1 1. Ecrire chaque fraction sous la forme de fraction irréductible. 2

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Master 1 : 1 semestre : EC 9A : éléments de mathématique – 4h cours et TP - TD - JA
EXERCICES : C H 4 : E LEMENTS D’ARITHMETIQUE DANS L ’ENSEMBLE DES NATURELS
1. Ecrire chaque fraction sous la forme de fraction irréductible.
a
310
216
b
96
352
c
75
105
2. Déterminer le PGCD (18 ; 30)
Déterminer la liste des diviseurs de 18 ; de 30
Donner le nombre de diviseurs de 18 ; de 30
3. Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 7200 roses et 10800 tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous
identiques composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs.
Quel est le plus grand nombre de tels bouquets peut-il composer ?
4. 15 est un diviseur de l’entier a
Dans chacun des cas suivants, déterminer si 15 est aussi un diviseur de l’entier b. Justifier
b= a + 45 ;
b= a + 38
; b= a + 135
5. Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste.
Lorsqu’ils se regroupaient par 2, il en restait 1 tout seul ; lorsqu’ils se regroupaient par 3 il en restait 2 ; par
4, il en restait 3 ; par 5, il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100.
Combien y en avait-il ?
6. a) Vérifier que le nombre 358358 est divisible par 13. On appelle a le quotient.
b) vérifier que a est divisible par 11. On appelle b le quotient.
c) vérifier que b est divisible par 7 . Quel est le quotient ?
d) reprendre les questions précédentes avec/ 731731 ; 824824.
e) expliquer
7. Sans déterminer les diviseurs de chacun des nombres, prouver que les nombres 25127 et 25131 n’ont
pas de diviseur commun autre que 1.
9. A 12h 15 min, on voit apparaître simultanément deux signaux lumineux : un bleu, un rouge. Le signal
bleu se reproduit régulièrement de 16 min en 16 min. Le signal rouge se reproduit régulièrement de 36 min
en 36 min.
A quelles heures les deux signaux réapparaissent simultanément ?
10. on donne deux entiers a et b et on pose la division euclidienne a = b x q + r
a) prouver que tout diviseur commun à a et b divise r
b) prouver que tout diviseur commun à b et r divise a
c) en déduire que les couples (a,b) et (b,r) ont le même PGCD
1. 11.Obélix refusait d’utiliser la numération imposée par l’envahisseur romain et
employait la numération positionnelle décimale.
Un jour qu’il avait livré 18 somptueux menhirs, il inscrivit sur une tablette d’argile le montant de la somme
recueillie. Mais Idéfix, qui passait par là, gratter la tablette avant qu’elle ne soit sèche et seul le chiffre des
centaines reste lisible : un superbe 5.
Obélix tenta de lire les autres chiffres, mais en vain. Il essaya ensuite de les retrouver, toujours sans succès.
Il se souvint alors que :
1er indice : tous les menhirs étaient au même prix
2ème indice : le prix, en sesterces, d’un menhir était un nombre entier compris entre 70 et 90
3ème indice : le chiffre des unités du prix total des 18 menhirs était inférieur à 5
4ème indice : le chiffre des dizaines du prix total des 18 menhirs était supérieur à 5
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Ces informations permirent à Astérix d’effectuer de savants calculs et de retrouver, enfin ! … le nombre
partiellement effacé.
Retrouvez le prix des 18 menhirs.
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CORRECTION : C H 4 : ELEMENTS D’ARITHMETIQUE
1. nous cherchons le PGCD des deux nombres.
PGCD (310 ; 216) = 2
D’où
3 1 0: 2 1 5 5

2 1 6: 2 1 0 8
PGCD (75 ; 105) = 15
d’où
7 5: 1 5 5

1 0 5: 1 5 7
PGCD (96 ; 352) = 32
D’où
9 6: 3 2
3

3 5 2: 3 2 1 1
2. PGCD (18 ; 30) = 6
1 8  2 x3 2
Car : 3 0  2 x 3 x 5
PGCD  2 x 3  6
Diviseurs de 18 : 1 ; 2 : 3 : 6 ; 9 ; 18 car 1x18 = 2x9 = 3x6
Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 car 1x30 = 2x15 = 3x10 = 5x6
Nombres de diviseurs de 18 : 1x2x3 = 6
Nombres de diviseurs de 30 : 1x2x2x2= 8
Ou bien :
Pour n  a x x b y x c z x d t le nombre de diviseur est : (x+1)(y+1)(z+1)(t+1)
Ici 3 0  21 x 31 x 51 donc le nb de diviseurs est : (1+1)(1+1)(1+1) = 2x2x2 = 8
3. Pour obtenir le nombre de bouquets tous identiques, on cherche le PGCD (7200 ; 10800)
10800 = 7200 x 1 + 3600
7200 = 3600 x 2 + 0
Donc PGCD (10800 ; 7200) = 3600
On peut donc composer 3600 bouquets de 2 roses et 3 tulipes.
4. a)
b)
c)
15 est diviseur de a
15 est diviseur de 45 car 15 x 3 = 45
Donc 15 est diviseur de la somme a + 45 et donc b
15 est diviseur de a
15 n’est pas diviseur de 38
Donc 15 n’est pas diviseur de la somme a + 38
15 est diviseur de a
15 est diviseur de 135 = 9 x 15
Donc 15 est diviseur de la somme a + 135
5. Par 2 il en reste 1 donc n = 2k + 1 donc n est un nombre impair compris entre 1 et 100.
Par 5, il en reste 4 ; ce sont donc des nombres qui se terminent par 4 ou 9 mais comme ils sont impairs ils se
terminent par 9. Les possibilités sont donc :
9 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 - 99
Par 3, il en reste 2 ; ce ne sont pas des multiples de 3 donc il reste :
19 – 29 – 49 – 59 – 79 – 89
Par 4, il reste 3. Aux nombres précédents, on retire 3 et on garde les multiples de 4.
19 – 59 – 79
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Par 3 il reste 2 soit 19 – 2= 17 ; 59 – 2 = 57 (multiple de 3) ; 79 – 2 = 77
Le nombre est donc 59
Vérification :
59 = 2 x 29 + 1 = 3 x 19 + 2 = 4 x 14 + 3 = 5 x 11 + 4
6. a) 358358 = 13 x 27566 donc a = 27566
b) 27566 = 11 x 2506 donc b = 2506
c) 2506 = 7 x 358
donc c = 358
d) on trouve à la fin 731 et 824
e) 13 X 11 x 7 = 1001 or
358358 = 358 x 1000 + 358 = 358 ( 1000 + 1) = 358 x 1001
Donc 358358 : 1001 = 358
De même 731731 = 731 x 1000 + 731 = 731 x 1001
824824 = 824 x 1000 + 824 = 824 x 1001
Si
          x 1 0 0 0   
    x1001
d o n csi o n l e d i vi sep a r1 0 0 1o n re t ro u ve:   
7. Tout diviseur commun à 25127 et 25131 diviserait leur différence 4.
Or les diviseurs de 4 sont 1 ; 2 ; 4
2 et 4 ne sont pas diviseurs de ces nombres donc il n’y a que 1
9. On cherche le PPCM de 16 et 36
1 6 24
3 6  22 x 32
donc P P CM
(1 6 ;3 6 )
 24 x 32  1 4 4
Les signaux réapparaissent simultanément toutes les 144 minutes = 2h 24 min
Soit à 12h 15 + 2h 24 = 14h 39 min etc…
10. a) si il existe des entiers tel que a = a’m et b = b’m
Alors a – bq = (a’ – b’q) m = r
Et r est bien divisible par m (le quotient est a’ – b’ q)
b) si il existe des entiers tels que r = r’m et b = b’m
alors a = bq + r = b’qm+ r’m = (b’q + r’) m
et a est bien divisible par m (le quotient est b’q + r’)
c) les ensembles de diviseurs communs aux couples (a,b) et (b,r) étant identiques, le plus grand terme
de ces ensembles est commun, autrement dit, ces couples ont le même PGCD.
11. Le prix du menhir p est un entier
Il y a 18 menhirs donc le prix des 18 menhirs N = 18p
D’après le 2ème indice
7 0 x1 8 N  9 0 x1 8
d o n c 1 2 6 0 N  1 6 2 0
Donc N est un nombre de 4 chiffres et il commence par 15 puisque le chiffre des centaines est 5.
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 on peut donc chercher les multiples de 18 compris entre 1500 et 1599
1500 : 18 = 83,33 donc 18 x 84 = 1512
On obtient ainsi : 1512 – 1530 – 1548 – 1566 – 1584
Les 3ème et 4ème indices donnent : 1584
OU
 18 est un multiple de 2 et de 9
15du c’est 1 + 5 + d + u multiple de 9 et pair et inférieur à 5
Donc d= 8 et u= 4
Donc 1584
 Méthodes par essais successifs
N = 15du avec d supérieur ou égal à 5 et u inférieur ou égal à 5.
N divisible par 9 et pair
N = 155u
N = 156u
N = 1575
N = 1584
N = 1595
aucun u ne convient
… … … …
N impair ne convient pas
convient
N impair ne convient pas
5