy. Ecrire la transformation de Lorentz donnant les composantes d’un quadrivecteur du référentiel R’ en termes des composantes mesurées dans R. 7. J'ai deux fils, Red et Kas. Chacun a un vaisseau spatial. Un jour, à disons , Red quitte à la vitesse dans le sens positif de l'axe Ox, et Kas part à la même vitesse mais dans l'autre sens. Moi je reste à la maison, l'origine de mon système des coordonnées. (a) Quelle est la vitesse relative entre Kas et Red (mesuré par Red)? (b) Faire le diagramme de Minkowski avec l'axe des t vertical, l'axe des x horizontal, et tracer ma ligne d'univers et celles de mes deux fils. On peut poser . (c) Red émet deux signaux lumineux vers Kas. Montrer les deux signaux sur le diagramme de Minkowski. (d) J'ai deux horloges stationnaires et synchronisées dans mon référentiel, l’une en , l'autre en m. La montre de Red lit quand il part à . Quel temps indique-telle lorsque Red se trouve à la position de la deuxième horloge ? 8. Considérer un référentiel, R, avec un système des coordonnées cartésiennes et un autre référentiel, R', dont l'origine se déplace avec un vitesse constante, . Ecrire la transformation de Lorentz qui donne les composantes d’un quadrivecteur dans R en fonction de celles d’un quadrivecteur dans R’. Indice : Utiliser une rotation pour retrouver la configuration standard, puis une transformation de Lorentz, puis une rotation dans le sens inverse. Ne pas développer tous les produits matriciels ; indiquez le produit des trois matrices correctes.
