1) Nombre dérivé.

Exposé 71 : Dérivée en un point. Interprétation géométrique. Exemples
Pré requis :
- limite et continuité d’une fonction numérique.
- limite a gauche, limite a droite.
- développement limite a l’ordre 1.
Dans toute la leçon, I est un intervalle de non réduit a un point, a є I et f : I → 1) Nombre dérivé.
a) définition
On dit que f est dérivable en a si la fonction Ta , appelée taux d’accroissement de
f ( x) − f (a)
possède une limite finie en a.
f en a , définie sur I\{a} par Ta ( x) =
x−a
Cette limite s’appelle nombre dérivée de f en a et se note f ’(a).
Rq :
- unicité de nombre dérivé car unicité de la limite
- a est un point non isolé de I (i.e ∀ ouvert O de I, O ∩ I ≠ 0)
-
f est dérivable en a ⇔ la fonction définie par h ∈ {x − a, x ∈ I } f ( a + h) − f ( a )
a
h
une limite finie en 0.
Exemples : 1) f : x ∈ α x + β , f ’(a) = α .
2) Pour tout réels a, sin ‘(a) = cos (a).
a -b a+b
En effet : sin a sin b = 2 sin 
 cos

 2   2 
x−a x+a
sin 
 cos

sin( x) − sin( a )  2   x − a   x + a 
2   2 

=
sin
cos
=
D’où
 
 

x−a
x−a
x−a  2   2 


 2 
sin(t )
t→
 1 (mesure en radians)
Or
→0
t
sin( x) − sin( a )
a+a
Donc
x
→ cos
 = cos(a ) .
→a
x−a
 2 
1
3) f : x ∈ + x . ∀a ∈ ℜ + , f ′(a ) =
.
2 a
1
Ta ( x) =
. f n’est pas dérivable en 0 car de limite + ∞ .
x+ a
b) Théorèmes fondamentaux
Théorème : f est dérivable en a ⇔ f admet un D.L a l’ordre 1.
Preuve :
( ⇒ ) : Si f est dérivable en a alors il existe un réel l tel que
f ( x) − f ( a )
= l donc f ( x) = f (a ) + l ( x − a ) + ( x − a )ε ( x)
lim
x→a
x−a
avec lim ε ( x) = 0 .
x→a
( ⇐ ) : Si f ( x) = a 0 + a1 ( x − a ) + ( x − a )ε ( x) avec lim ε ( x) = 0
x→a
On a lim f ( x) = a 0 , f (a ) = a 0 et
x→a
f ( x) − f (a)
= a1 + ε ( x) d’où f est dérivable
x−a
(par passage a la limite)
Théorème : si f est dérivable en a alors f ’(a) existe .
Preuve : (On utilise le développement limité a l’ordre 1)
c) Dérivée a gauche et dérivée a droite.
Définition : Si la restriction de f à I ∩ [a,+∞[ est dérivable à droite en a, le nombre
dérivée de cette restriction se note f 'd (a ) et est appelé nombre dérivée a droite de f en a .
On a la même définition a gauche avec f ' g (a ) .
Exemples :
Soit f : x ∈ x . f dérivable à droite, à gauche en a.
On a f 'd (0) = 1 et f ' g (0) = −1 .
Théorème : Lorsque a n’est pas une borne de I, on a
f est dérivable en a ⇔ f est dérivable a gauche et a droite en a
et f 'd (a ) = f ' g (a ) = f '(a ) .
Preuve : propriété des limites
( ⇒ ) : Si f '(a) existe, alors f '(a ) = f ' g (a ) et f '(a ) = f 'd (a )
d’où f 'd (a ) et f ' g (a ) existent et sont égales.
( ⇐ ) : Si f ' g ( a ) et f 'd (a ) existent et f 'd (a ) = f 'g (a ) alors f '(a) existe
Et f '(a ) = f 'd (a ) = f 'g (a )
Exemples : -Soit f : x ∈ x . f n’est pas dérivable en 0.
→


-soit g : 
 0 si x ≤ 0
x 2

 x si x > 0

g (h) − g (0)
= h 
→0
h → 0+
h
On a ,
g ( h) − g ( a )
si h < 0,
=0
h
si h > 0,
Donc g est dérivable en 0 et g '(0) = 0 .
2) Interprétation graphique
Fixons un repère orthonormé directe (O, i, j ) et soit C f la courbe représentative de f
dans ce repère.
a) Description
Soit f une fonction dérivable en a .
Soit t un réel.
Soient les points A ( a, f (a) ) et M ( t , f (t ) )
La droite ( AM ) a pour équation
f (t ) − f (a )
( x − a) + f (a)
t−a
f (t ) − f (a )
= f ′(a )
Or, lim
x→a
t −a
y=
b) Interprétation
Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente au point A ( a, f (a ) ) la
droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f ′(a ) , d’équation
y = f ′(a ) ( x − a ) + f (a )
Rq :
f (t ) − f (a )
= ±∞ alors C f admet une tangente verticale en a.
x→a
t−a
- Si f est dérivable à gauche et à droite en a et que f 'd (a ) ≠ f ' g (a ) , alors on dira
- Si lim
que C f admet deux demie tangentes en A .
Exemple :
 x 2 si x ≤ 0
- g : x∈ 

 x si x > 0
- f : x ∈ 3 x ( on part de la fonction cube qui a une tangente horizontale
en 0. La fonction réciproque , f , a donc une tangente verticale en 0 donc n’est pas
dérivable en 0