E - III - Passeport

A - LES IMPEDANCES
L'étude des dipôles soumis à une tension continue a montré que leur comportement
est dépendant de la valeur de cette tension et que la description de ce comportement
correspond à une courbe appelée caractéristique. De plus, dans certains cas, il est
possible de décrire également ce comportement par une équation U = f(I) (ou
I = g(U)).
Lorsque ces dipôles sont soumis à des tensions variables, on peut donc également
prévoir leur comportement et établir de même une relation liant tension et intensité
du courant.
Exemple : soit une résistance de 100 Ω, soumise à une tension variable et périodique
T = 1s
0<t<1s
u(t) = 5 t.
La relation établie en tension continue U = R I permet d'écrire que dans ce cas durant
chaque période :
u(t) = R i(t)
soit encore
5 t = 100 i(t)
ou
i(t) = 0,05 t
Le courant est donc lui aussi variable et périodique.
A - I - DEFINITION DE L'IMPEDANCE EN REGIME SINUSOÏDAL
Les appareils électriques utilisés habituellement sont soumis à des tensions
sinusoïdales, ce qui justifie que l'on étudie plus particulièrement ce type de tension.
Ces tensions ont pour expression :
u(t) = UMax sin(ω
ωt + ϕ).
Elles s'observent et se comparent à l'oscilloscope pour pouvoir déterminer leur valeur
maximale et leur période, les voltmètres n'affichant que leur valeur efficace Ueff :
Ueff =
UMAX
2
On observe que dans un circuit alimenté par une tension sinusoïdale, l'intensité de courant
est elle aussi de type sinusoïdal :
i(t) = IMax sin(ωt + ϕ')
avec
Ieff =
IMAX
2
lu par un ampèremètre
On définit l'impédance Z d'un dipôle comme le rapport entre la tension
maximale à ses bornes et l'intensité de courant maximale qui le traverse.
Z=
Umax
Imax
ou bien évidemment
Z=
Ueff
Ieff
Cette impédance est un nombre positif et son unité de mesure est l'ohm.
1
A - II - DEPHASAGE ENTRE TENSION ET COURANT
Si tension et courant sont de même type sinusoïdal, ils peuvent être selon les cas en
phase ou déphasés l'un par rapport à l'autre. L'oscilloscope permet là encore de
visualiser ce déphasage et de le mesurer.
Pour cela on utilise la propriété des résistances qui ont toujours à leurs bornes une
tension proportionnelle à l'intensité du courant qui les traverse comme rappelé dans
l'exemple précédent : u(t) = R i(t).
Dans le cas où u(t) = UMax sin(ωt + ϕ), on vérifiera donc i(t) =
1
UMax sin(ωt + ϕ).
R
Observer la tension aux bornes d'une résistance c'est donc observer
1
près, sans qu'il y ait de
l'intensité du courant qui la traverse, au facteur
R
déphasage entre elles.
Exemple 1 : l'oscillogramme ci-dessous compare deux tensions prises aux bornes de deux
résistances en série.
La base de temps étant réglée sur 5 ms par centimètre, on lit que la période est de 20 ms et
que la fréquence est de 50 Hz.
L'amplification verticale des deux voies étant réglée sur 2 V par centimètre, on peut lire leur
valeur maximale, 6 V pour l'une et 4 V pour l'autre.
Les deux tensions étant en phase, on peut écrire les équations correspondant à ces tensions
en faisant le choix de prendre la phase ϕ de l'une comme de l'autre égale à zéro.
uR1(t) = 6 sin (100 π t)
uR2(t) = 4 sin (100 π t)
Si on connaît la valeur de l'une des résistances, par exemple R1 = 330 Ω, on peut en
déduire la valeur de l'intensité de courant puis la valeur de la seconde résistance:
i(t) = 0,018 sin (100 π t)
2
et
R2 =
u R2 (t)
= 220Ω
i(t)
Exemple 2 : l'oscillogramme ci-dessous compare la tension uR aux bornes d'une résistance
de 220 Ω et celle uZ d'un autre dipôle en série avec elle.
Les réglages correspondent toujours à :
horizontalement : 5 ms par centimètre
uZ
verticalement : 2 V par centimètre
2,7
uR
0,6
Comme précédemment, l'observation de la tension uR permet de déterminer l'intensité du
courant, et on choisit de prendre ϕ égal à zéro pour cette tension là :
i(t) = 0,018 sin (100 π t)
Ceci correspond donc au courant qui passe aussi dans le dipôle puisqu'il est en série avec la
résistance.
On observe que la tension uZ a la même fréquence de 50 Hz , une valeur maximale de 5,4 V
(2,7 x 2) et qu'elle est déphasée par rapport au courant i(t).
Ce déphasage correspond sur l'oscillogramme à un déplacement de 0,6 cm vers la gauche
de la tension uZ par rapport à uR .
Dans ce cas on dit que la tension uZ est en avance sur uR (donc aussi sur le courant)
parce qu'elle s'annule avant dans un intervalle de temps inférieur à 1/4 de période.
La périodicité de la fonction sinus est de 2π radians. Sur l'oscillogramme cette périodicité
correspond à un intervalle de 4 cm pour 20 ms. En conséquence, si 4 cm correspondent à
2π radians alors 0,6 cm correspond à un déphasage ϕ :
ϕ=
2π x 0,6
= 0,3 π rad
4
La tension uZ a donc pour expression :
uZ = 5,4 sin (100 π t + 0,3 π)
Le signe + devant le déphasage souligne l'avance de la tension sur le courant.
Il est également possible de déterminer l'impédance de ce dipôle : Z =
5 ,4
= 300 Ω
0 ,018
3
A - III - L'IMPEDANCE COMPLEXE ET LE VECTEUR DE FRESNEL
On voit que la relation, entre courant sinusoïdal qui traverse un dipôle et tension à
ses bornes, met en évidence :
-
un coefficient de proportionnalité positif Z entre leur valeur maximale,
-
un angle de déphasage ϕ qui sera toujours compris entre -
π
π
et + .
2
2
On peut donc faire correspondre à chaque dipôle,
soit une impédance complexe Z = Z e iϕ
→
soit une impédance vectorielle Z de norme Z et d’argument ϕ.
Ces correspondances ont pour intérêt de proposer des méthodes simples de calcul
lorsqu'il faut prendre en compte des associations de dipôles.
Dans ce qui suit, la méthode utilisée est celle des vecteurs de Fresnel (cf document
annexe).
A - IV - L'IMPEDANCE D'UNE RESISTANCE
De ce qui précède il apparaît aisément qu'une résistance est un dipôle
d'impédance :
Z=
4
Umax
=R
Imax
ϕ=0