3ème−PGCD− − Nombres premiers entre eux− −Fractions irréductibles I) Multiples − diviseurs. Définition n°1: Un diviseur d’un nombre a est un nombre entier qui divise a (= la division euclidienne de a par ce nombre « tombe juste ») Exemples : • diviseurs de 8 : • diviseur de 12 : • diviseurs de 34 : Remarque: Si a est multiple de b , alors b est diviseur de a , et réciproquement. Définition n°2: Un diviseur commun à a et à b est un nombre entier qui divise à la fois a et b. Exemples : • • 1, 2 et 4 sont des diviseurs communs à 8 et 12. Listes des diviseurs communs de 84 et 56 : 2, 4, 14, et 28. Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b. Définition n°3 : Parmi les diviseurs communs à a et b, l’un d’eux est plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur : PGCD. On le note : PGCD(a;b) Exemples : • • II) Le plus grand diviseur commun à 8 et 12 est 4. PGCD(84 ;56)=28. Recherche du PGCD à l’aide de l’Algorithme d’Euclide Algorithme d’Euclide : Pour trouver le PGCD de deux nombres, on peut appliquer la méthode illustrée par l’exemple suivant : Trouver le PGCD de 646 et de 697 : On pose la division de 697(le plus grand) par 646 : ..donc 697=646× ×1+51 On pose la division de 646 (diviseur précédent) par 51 (reste précédent) ..donc 646=51× ×12+34, et donc 697=(51×12+34)×1+51=51× ×13+34× ×1 On pose la division de 51 (diviseur précédent) par 34 (reste précédent) ..donc 51=34× ×1+17, donc 646=(34×1+17)×12+34=34× ×13+17× ×12 et 697=(34×1+17)×13+34×1=34× ×14+17× ×13 On pose la division de 34 (diviseur précédent) par 17 (reste précédent) ..donc 34=17× ×2+0, donc 646= 17×2×13+17×12=17× ×38 et 697=17×2×14+17×13=17× ×41 Le restant étant égale à 0 on a fini, et le PGCD est le dernier diviseur (ici 17). ( les divisions de 646 par 17 et de 697 par 17 tombent justes ). Démonstration d’une partie de la validité de l’algorithme sur l’exemple : 17 est le plus grand diviseur de 17, donc 17 est le PGCD de 34 et 17 Si a est diviseur de b et de c, il est aussi diviseur de b+c, et de ub+vc 17 est donc diviseur de 34 et de 51 (car 51=2×17+17) 17 est donc diviseur de 51 et de 646 (car 646=3×17×12+2×17) 17 est donc diviseur de 697 et de 646… Il reste à démontrer que c’est le plus grand… III) Nombres premiers entre eux. Définition n°4 : Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. Exemples : • 24 et 35 sont premiers eux : 35=24×1+11 ; 24=11×2+2 ; 11=2×5+1 ; 2=1×2+0, donc PGCD(24 ;35)=1. • IV) 24 et 36 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous les deux divisibles par 3. Fractions irréductibles. Définition n°5 : Une fraction est dite irréductible si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1. a est irréductible si PGCD(a;b)=1 b Exemples : 7 48 est une fraction irréductible, n’est pas une fraction irréductible (car PGCD(48 ;34) 18 34 ý1). Pour rendre une fraction irréductible, on peut appliquer l’algorithme d’Euclide : 646 17 × 38 38 = = 697 17 × 41 41 Priopriété n°1 : Si on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une fraction irréductible. Si PGCD(a;b)=c, alors a÷c est irréductible b÷c